| Corps K |
ℝ |
ℂ |
ℍ |
| Sphère unité de K | S0 | S1 | S3 |
| Espace projectif KP1 | S1 | S2 | S4 |
| Classes caractéristiques | Whitney | Chern | Pontrjagin |
| Polytopes réguliers simpliciaux, Nombre de faces Homologie IP numerateur q-Zeta du treillis des faces |
Tetraèdre (4,6,4,1) (1,0) (1; 3,5,3; 3,5,3; 1) |
Octaèdre (6,12,8,1) (1,2) (1; 5,11,7; 7,11,5; 1) |
Icosaèdre (12,30,20,1) (1,8) (1; 11,19,29; 19,29,11; 1) |
| Polytopes réguliers simples, Nombre de faces Homologie IP |
Tetraèdre (4,6,4,1) (1,0) |
Cube (8,12,6,1) (1,4) |
Dodécaèdre (20,30,12,1) (1,16) |
| Groupes de symétrie dans SO(3,ℝ) Cardinal |
Alt4 12 |
Sym4 24 |
Alt5 60 |
| Groupes binaires dans SU(2,ℂ) Cardinal Chambres Dim. des représentations irréductibles Somme |
A3 24 = 5² - 1 2(1+3+3+5) (1,1,1,2,2,2,3) 12 |
B3 48 = 7² - 1 2(1+5+7+11) (1,1,2,2,3,3,4,2) 18 |
H3 120 = 11² - 1 2(1+11+19+29) (1,2,3,4,5,6,2,3,4) 30 |
| Posets des racines positives Nombre d'amas |
A3 14=12+2 ≃ E6 = T2,3,3 |
B3 20=18+2 ≃ E7h = T2,4,5 |
H3 32=30+2 |
| Polytopes dans ℝ4 Nombre de faces Homologie d'intersection primitive IP |
24-cellule (24,96,96,24,1) (1,19,10) |
96-cellule (48,240,288,96,1) (1,43,58) |
600-cellule (120,720,1200,600,1) (1,115,250) |
| Polytopes duaux Nombre de faces Homologie d'intersection primitive IP |
24-cellule (24,96,96,24,1) (1,19,10) |
48-cellule (96,288,240,48,1) (1,91,58) |
120-cellule (600,1200,720,120,1) (1,595,250) |
| Groupes de Coxeter Nombre de Coxeter |
A3 4 D4 6 G2 6 D4 6 E6 12 = 2.2.3 |
B3 6 F4 12 F4 12 E6 12 E7 18 = 2.3.3 |
H3 10 H4 30 E8 30 E8 30 E8 30 = 2.3.5 |
| Groupes de réflexions Degrés des invariants Groupe de symétrie |
D4 (2,4,4,6) Sym3 |
F4 (2,6,8,12) Sym2 |
H4 (2,12,20,30) Sym1 |
| Associaèdres généralisés Groupe de symétrie Exposants Grassmanniennes |
D4 Sym3 1,3,3,5 Gr(3,6) |
E6 Sym2 1,4,5,7,8,11 Gr(3,7) |
E8 Sym1 1,7,11,13,17,19,23,29 Gr(3,8) |
| Diagramme de Dynkin affine Coefficients de ρ ? Groupe de symétrie |
Ê6 (1,1,1,2,2,2,3) Sym3 |
Ê7 (1,1,2,2,3,3,4,2) Sym2 |
Ê8 (1,2,3,4,5,6,2,3,4) Sym1 |
| Triangles euclidiens Groupe de symétrie |
(π/3,π/3,π/3) A2 affine Sym3 |
(π/2,π/4,π/4) C2 affine Sym2 |
(π/2,π/3,π/6) G2 affine Sym1 |
| Singularités Nombre de Milnor |
x3+y3+z3 8 |
x2+y4+z4 9 |
x2+y3+z6 10 |
| Groupes de réflexions Dim. des représentations irréductibles Somme |
G2 (2,1,3) 6 |
F4 (2,4,3,2,1) 12 |
E8 (1,2,3,4,5,6,2,3,4) 30 |
| Groupes de réflexions complexes Cardinal Degrés des invariants Dim. des représentations irréductibles Quotient des tresses à n brins par sk |
A2(3)=G4 24 (4,6) (1,1,1,2,2,2,3) (3,3) |
A2(4)=G8 96 (8,12) 2 × (1,1,2,2,3,3,4,2) (3,4) |
A2(5)=G16 600 (20,30) 5 × (1,2,3,4,5,6,2,3,4) (3,5) |
| Groupes sporadiques | Groupe de Fischer F24.2 G2(1) |
Bébé Monstre B F4(1) |
Monstre M E8(1) |
| Groupes simples finis groupe du triangle singularité surface triangulée genre f-vecteur |
PSL(2, 𝔽5) (2,3,5) E8 icosaèdre ⇒ ℝP2 X(5), g=0 (12,30,20)=2 × (6,15,10) |
PSL(2, 𝔽7) (2,3,7) K12 quartique de Klein X(7), g=3 (24, 84, 56)=2 × (12,42,28) |
PSL(2, 𝔽11) (2,3,11) E20 (bimodal) surface de Farey ? X(11), g=26 (60, 330, 220)=2 × (30,165,110) = 5 × (12,66,44) avec g=6 |
| Groupes de réflexions complexes | G4 G5 G7 G6 |
G8 G10 G11 G9 |
G16 G18 G19 G17 |
| Systèmes de racines elliptiques Poids & nombre de Coxeter (Saito) Écriture comme produit |
E6(1,1) 1,1,1 & 3 A2×D4 |
E7(1,1) 1,1,2 & 4 A3×A3 |
E8(1,1) 1,2,3 & 6 A2×A5 |
| Groupes de Coxeter hyperboliques Forme du diagramme |
E6h (3,3,4) |
E7h (2,4,5) |
E8h (2,3,7) |
| Repliements non standards Nombre de Coxeter |
A4 → H2 5 |
D6 → H3 10 |
E8 → H4 30 |
| Singularités unimodales exceptionnelles Nombres de Gabrielov et Dolgachev Fonction Décomposition |
U12 4,4,4 x3+y3+z4 A3×D4 1,3,4,4 & 12 |
W12 2,5,5 x2+y4+z5 A3×A4 1,4,5,10 & 20 |
E12 2,3,7 x2+y3+z7 A2×A6 1,6,14,21 & 42 |
| Singularités unimodales exceptionnelles Nombres de Gabrielov et Dolgachev |
E14 & Q10 3,3,4 & 2,3,9 |
E13 & Z11 2,4,5 & 2,3,8 |
E12 & E12 2,3,7 & 2,3,7 |
| Espaces projectifs à poids Miroir des singularités elliptiques |
ℙ(3,3,3) | ℙ(2,4,4) | ℙ(2,3,6) |
| Suites d'entiers Séries génératrices algébriques Formule hypergéométrique |
(12n)! n! / (6n)! (4n)! (3n)! 4F3((1/12, 5/12, 7/12, 11/12), (1/3, 1/2, 2/3), 27648 t) |
(18n)! n! / (9n)! (6n)! (4n)! 6F5((1/18, 5/18, 7/18, 11/18, 13/18, 17/18), (1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4), 8503056 t) |
(30n)! n! / (15n)! (10n)! (6n)! 8F7((1/30, 7/30, 11/30, 13/30, 17/30, 19/30, 23/30, 29/30), (1/5, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 4/5), 1007769600000 t) |
| Exposants particuliers | (1,5,7,11) | (1,5,7,11,13,17) | (1,7,11,13,17,19,23,29) |
| Suites d'entiers Coefficients multinomiaux Fonction hypergéometrique 2F1 |
(3n)! / n! n! n! 2F1(1/3,2/3;1;3³ x) |
(4n)! / (2n)! n! n! 2F1(1/4,3/4;1;4³ x) |
(6n)! / (3n)! (2n)! n! 2F1(1/6,5/6;1;2 6³ x) |
| Nombre de parties exceptionnelles et nombre de modules basculants |
E6 : 5844 418=A11 × 38 |
E7 : 61866 2431=A17 × 143 |
E8 : 808005 17342=A29 × 598 |
| Posets de type affine-minuscule f-vecteur polynôme de Coxeter Antichaines ordre et poids f-vecteur h-vecteur exposants |
E6 : 20 (20,30,12,1)= assoc. B3 Φ12 Φ73 66 12 et (1,3,4 ; 12) = A11 × E6 (66,120,65,10) A5 : (10,35,20,1) (1,5,7,11)=F4 |
E7 : 32 (32,48,18,1)=assoc. H3 Φ12 Φ113 119 18 et (1,4,6 ; 18) = A17 × E7 (119,224,126,20) D6 : (20,66,32,1) (1,7,11,17) |
E8 : 56 (56,84,30,1) Φ12 Φ193 232 30 et (1,6,10 ; 30) = A29 × E8 (232,448,259,42) E7 : (42,133,56,1) (1,11,19,29)=H4 |
| Quadrangles généralisés graphes fortement réguliers |
GQ(2,1) (9, 4, 1, 2) |
GQ(2,2) (15, 6, 1, 3) |
GQ(2,4) (27, 10, 1, 5) |
| Triangles (billards et surfaces de translation) Veech, Vorobets, Kenyon & Smillie, Puchta, Bouw & Möller, Hooper, McMullen, Leininger Groupe triangulaire |
(3 π/12, 4 π/12, 5 π/12) (6,∞,∞) |
(4 π/18, 6 π/18, 8 π/18) (9,∞,∞) |
(6 π/30, 10 π/30, 14 π/30) (15,∞,∞) |