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\vfill\hrule}\vrule}}

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\vglue2cm

\centerline{\bf  CALCUL BASIQUE DES PERMUTATIONS SIGN\'EES,
II:} 
\vskip 5pt
\centerline{{\bf ANALOGUES FINIS DES FONCTIONS DE BESSEL}
\footnote{$(^*)$}{Avec le concours du programme des
Communaut\'es Europ\'eennes en Combinatoire Alg\'ebrique, 1994-96.}}
\bigskip \centerline{\it Dominique
FOATA\/\footnote{$^1$}{D\'epartement de math\'ematique,
Universit\'e Louis Pasteur, 7, rue Ren\'e-Descartes,\hfil\break
F-67084 Strasbourg, France. {\eighttt
(foata@math.u-strasbg.fr)}} et GuoNiu
HAN\/\footnote{$^2$}{I.R.M.A., Universit\'e Louis Pasteur, 7, rue
Ren\'e-Descartes, F-67084 Strasbourg,\break France. {\eighttt
(guoniu@math.u-strasbg.fr)}}}

\bigskip\bigskip

{\eightpoint
\rightline{\vbox{\halign{\sl #\hfil\cr
To Herb Wilf, for his many-faceted accomplishments\cr
in Mathematics, his successful guidance of doctoral students,\cr
his scientific editorship, and last but not least,\cr
his masterly contribution to Electronic Publishing.\cr}}\qquad}

}
\bigskip\bigskip
{\narrower\narrower\eightpoint

\noindent
{\eightbf Abstract:} The traditional  basic calculus on
permutation statistic distributions is extended to the case of
signed permutations. This provides with a combinatorial
interpretation of the basic Bessel functions and their finite
analogues.

 \medskip\noindent
{\eightbf R\'esum\'e:} Le calcul basique classique sur les
distributions des statistiques des permutations est
prolong\'e au cas des permutations sign\'ees. Ce calcul permet
ainsi de donner une interpr\'etation combinatoire aux fonctions
basiques de Bessel et \`a leurs analogues finis.

}

\bigskip\medskip



\centerline{\bf Sommaire}
\medskip

\long\def\somr #1|#2|{\noindent\hbox to 18pt{\hfil #1}{#2\hfil}\par}

\somr1. |Introduction|

\somr 2. |Les fonctions de Bessel \`a plusieurs bases|

\somr 3. |Une image homomorphe de multi-mots sign\'es|

\somr 4. |Un calcul \`a la Fedou-Rawlings|

\somr 5. |Les multipermutations sign\'ees|

\somr 6. |Une premi\`ere bijection|

\somr 7. |La seconde bijection|

\somr 8. |Le calcul de la premi\`ere fonction g\'en\'eratrice|

\somr9. |Fonction g\'en\'eratrice de toutes les
multi-permutations sign\'ees|

\somr10. |L'interpr\'etation en termes de nombre d'inversions|

\somr|Bibliographie|

\somr|Tableau des sp\'ecialisations des distributions|

%\bigskip\bigskip
\vfill\eject


\centerline{\bf 1. Introduction}

\medskip
Dans notre premier article sur le calcul basique des
permutations sign\'ees [FoHa96], nous avons fait une \'etude
combinatoire du d\'evelop\-pement en s\'erie en
bases \bfQ\ et \bfq\ de la fraction
$$\displaylines{(1.1)\quad
 {(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq) \over
-t+\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq)\,\bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq)}\hfill\cr
\hfill{}
=\sum_{n\ge 0} {1\over (\bfQ;\bfQ)_n(\bfq;\bfq)_n}\,
 W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq).\quad\cr}
$$
Dans cette formule, nous utilisons les
notations usuelles [An76, GaRa90] sur les $q$-factorielles
montantes
$$
\eqalign{(a;q)_n&=\cases{1,&si $n=0$ ;\cr
(1-a)(1-aq)\,\ldots\,(1-aq^{n-1}),&si $n\ge 1$ ;\cr}\cr
(a;q)_{\infty }&=\lim\nolimits_n(a;q)_n
=\prod_{n\geq 0}(1-aq^n)\,;\cr}
$$
puis, \'etant donn\'es deux entiers positifs $L$ et $l$ et \'etant
donn\'ees les suites de variables
$\bfQ=(Q_1,Q_2,\ldots,Q_L)$,
$\bfq=(q_1,q_2,\ldots, q_l)$, 
nous posons
$$\leqalignno{
\bfQ^{n\choose 2}&=Q_1^{n\choose 2}\ldots 
Q_L^{n\choose 2},\cr 
(\bfQ;\bfQ)_n&=(Q_1;Q_1)_n\ldots (Q_L;Q_L)_n,\cr
(\bfq;\bfq)_n&=(q_1,q_1)_n\ldots(q_l;q_l)_n.\cr}
$$
La {\it fonction de Bessel basique} est alors d\'efinie par
$$
\bfJ(u;\bfQ,\bfq)=\sum_{n\ge 0}
(-1)^n {\bfQ^{n\choose 2}\over (\bfQ,\bfQ)_n} {1\over
(\bfq;\bfq)_n}u^n.\leqno(1.2)
$$
Le but principal de notre premier article \'etait de montrer que
le coefficient $W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ \'etait le polyn\^ome
g\'en\'erateur d'objets combinatoires, \`a savoir les
multipermutations sign\'ees $(\underline\Sigma, \underline
\sigma ,\varepsilon )$ par  une suite de statistiques 
not\'ee 
$$
(\ddes,\inv,\coinv)\leqno(1.3)
$$ 
adapt\'ee aux permutations sign\'ees, prolongeant, de fa\c con
naturelle, les r\'esultats classiques sur les permutations
ordinaires. Nous avons regroup\'e, dans le paragraphe~5, les
d\'efinitions de ces statistiques.

Le but de ce second article est d'abord 
de faire une \'etude combinatoire syst\'ematique de
ce que
nous appelons les {\it analogues finis} des fonctions de Bessel
basiques $\bfJ_\bfk^\bfK(u;\bfQ,\bfq)$. Leur d\'efinition est
donn\'ee dans le paragraphe~2; il faut noter qu'en plus des
suites de bases \bfQ\ et \bfq, ces fonctions d\'ependent de deux
suites de param\`etres \bfK\ et \bfk. Celles-ci ont d\'ej\`a \'et\'e
introduites dans l'article de Fedou et Rawlings [FeRa94]
Pour ne pas alourdir les
notations dans cette introduction, nous supposons d'abord que
\bfQ, \bfq, \bfP, \bfp\ sont de simples bases~$Q$, $q$,
$P$, $p$, d'autre part, que les param\`etres venant en exposant et
en indice dans ces fonctions de Bessel sont des entiers
positifs: $K$, $k$, $M$, $m$. Le second but du pr\'esent
article est d'\'etudier l'extension du d\'eveloppement (1.1) sous la
forme: 
$$\displaylines{(1.4)\quad
\sum_{K,M,k,m}
R^{K}S^{M}r^{k}s^{m} 
{(1-t)\,\bfJ^K_k((1-t)X;P,p)
\over -t+\bfJ^K_k((1-t)X;P,p)\,
\bfJ^M_m((1-t)Y;Q,q) }
\hfill\cr
\hfill{}=
\sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0}
{1\over (R;P)_{\alpha+1}}\,
{1\over (S;Q)_{\beta+1}}\,
{1\over (r;p)_{\alpha+1}}\,
{1\over (s;q)_{\beta+1}}\,
X^\alpha  Y^\beta  
W_{\alpha,\beta}.\cr}
$$
Nous montrerons (Th\'eor\`eme 8.1) que le coefficient
$W_{\alpha,\beta}$ est le polyn\^ome g\'en\'erateur des
multipermutations sign\'ees d'ordre $(\alpha,\beta)$
($\alpha+\beta=n$), dites compatibles, par une suite de
statistiques $$
(\ddes,\ides_x,\ides_y,\imaj_x,\imaj_y,
\icodes_x,\icodes_y,\icomaj_x,\icomaj_y).\leqno(1.5)
$$

Le troisi\`eme but de l'article sera de montrer que l'identit\'e
(1.4) se sp\'ecialise en (1.1) en donnant une {\it nouvelle}
interpr\'etation combinatoire au polyn\^ome
$W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$, qui appara\^\i tra alors comme la
fonction g\'en\'eratrice des multipermutations sign\'ees par une
{\it autre} suite de statistiques que la suite (1.3), \`a savoir
$$(\ddes,\imaj,\icomaj),\leqno(1.6)$$
o\`u ``imaj" et ``icomaj" sont des statistiques sur les
permutations sign\'ees, se r\'eduisant aux statistiques
du m\^eme nom connues pour les permutations ordinaires.

Pour retrouver le r\'esultat de notre article pr\'ec\'edent et donc
montrer que le polyn\^ome $W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ est la fonction
g\'en\'eratrice de ces multipermutations sign\'ees par la suite
(1.3) au lieu de la suite (1.6), nous construirons une
{\it bijection} de l'ensemble des multipermutations sign\'ees
d'ordre~$n$ sur lui-m\^eme, qui enverra le vecteur (1.3) sur le
vecteur (1.6).

%\medskip
L'organisation de l'article est la suivante. Le prochain
paragraphe est consacr\'e \`a l'\'etude des fonctions de
Bessel. On y introduit notamment les {\it analogues finis}
$e_q^k(u)$ et $E_Q^K(u)$ des fonctions $q$-exponentielles et
$Q$-exponentielles. En prenant le produit d'Hadamard de telles
fonctions, on peut d\'efinir les {\it analogues finis
des fonctions de Bessel \`a plusieurs bases}, en toute
g\'en\'eralit\'e. 

Dans les paragraphes 3 et~4, nous
montrons que la fraction apparaissant dans le membre de gauche
de (1.4) est l'image homomorphe de la fonction g\'en\'eratrice de
{\it tous} les multi-mots sign\'es par une certaine statistique
appel\'ee ``rise." Le paragraphe~5 est consacr\'e \`a la
description de toutes les statistiques utilis\'ees. Nous donnons
ensuite dans les paragraphes~6 et~7, les correspondances entre
mots sign\'es et permutations sign\'ees, permettant dans le
paragraphe~8 de calculer la fonction g\'en\'eratrice des
multipermutations sign\'ees par la statistique (1.5) dont les
composantes auront \'et\'e pr\'ecis\'ees.
Nous terminons l'article par un paragraphe~9, qui fait
appara\^\i tre des sp\'ecialisations utiles et par un
paragraphe~10 qui donne une nouvelle d\'emonstration du
r\'esultat principal de notre premier article.

Pour la commodit\'e du lecteur, nous avons construit une table
de plusieurs sp\'ecialisations 
du Th\'eor\`eme~8.1, qui nous semblent les plus
int\'eressantes. Cette table est accessible sur le r\'eseau
WWW [FoHa96a]. On y retrouve, notamment, les r\'esultats ant\'erieurs 
d\^us \`a Carlitz, Stanley, Fedou et Rawlings\dots

\goodbreak
\bigskip
\centerline
{\bf 2. Les fonctions de Bessel \`a plusieurs bases}

\medskip
D'abord rappelons (voir, e.g., [An76, GaRa90]) le c\'el\`ebre
th\'eor\`eme $q$-binomial
$$\leqalignno{
\sum_{n\ge 0} (a;q)_n{u^n\over (q;q)_n}
&={(au;q)_\infty\over (u;q)_\infty}\,;\cr
\noalign{\hbox{ainsi que
les d\'eveloppements des deux
$q$-exponentielles}}
e(u)=e_q(u)&=\sum_{n\ge 0} {u^n\over (q;q)_n}
={1\over (u;q)_\infty}\,;\cr
E(u)=E_Q(u)&=\sum_{n\ge 0} {Q^{n\choose 2}
u^n\over (Q;Q)_n}=(-u;Q)_\infty\,;\cr
\noalign{\hbox{enfin, la notation pour le {\it coefficient
$q$-binomial}}}
{n\brack k}_q&={(q;q)_n\over (q;q)_k\,(q;q)_{n-k}}.\cr} 
$$

Les $q$-factorielles montantes et les coefficients
$q$-binomiaux s'interpr\`e\-tent en termes de comptage de
mot croissants. Les formules suivantes sont classiques et
sont des cons\'equences faciles du th\'eor\`eme $q$-binomial.
Les symboles \bfb\ et \bfB\ ci-dessous repr\'esentent des
suites {\it croissantes} $b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$ et {\it
strictement croissantes} $B_1<B_2<\cdots <B_n$ d'entiers
positifs, respectivement. On pose
$\|\bfb\|=b_1+b_2+\cdots+b_n$ et
$\|\bfB\|=B_1+B_2+\cdots+B_n$. Dans la mesure du possible, 
les lettres minuscules se rapportent aux suites croissantes
(au sens large), les lettres majuscules aux suites strictement
croissantes. Les formules suivantes 
$$
\leqalignno{
{n+k\brack n}_q&=\sum_{0\le  b_1\le \cdots \le  b_{n}<k+1}
q^{\|\bfb\|},&(2.1)\cr
Q^{n\choose 2}{K+1\brack n}_Q
&=\sum_{0\le  B_1<\cdots<B_n<K+1} 
Q^{\|\bfB\|},&(2.2)\cr  
}$$
sont vraies pour tout entier $k\ge 0$ et tout
entier $K\ge 0$. Comme on a
$$
\leqalignno{
{1\over (q;q)_n}&=\sum_{0\le b_1\le \cdots \le 
b_{n}} q^{\|\bfb\|},&(2.3)\cr
{Q^{n\choose 2}\over (Q;Q)_n}
&=\sum_{0\le B_1<\cdots<B_n}  Q^{\|\bfB\|},&(2.4)\cr 
\noalign{\hbox{on posera}}
{n+\infty\brack n}_q&={1\over (q;q)_n},&(2.5)\cr
Q^{n\choose 2}{\infty+1\brack n}_Q&=
{Q^{n\choose 2}\over (Q;Q)_n},&(2.6)\cr 
} 
$$
de sorte que (2.1) et (2.2) sont vraies pour $k$ et $K$ finis ou
non.

\goodbreak
Notons $e_q^k(u)$ et $E_Q^K(u)$ les fonctions g\'en\'eratrices
ordinaires de (2.1) et (2.2), soit
$$
\leqalignno{e_q^k(u)&=\sum_{n\ge 0}
{n+k\brack n}_q u^n,
\quad\hbox{encore \'egal \`a } {1\over (u;q)_{k+1}},
&(2.7)\cr
E_Q^K(u)&=\sum_{n\ge 0} Q^{n\choose 2}
{K+1\brack n}_Q u^n.&(2.8)\cr
\noalign{\hbox{On retrouve, en particulier, les deux
$q$-exponentielles}}
e_q(u)&=e_q^\infty(u)=\sum_{n\ge 0}{1\over (q;q)_n}u^n,\cr
E_Q(u)&=E_Q^\infty(u)=\sum_{n\ge 0}{Q^{n\choose 2}\over
(Q;Q)_n}u^n.\cr
}
$$
Notons tout de suite, qu'\`a cause de (2.1) et (2.2), les fonctions 
$e_q^k(u)$ et $E_Q^K(u)$ s'expriment comme des fonctions
g\'en\'eratrices de suites croissantes et de suites croissantes au
sens strict.

Pour d\'efinir les fonctions de Bessel \`a plusieurs bases et en
toute g\'en\'eralit\'e, convenons des notations suivantes: $L$, $l$
sont des entiers positifs; les $Q_i$, $q_i$, $P_i$, $p_i$ des
bases quelconques (des variables); $K_i$, $k_i$, $M_i$, $m_i$ des
entiers positifs. L'indice~$i$ varie de 1 \`a~$L$ (resp. de 1
\`a~$l$) lorsqu'il se r\'ef\`ere \`a des lettres majuscules (resp.
minuscules). On utilisera aussi les notations vectorielles
$$\eqalign{
\bfQ&=(Q_1,Q_2,\ldots,Q_L),\cr
\bfP&=(P_1,P_2,\ldots,P_L),\cr
\bfK&=(K_1,K_2,\ldots, K_L),\cr
\bfM&=(M_1,M_2,\ldots, M_L),\cr}\qquad
\eqalign{
\bfq&=(q_1,q_2,\ldots, q_l),\cr
\bfp&=(p_1,p_2,\ldots, p_l),\cr
\bfk&=(k_1,k_2,\ldots, k_l),\cr
\bfm&=(m_1,m_2,\ldots,m_l),\cr}
$$
\'ecrivant seulement $Q$, $q$, $P$, $p$, $K$, $k$, $M$ et $m$,
lorsque $L=l=1$.

\goodbreak
Utilisant la notation ``{\eightrm H}" pour le {\it produit
d'Hadamard} de deux s\'eries, \`a savoir
$$\displaylines{
\Bigl(\sum_{n\ge 0} \alpha _nu^n\Bigr)\had
\Bigl(\sum_{n\ge 0} \beta _nu^n\Bigr)
=\sum_{n\ge 0} (\alpha _n\beta _n) u^n,\cr
\noalign{\hbox{on d\'efinit la {\it fonction de
Bessel \`a plusieurs bases} par}}
(2.9)\quad
\bfJ^\bfK_\bfk(u;\bfQ,\bfq)
=\Bigl(\sum_{n\ge 0}(-u)^n\Bigr)\had E_{Q_1}^{K_1}(u)\had
E_{Q_2}^{K_2}(u)\had\cdots\hfill\cr
\noalign{\vskip-8pt}
\hfill{}\had
e_{q_1}^{k_1}(u)\had
e_{q_2}^{k_2}(u)\had\cdots\qquad\cr}
$$

On peut imaginer d'autres r\'ecritures pour cette fonction de
Bessel, si, en plus des notations vectorielles apparaissant
dans l'introduction, on utilise aussi les notations
suivantes: 
$$
\leqalignno{{n+\bfk\brack n}_\bfq&={n+k_1\brack n}_{q_1} 
{n+k_2\brack n}_{q_2}\cdots\cr
{\bfK+1\brack n}_\bfQ&={K_1+1\brack n}_{Q_1}
{K_2+1\brack n}_{Q_2}\cdots\cr
\noalign{\hbox{On a, en effet,}}
\bfJ^\bfK_ \bfk(u;\bfQ,\bfq)&=\sum_{n\ge 0} (-1)^n
\bfQ^{n\choose 2} {\bfK+1\brack n}_ \bfQ\, {n+\bfk\brack
n}_\bfq u^n.&(2.10)\cr
\noalign{\hbox{La fonction de Bessel dont tous les param\`etres
sont infinis vaut}}
\bfJ(u;\bfQ,\bfq)&=\bfJ^\infty_\infty(u;\bfQ,\bfq) =\sum_{n\ge 0}
(-1)^n {\bfQ^{n\choose 2}\over (\bfQ,\bfQ)_n} {1\over
(\bfq;\bfq)_n}u^n,\cr \noalign{\hbox{et, si $L=l=1$,}}
\bfJ(u;Q,q)&=\bfJ^\infty_\infty(u;Q,q)
=\sum_{n\ge 0} (-1)^n {Q^{n\choose 2}\over (Q,Q)_n}
{1\over (q;q)_n}u^n.\cr
} 
$$

Cette fonction de Bessel \`a plusieurs bases ayant \'et\'e d\'efinie,
en (2.9) ou en (2.10), nous nous proposons de d\'evelopper en s\'erie
la fraction apparaissant dans le membre de gauche de (1.4),
r\'ecrite avec les param\`etres \bfK, \bfk, \bfM, \bfm, \bfp, \bfq,
\`a savoir 
$$
F=F{\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
={(1-t)\,\bfJ^\bfK_\bfk((1-t)X;\bfP,\bfp)
\over -t+\bfJ^\bfK_\bfk((1-t)X;\bfP,\bfp)\,
\bfJ^\bfM_\bfm((1-t)Y;\bfQ,\bfq) }\leqno(2.11)
$$
et de la faire appara\^\i tre comme fonction g\'en\'eratrice, d'abord
sur des multimots sign\'es, ensuite sur des multipermutations
sign\'ees. Il faut remarquer que la fraction rationnelle ci-dessus
fait intervenir deux fonctions de Bessel, \`a savoir
$\bfJ^\bfK_\bfk (u;\bfP,\bfp)$ et $\bfJ^\bfM_\bfm(u;\bfQ,\bfq)$.
Notons encore plusieurs cas particuliers.

\noindent
Si $L=l=1$, alors
$$
\eqalignno{
F=F{\textstyle{K,M\choose k,m}}
&= {(1-t)\,\bfJ^K_k((1-t)X;P,p)
\over -t+\bfJ^K_k((1-t)X;P,p)\,
\bfJ^M_m((1-t)Y;Q,q) };\cr
\noalign{\hbox{si, de plus, $K$, $k$, $M$ et $m$ sont infinis,}}
F=F{\textstyle{\infty,\infty \choose\infty,\infty}}
&={(1-t)\,\bfJ((1-t)X;P,p)
\over -t+\bfJ((1-t)X;P,p)\,
\bfJ((1-t)Y;Q,q) }.\cr}
$$

\goodbreak
\medskip
\centerline
{\bf 3. Une image homomorphe de multimots sign\'es}

\medskip
Reprenons les notations du paragraphe pr\'ec\'edent pour
$L$, $l$, \bfQ, \bfP, \bfK, \bfM, \bfq, \bfp, \bfk, \bfm. En
particulier, les entiers positifs $L$ et~$l$ sont fix\'es une fois
pour toutes et suppos\'es non tous les deux nuls.
Un {\it multimot} est d\'efini comme une suite
$\bfw=(B_1,\ldots, B_L,b_1, \ldots, b_l)$,
o\`u les $B_i$ $(1\le i\le L)$ et les $b_i$ $(1\le i\le l)$ sont des mots
de m\^eme longueur. Cette longueur commune est la {\it longueur}
$\ell(\bfw)$ du multimot. Un {\it multimot sign\'e} est un couple
$(\bfw,\varepsilon )$, o\`u \bfw\ est un multimot et o\`u~$\varepsilon
$ est un mot-$xy$, c'est-\`a-dire un mot en les lettres~$x$
et~$y$, tous deux de m\^eme longueur. Tout multimot sign\'e
$(\bfw,\varepsilon )$ peut \^etre visualis\'e comme une matrice
$(L+l+1)\times n$ $(\ell(\bfw)=n)$

$$\vbox{\offinterlineskip\halign{\strut\ \hfil$#$\hfil\ &\vrule\
\hfil$#$\hfil\ &\ \hfil$#$\hfil\  &\ \hfil$#$\hfil\ &\
\hfil$#$\hfil\ &\ \hfil$#$\hfil\ \vrule\cr 
\omit$(\bfw,\varepsilon)={}$\ &\omit \ $w^{(1)}$\
&\ldots&w^{(i)}&\ldots&\omit  \ $w^{(n)}$\ \cr
\omit&\multispan5\hrulefill\cr
B_1&B_1(1)&\ldots&B_1(i)&\ldots&B_1(n)\cr
\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\cr
B_L&B_L(1)&\ldots&B_L(i)&\ldots&B_L(n)\cr
b_1&b_1(1)&\ldots&b_1(i)&\ldots&b_1(n)\cr
\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\cr
b_l&b_l(1)&\ldots&b_l(i)&\ldots&b_l(n)\cr
\varepsilon&\varepsilon (1)&\ldots&\varepsilon(i)&\ldots&\varepsilon 
(n)\cr
\omit&\multispan5\hrulefill\cr
\noalign{\vskip 7pt}
\multispan6\hfil Fig. 1\hfil\cr
}}$$

\noindent
o\`u les mots $B_1$, \dots~, $B_L$, $b_1$, \dots~, $b_l$, $\varepsilon $
forment les $(L+l+1)$ lignes de la matrice. Si on note
$w^{(1)}$, $w^{(2)}$, \dots~,  $w^{(n)}$ les colonnes de cette matrice,
le mot sign\'e $(\bfw,\varepsilon )$ peut encore \^etre vu comme le {\it
mot} $w^{(1)}w^{(2)}\ldots w^{(n)}$, o\`u  chaque lettre est un
vecteur-colonne \`a $(L+l+1)$ composantes.

On note $\MMS$ l'ensemble de tous les multimots sign\'es.
Maintenant, si $\bfK$, $\bfM$, $\bfk$, $\bfm$ sont quatre suites
fix\'ees d'entiers ({\it cf}.~\S\kern2pt 2), on note 
$\MMS\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$
le sous-ensemble des multimots sign\'es 
$(\bfw,\varepsilon )=(B_1,\ldots, B_L,b_1, \ldots, b_l, \varepsilon )$ 
dont les coefficients entiers sont ainsi major\'es:

\medskip
\noindent
(3.1)\quad lorsque $\varepsilon (i)=x$, alors \vtop{\halign{#\hfil\cr
$B_1(i)\le K_1$, \dots~, $B_L(i)\le K_L$;\cr
$b_1(i)\le k_1$, \dots~, $b_l(i)\le k_l$;\cr}}

\noindent
(3.2)\quad
lorsque $\varepsilon (i)=y$, alors \vtop{\halign{#\hfil\cr
$B_1(i)\le M_1$, \dots~, $B_L(i)\le M_L$;\cr
$b_1(i)\le m_1$, \dots~, $b_l(i)\le m_l$.\cr}}

\medskip
Lorsque $\varepsilon $ ne contient que des lettres \'egales \`a~$x$
(resp. \`a~$y$), on dit que le multimot sign\'e 
$(\bfw,\varepsilon )=(B_1,\ldots, B_L,b_1, \ldots, b_l, \varepsilon )$
est {\it croissant}, si les mots $B_1$, \dots~, $B_L$ sont
{\it strictement} croissants et les mots $b_1$, \dots~, $b_l$
sont croissants au sens large. On note $\MMSC_{x^*}$ (resp.
$\MMSC_{y^*}$) l'ensemble des multimots sign\'es croissants
$(\bfw,\varepsilon )$ tels que $\varepsilon $ ne contient que des 
lettres \'egales \`a~$x$ (resp. \`a~$y$). Enfin, $\MMSC_{x^*y^*}$
d\'esigne l'ensemble des produits de juxtaposition
$(\bfw,\varepsilon )(\bfw',\varepsilon ')$, o\`u 
$(\bfw,\varepsilon )\in \MMSC_{x^*}$
et $(\bfw',\varepsilon ')\in \MMSC_{y^*}$.

De m\^eme, la suite $(\bfK,\bfM,\bfk,\bfm)$ \'etant donn\'ee, on d\'esigne
par\break  $\MMSC_{x^*}\textstyle{\bfK\choose \bfk}$ (resp.
$\MMSC_{y^*}\textstyle{\bfM\choose \bfm}$) le sous-ensemble
de $\MMSC_{x^*}$ (resp. de $\MMSC_{y^*}$) des multimots
sign\'es $(\bfw,\varepsilon )$ satisfaisant (3.1) (resp. satisfaisant (3.2)).
Enfin, on pose $\MMSC_{x^*y^*}\textstyle{\bfK,\bfM\choose
\bfk,\bfm}=\MMSC_{x^*y^*}\cap 
\MMS\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$.

Soient $b=b(1)b(2)\ldots b(n)$ un mot dont les lettres $b(i)$ sont des
entiers positifs et~$\varepsilon =\varepsilon (1)\varepsilon (2)\ldots
\varepsilon (n)$  un {\it mot}-$xy$ de m\^eme longueur~$n$.  On note
$b_{\varepsilon |x}$ (resp. $b_{\varepsilon |y}$) le sous-mot de~$b$
restreint aux seules lettres $b(i)$ dont la lettre
correspondante~$\varepsilon (i)$ est \'egale \`a~$x$ (resp. \`a~$y$).
Deux bases $p$ et $q$ \'etant donn\'ees, on pose    
$$
\varphi (b,\varepsilon ;p,q)=p^{\|b_{\varepsilon |x}\|}\,
q^{\|b_{\varepsilon |y}\|}. \leqno(3.3)
$$
Maintenant la suite de bases $(\bfQ,\bfP,\bfq,\bfp)$ \'etant donn\'ee
({\it cf.}~\S\kern 2pt 2) et utilisant toujours les notations
ci-dessus, on peut associer \`a tout multimot sign\'e
$(\bfw,\varepsilon )$ le mon\^ome d\'efini par
$$\displaylines{(3.4)\ \Phi(\bfw,\varepsilon )=
\Phi(\bfw,\varepsilon ,\bfP,\bfQ,\bfp,\bfq)
=\varphi (B_1,\varepsilon ;P_1,Q_1)\ldots
\varphi (B_L,\varepsilon ;P_L,Q_L)\hfill\cr 
\hfill \times{}\varphi (b_1,\varepsilon ;p_1,q_1)
\ldots \varphi (b_l,\varepsilon ;p_l,q_l)
X^{\ell(\varepsilon |x)} Y^{\ell(\varepsilon |y)}.\cr}
$$

D'apr\`es (2.1), (2.2) et (2.10), on voit alors que la
fonction de Bessel $\bfJ^\bfK_\bfk(X;\bfP,\bfp)$ s'exprime comme
une image homomorphe de multimots\break sign\'es, \`a savoir:
$$
\bfJ^\bfK_\bfk(X;\bfP,\bfp)=\sum_ {(\bfw,\varepsilon )} 
(-1)^{\ell(\bfw)} 
\Phi(\bfw,\varepsilon )\qquad 
((\bfw,\varepsilon )\in \MMSC_{x^*}\textstyle{\bfK\choose
\bfk}). 
$$
La prochaine \'etape est de faire entrer cette expression dans la
fraction rationnelle~$F$ de (2.11). D'abord,
$$\displaylines{
\bfJ^\bfK_\bfk((1-t)X;\bfP,\bfp)
=\sum_ {(\bfw,\varepsilon )} (t-1)^{\ell(\bfw)} 
\Phi(\bfw,\varepsilon )\quad ((\bfw,\varepsilon )\in 
\MMSC_{x^*}\textstyle{\bfK\choose \bfk});\cr 
\bfJ^\bfM_\bfm((1-t)Y;\bfQ,\bfq)=\sum_ {(\bfw,\varepsilon )}
(t-1)^{\ell(\bfw)}  \Phi (\bfw,\varepsilon )\quad 
((\bfw,\varepsilon )\in
\MMSC_{y^*}\textstyle{\bfM\choose \bfm}).\cr }
$$
Pour simplifier les notations notons ces deux fonctions de
Bessel, respectivement, $\bfJ(X)$ et $\bfJ(Y)$. Leur produit est
\'egal \`a
$$
\bfJ(X)\,\bfJ(Y)=\sum_ {(\bfw,\varepsilon )} (t-1)^{\ell(\bfw)}
\Phi(\bfw,\varepsilon )
\qquad ((\bfw,\varepsilon )\in 
\MMSC_{x^*y^*}\textstyle{\bfK,\bfM\choose
\bfk,\bfm}).
$$
De l\`a, notant ``$e$" le multimot sign\'e 
de longueur~0,
$$\displaylines{
\eqalign{{1-t\over
-t+\bfJ(X)\,\bfJ(Y)}
&={1-t\over -t+\sum\limits_{(\bfw,\varepsilon )}
(t-1)^{\ell(\bfw)}\,\Phi(\bfw,\varepsilon )}\cr 
&=\Bigl(1-\sum_{(\bfw,\varepsilon )\not=e}
(t-1)^{\ell(\bfw)-1}\,\Phi(\bfw,\varepsilon )\Bigr)^{-1}.\cr}\cr
\noalign{\hbox{Ainsi $F{\textstyle{\bfK,\bfM\choose
\bfk,\bfm}}=\Phi(G{\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}})$, o\`u}}
(3.5)\ \hfill G{\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
=\Bigl(1-\sum_{(\bfw,\varepsilon )}
(t-1)^{\ell(\bfw)-1}\,(\bfw,\varepsilon )\Bigr)^{-1}  
\Bigl(\sum_{(\bfw',\varepsilon ')}
(t-1)^{\ell(\bfw')}(\bfw',\varepsilon ')\Bigr),\cr
\noalign{\hbox{et}}
(\bfw,\varepsilon )\in \MMSC_{x^*y^*}\textstyle{\bfK,\bfM\choose
\bfk,\bfm}\setminus\{e\}\quad{\rm et}\quad
(\bfw',\varepsilon ')\in \MMSC_{x^*}\textstyle{\bfK\choose
\bfk}.\cr}
$$

\goodbreak

\centerline
{\bf 4. Un calcul \`a la Fedou-Rawlings}

\medskip
Cette \'etape consiste \`a exprimer~$G$ comme une fonction
g\'en\'eratrice de {\it tous} les multimots sign\'es par la 
statistique suivante appel\'ee ``rise." Soient
$B=B(1)\ldots B(n)$, $b=b(1)\ldots b(n)$, deux mots,
$\varepsilon =\varepsilon (1)\ldots \varepsilon (n)$ un mot-$xy$ et $i$ un entier compris entre
1 et~$n$ (bornes incluses). On dit que $i$ est une 
$\varepsilon $-{\it mont\'ee stricte} de~$B$, si l'une des conditions est
satisfaite:

{\parindent=30pt
\decale (i)|$i=n$ et $\varepsilon (n)=x$;
\decale (ii)|$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=x$, 
$\varepsilon (i+1)=y$;
\decale (iii)|$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$ et 
$B(i)<B(i+1)$;

}

Si (i) ou (ii) est satisfaite, ou si  la condition ${\rm (iii}')$,
\`a savoir $1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$ et
$b(i)\le b(i+1)$, est r\'ealis\'ee, on dit que $i$ est une $\varepsilon
$-{\it mont\'ee} de~$b$.

\medskip
{\it Remarque}.\ Il est important de noter que les $\varepsilon
$-mont\'ees strictes (resp. les $\varepsilon $-mont\'ees) sont de deux
natures: il y a celles qui ne d\'ependent que du mot-$xy$ (conditions
(i) et (ii) et dans ce cas on reprend les {\it m\^emes} conventions que
pour les descentes des permutations sign\'ees donn\'ees dans la
D\'efinition~1) et celles qui prennent en charge les mont\'ees
strictes (resp. les mont\'ees) classiques $B(i)<B(i+1)$ (resp.
$b(i)\le b(i+1)$), pourvu que l'on ait 
$\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$.

\medskip
Si $(\bfw,\varepsilon )$ un multimot sign\'e tel que
$\bfw=(B_1,\ldots,B_L,b_1,\ldots,b_l)$, la statistique
$\rise(\bfw,\varepsilon )$ est d\'efinie comme le nombre d'indices~$i$
tels que $i$ est une $\varepsilon $-mont\'ee stricte commune \`a $B_1$,
\dots~, $B_L$ et une $\varepsilon $-mont\'ee commune \`a $b_1$,
\dots~, $b_l$. Autrement dit, $\rise(\bfw,\varepsilon )$ est \'egal au
nombre d'indices~$i$ tels que l'une des trois conditions est r\'ealis\'ee:
(i), (ii) (comme ci-dessus) ou 

(iii$''$) $1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$ et
$B_j(i)<B_j(i+1)$ pour tout $j=1,\ldots,L$ et $b_j(i)\le
b_j(i+1)$ pour tout $j=1,\ldots,l$.

\proclaim
Proposition 4.1. On a l'identit\'e 
$$\displaylines{\rlap{\rm (4.1)}\hfill 
G=\sum_{(\bfw,\varepsilon )} 
t^{\rise (\bfw,\varepsilon )}\,(\bfw,\varepsilon )\hfill\cr
\noalign{\hbox{et par cons\'equent $[$cf. $(2.11)]$}}
\rlap{\rm (4.2)}\hfill
F{\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
=\sum_{(\bfw,\varepsilon )} 
t^{\rise (\bfw,\varepsilon )}\,\Phi(\bfw,\varepsilon ),\hfill\cr}
$$
o\`u $(\bfw,\varepsilon )$ varie dans l'ensemble des multimots sign\'es
$\MMS\textstyle{\bfK,\bfM\choose
\bfk,\bfm}$ et o\`u $\Phi$ est l'homomorphisme d\'efini en $(3.4)$.
\endproclaim

Pour \'etablir (4.1), nous reprenons ici une formule d'inversion
classique, imagin\'ee par plusieurs auteurs dans des contextes
plus ou moins diff\'erents (voir Goulden et Jackson [GoJa83,
p.~131], Stanley [St86, p.~266], Viennot [Vi86], Hutchinson et
Wilf [HuWi75], [Fo79]), bien explicit\'ee par Fedou
et Rawlings [FeRa94, FeRa95] et que ces derniers auteurs ont exprim\'e
ainsi. Formons l'alg\`ebre large du mono\"\i de libre $X^*$ engendr\'e
par un certain ensemble~$X$ sur un anneau de
polyn\^omes~$\Omega$. Donnons-nous une application
$a:X^2\rightarrow \Omega$, qu'on prolonge en une application
$a:X^*\rightarrow \Omega$ en posant pour $w=x_1x_2\ldots
x_n\in X^*$: $$\eqalignno{
a(w)&=\cases{a(x_1,x_2)\ldots a(x_{n-1},x_n),&si
$n\ge 2$;\cr
1,& si $n=0$ ou 1;\cr}\cr
\noalign{\hbox{et d\'efinissons ensuite:}}
\overline a(w)&=\cases{(a(x_1,x_2)-1)\ldots
(a(x_{n-1},x_n)-1),&si $n\ge 2$;\cr
1,& si $n=0$ ou 1.\cr}\cr}
$$
Soient encore $U$ et $V$ deux sous-ensembles non-vides de
l'alphabet~$X$. Les expressions $U^+$ et $U^*V$ d\'esignent
les ensembles des mots non vides $w=x_1x_2\ldots x_n$ dont,
respectivement, {\it toutes} les lettres sont dans~$U$,
la {\it derni\`ere} lettre~$x_n$ est dans~$V$.

La formule d'inversion, dont la d\'emonstration est tout
\`a fait banale (il suffit de multiplier \`a gauche chaque membre par
$(1-\sum\limits_{w\in U^+} \overline a(w)\,w)$ et de v\'erifier
que les coefficients de chaque mot~$w$ sont les m\^emes dans les
deux membres), est la suivante:  
$$
\sum_{w\in U^*V} a(w)\,w
=\Bigl(1-\sum_{w\in U^+} \overline a(w)\,w\Bigr)^{-1}
\times \sum_{w\in U^*V} \overline a(w)\,w.\leqno(4.3)
$$

Pour utiliser ici cette formule, il faut
consid\'erer tout multimot sign\'e comme un mot 
$w^{(1)}w^{(2)}\ldots w^{(n)}$ dont les lettres
sont des vecteurs de $(L+l+1)$ composantes ({\it cf.}~Fig.~1).
Notons $\bbY$ l'alphabet dont les lettres sont des vecteurs
dont les $(L+l)$ premi\`eres composantes sont des entiers et la
$(L+l)$ plus uni\`eme composante est \'egale \`a~$x$ ou~$y$

Dans la formule (4.3) prenons les
ingr\'edients suivants: d'abord  $X=\bbY\cup\{\underline\infty\}$,
o\`u ``$\underline\infty $" est un vecteur de longueur $(L+l+1)$
dont toutes les composantes sont \'egales \`a $\infty$, de sorte que
les multimots sign\'es sont  les mots du  mono\"\i de libre
$\bbY^*$.  Soient
$w^{(i)}=(B_1(i),\ldots,B_L(i),b_1(i),\ldots,b_l(i),\varepsilon (i))$ et
$w^{(i+1)}=(B_1(i+1),\ldots,B_L(i+1),
b_1(i+1),\ldots,b_l(i+1),\varepsilon (i+1))$
deux lettres de~$X$. Suivant notre convention, ou bien toutes
les composantes de $w^{(i)}$ (resp. $w^{(i+1)}$) sont \'egales \`a
$\infty$, ou bien $\varepsilon (i)$ (resp. $\varepsilon (i+1)$) est \'egal \`a~$x$ ou~$y$.


Pour ``$a$" prenons l'application: 
$$
a(w^{(i)},w^{(i+1)})
=\cases{t,&si $\varepsilon (i)=x$ et $\varepsilon (i+1)=\infty$,\cr
t,&si $\varepsilon (i)=x$ et $\varepsilon (i+1)=y$,\cr
t,&si $\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$ et
$B_j(i)<B_j(i+1)$\cr
&\quad pour tout $j=1,\ldots,L$ et\cr
&\quad $b_j(i)\le
b_j(i+1)$ pour tout $j=1,\ldots,l$,\cr
1,&sinon.\cr
} 
$$
Pour $V$ prenons le singleton $\{\underline\infty\}$ 
et pour $U$ l'ensemble~$\bbY$.
La formule (4.3) se r\'ecrit, apr\`es simplification \`a droite
par~$\underline\infty$,
$$\displaylines{(4.4)\quad
\sum_{(\bfw,\varepsilon )\in \MMSsix} \kern-5pt
a((\bfw,\varepsilon ) \, \underline\infty)\,(\bfw,\varepsilon )\hfill\cr
\hfill{}
=\Bigl(1-\kern-5pt\sum_{(\bfw,\varepsilon )\in \MMSsix\setminus\{e\}} 
\overline a((\bfw,\varepsilon ))\,(\bfw,\varepsilon )\Bigr)^{-1} 
\times \kern-5pt\sum_{(\bfw,\varepsilon )\in \MMSsix} \kern-5pt
\overline a((\bfw,\varepsilon )\,\underline\infty )\,(\bfw,\varepsilon ).\cr}
$$

\goodbreak

Soit $\bfw=w^{(1)}w^{(2)}\ldots w^{(n)}$ un multimot sign\'e, 
de longueur~$n$,
\'ecrit en les lettres de l'alphabet~$\bbY$. Posons
$w^{(n+1)}=\underline\infty$. On voit alors que la statistique
$\rise (\bfw,\varepsilon )$ d\'efinie au d\'ebut de cette section s'exprime
encore comme:
$$ 
\rise(\bfw,\varepsilon )=\sum_{1\le i\le n}
\chi\bigl(a(w^{(i)}\,w^{(i+1)})=t\bigr).\leqno(4.5)
$$
Pour tout multimot sign\'e $(\bfw,\varepsilon )$, on a alors:
$$
\eqalign{a((\bfw,\varepsilon )\,\underline\infty)
&=t^{\rise (\bfw,\varepsilon )},\cr
\overline a(\bfw,\varepsilon )&=\cases{(t-1)^{\ell(\bfw)-1},&si 
$(\bfw,\varepsilon )\in \MMSC_{x^*y^*}$ et $\ell(\bfw)\ge 2$;\cr
1,&si $\ell(\bfw)=0$ ou 1;\cr
0,&sinon;\cr}\cr
\overline
a((\bfw,\varepsilon )\,\underline\infty)&=\cases{(t-1)^{\ell(\bfw)},&si
$(\bfw,\varepsilon )\in \MMSC_{x^*}$ et $\ell(\bfw)\ge 1$;\cr
1,&si $\ell(\bfw)=0$;\cr
0,&sinon.\cr}\cr
}
$$
L'identit\'e (4.4) prend alors la forme:
$$\displaylines{(4.6)\quad
\sum_{(\bfw,\varepsilon )\in \MMSsix} 
t^{\rise (\bfw,\varepsilon )}\,(\bfw,\varepsilon )\hfill\cr
\hfill{}
=\Bigl(1-\kern-10pt
\sum_{(\bfw,\varepsilon )\in \MMSCsix_{x^*y^*}\setminus\{e\}} 
(t-1)^{\ell(\bfw)-1}\,(\bfw,\varepsilon )\Bigr)^{-1} 
\times \kern-7pt\sum_{(\bfw,\varepsilon )\in \MMSCsix_{x^*}} \kern-7pt
(t-1)^{\ell(\bfw)}\,(\bfw,\varepsilon ).\cr}
$$
L'identit\'e (4.6) reste encore valable, si l'on remplace
$\MMS$ par $\MMS\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$, 
$\MMSC_{x^*y^*}$ par
$\MMSC_{x^*y^*}\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$ et
$\MMSC_{x^*}$ par $\MMSC_{x^*}\textstyle{\bfK\choose \bfk}$.
On retrouve l'expression de~$G$ donn\'ee en (3.5). La
Proposition~4.1 est donc d\'emontr\'ee.

Sans \'eriger le principe en m\'ethode, on peut dire que toute
expression analytique comme celle de $F$ ({\it cf.}~(2.11)) est
susceptible de recevoir une interpr\'etation combinatoire en
termes de {\it mots} (voir [Ehr93]), ici de multimots sign\'es.
Cette interpr\'etation est plus ou moins difficile \`a obtenir, mais
ne fait intervenir que des objets rudimentaires dont la g\'eom\'etrie
reste pauvre. Pour obtenir des r\'esultats sur des
objets combinatoires dont la g\'eom\'etrie est riche,
comme des permutations, ici des multipermutations sign\'ees, il
faut recourir \`a une nouvelle construction envoyant les
multimots sur les multipermutations. La construction d\'ecrite
ici est emprunt\'ee au ``MacMahon Verfahren" [Mac13, Fo95]. Elle
fait l'objet des paragraphes suivants.

\bigskip
\centerline
{\bf 5. Multipermutations sign\'ees}

\medskip
On d\'efinit une {\it permutation sign\'ee} d'ordre~$n$ comme
un couple $(\sigma ,\varepsilon )$, o\`u $\sigma $ est
une permutation~$\sigma=\sigma (1)\sigma (2)\ldots \sigma (n)$
du mot $12\ldots n$ et~$\varepsilon =\varepsilon
(1)\varepsilon (2)\ldots \varepsilon (n)$ est un mot de
longueur~$n$ en l'alphabet \`a deux lettres $\{x,y\}$. On dit
que $\varepsilon $ est un {\it mot}-$xy$; on note
$\ell(\varepsilon |x)$ (resp. $\ell(\varepsilon |y)$) le nombre
de lettres \'egales \`a~$x$ (resp. \'egales \`a~$y$)
dans~$\varepsilon $. On note \'egalement $\sigma _{\varepsilon
|x}$ (resp. $\sigma _{\varepsilon |y}$) le sous-mot de~$\sigma
$ form\'e par toutes les lettres $\sigma (i)$ telles que
$\varepsilon (i)=x$ (resp. $\varepsilon (i)=y$). 

On appelle {\it multipermutation sign\'ee}, d'ordre~$n$, un
triplet $(\underline\Sigma, \underline \sigma ,\varepsilon )$,
o\`u $\underline\Sigma=(\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L)\in {\cal
S}_n^L$, $\underline \sigma =(\sigma _1,\ldots,\sigma _l)\in
{\cal S}_n^l$ sont deux suites de~$L$ et~$l$ permutations
d'ordre~$n$ et o\`u $\varepsilon$ est un mot-$xy$ de
longueur~$n$.

Remarquons que chaque paire $(\Sigma_i,\varepsilon)$
($i=1,\ldots,L)$ (resp. $(\sigma_i,\varepsilon)$
($i=1,\ldots,l)$ est une {\it permutation sign\'ee} d'ordre~$n$. 

La notion de {\it descente} dans une multipermutation sign\'ee,
introduite ci-apr\`es, prolonge la notion de {\it descente
commune} introduite par Carlitz [Ca76] pour les couples de
permutations ordinaires.

\medskip
{\it D\'efinition}.\ On dit que l'entier
$i$ est une {\it descente} de la multipermutation sign\'ee
$(\underline \Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$,
si l'une des quatre conditions suivantes est remplie:

{\parindent=30pt
\textindent{(i)}$i=n$ et $\varepsilon (n)=x$;

\textindent{(ii)}$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=x$, 
$\varepsilon (i+1)=y$;

\textindent{(iii)}$1\le i\le n-1$, $\varepsilon (i)=\varepsilon (i+1)$
et  $\Sigma_1(i)>\Sigma_1(i+1)$, \dots~, 
$\Sigma_L(i)>\Sigma_L(i+1)$, ainsi que
$\sigma_1(i)>\sigma_1(i+1)$, \dots~, 
$\sigma_l(i)>\sigma_l(i+1)$;

}

On note 
$\ddes(\underline \Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon)$ le
{\it nombre de  descentes} de 
$(\underline \Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )$.

\medskip
Les statistiques intervenant dans (1.5) autres que ``ddes"
sont des statistiques sur les permutations sign\'ees
$(\Sigma_i,\varepsilon)$ $(i=1,\ldots,L)$ et
$(\sigma_i,\varepsilon)$ $(i=1,\ldots,l)$. Nous donnons leurs
d\'efinitions ci-apr\`es.

\medskip
Le {\it nombre de
descentes} ``$\des w$," l'{\it indice majeur} ``$\maj w$"  et
le {\it nombre d'inversions} ``$\inv w$" d'un mot
$w=x_1x_2\ldots x_m$, dont les lettres appartiennent \`a un
ensemble totalement ordonn\'e,  sont
traditionnellement d\'efinis par: 
$$  
\eqalignno{\des w&=\sum_{1\le i\le m-1}
\chi(x_i>x_{i+1})\,;\cr \maj w&=\sum_{1\le i\le m-1}
i\,\chi(x_i>x_{i+1})\,;\cr
\inv w&=\sum_{1\le i<j\le m} \chi(x_i > x_j).\cr
}  
$$
Nous introduisons, en plus, 
le {\it nombre} de mont\'ees ou {\it de co-descentes}
``$\codes$," l'{\it indice co-majeur} ``$\comaj w$" et le {\it
nombre de co-inversions}\break ``$\coinv w$" d\'efinis par : 
$$
\eqalign{
\codes w&=\sum_{1\le i\le m-1}
\chi(x_i<x_{i+1})\,;\cr
\comaj w&=\sum_{1\le i\le m-1}
i\,\chi(x_i<x_{i+1})\,;\cr
\coinv w&=\sum_{1\le i<j\le m} \chi(x_i < x_j).\cr}  
$$
Consid\'erons maintenant une permutation sign\'ee
$(\sigma,\varepsilon )$ d'ordre~$n$. Rangeons par
ordre croissant les lettres du mot $\sigma _{\varepsilon |x}$:
$j_1<j_2<\cdots <j_k$. Si maintenant $\sigma ^{-1}$
d\'esignons la permutation {\it inverse} de~$\sigma $, notons
$\sigma _{\varepsilon |x}^{-1}$ le {\it mot}
$\sigma^{-1}(j_1)\sigma^{-1}(j_2)\ldots \sigma^{-1}(j_k)$.
On d\'efinirait de m\^eme $\sigma _{\varepsilon |y}^{-1}$.

Par exemple, avec la permutation sign\'ee $(\sigma ,\varepsilon )$ telle
que 
$$\displaylines{
\matrix{\hphantom{\sigma =}\cr
\sigma =\cr
\varepsilon =\cr}\petitematrice{1&2&3&4&5&6&7&8&9\cr
6&7&2&4&3&1&5&8&9\cr
x&x&y&y&y&y&x&x&x\cr},\cr
\noalign{\hbox{on obtient}}
\matrix{\hphantom{\sigma =}\cr
\sigma _{\varepsilon |x}=\cr}\!\!\!\petitematrice{1&2&7&8&9\cr
6&7&5&8&9\cr},\ 
\matrix{\hphantom{\sigma =}\cr
\sigma _{\varepsilon |y}=\cr}\!\!\!\petitematrice{3&4&5&6\cr
2&4&3&1\cr},\ 
\matrix{\hphantom{\sigma =}\cr
\sigma ^{-1}_{\varepsilon |x}=\cr}\!\!\!\petitematrice{5&6&7&8&9\cr
7&1&2&8&9\cr},\ 
\matrix{\hphantom{\sigma =}\cr
\sigma ^{-1}_{\varepsilon |y}=\cr}\!\!\!\petitematrice{1&2&3&4\cr
6&3&5&4\cr}.\cr}
$$

Les quatre mots $\sigma _{\varepsilon |x}$, $\sigma _{\varepsilon |y}$,
$\sigma _{\varepsilon |x}^{-1}$, $\sigma _{\varepsilon |y}^{-1}$ ont
des nombres de descentes et des nombres de co-descentes, des indices
majeurs et co-majeurs, ainsi que des nombres d'inversions et de
co-inversions, bien d\'efinis. Par ailleurs, on peut introduire le nombre
d'inversions ``\/$\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon
|x})$" {\it entre les mots} $\sigma_{\varepsilon |y}$ et
$\sigma_{\varepsilon |x}$, en posant  
$$
\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})
=\#\{(i,j):\varepsilon (i)=y,\,\varepsilon (j)=x,\, 
\sigma(i)>\sigma(j)\}. 
$$
Ces statistiques sur des sous-mots permettent de d\'efinir 
les statistiques suivantes sur les permutations sign\'ees
$(\sigma ,\varepsilon )$:
$$
\eqalign{
\ides \sigma _{\varepsilon |x}&=\des \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr
\ides \sigma _{\varepsilon |y}&=\des \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr
\imaj \sigma _{\varepsilon |x}&=\maj \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr
\imaj \sigma _{\varepsilon |y}&=\maj \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr}
\qquad
\eqalign{
\icodes \sigma _{\varepsilon |x}&=\codes \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr
\icodes \sigma _{\varepsilon |y}&=\codes \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr
\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}&=\comaj \sigma _{\varepsilon |x}^{-1}\,;\cr
\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}&=\comaj \sigma _{\varepsilon |y}^{-1}\,;\cr
}
$$
On introduit de plus
$$\eqalign{
\imaj(\sigma,\varepsilon )
&=\imaj \sigma _{\varepsilon |x}+\imaj \sigma _{\varepsilon |y}
+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x}) \,;\cr
\icomaj(\sigma,\varepsilon )
&=\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}+\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}
+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})\,;\cr
\inv(\sigma,\varepsilon )
&=\inv \sigma _{\varepsilon |x}+\inv
\sigma _{\varepsilon |y}+\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})\,;\cr
\coinv(\sigma,\varepsilon )
&=\coinv \sigma _{\varepsilon |x}+\coinv
\sigma _{\varepsilon |y}+\inv(\sigma_{\varepsilon
|y},\sigma_{\varepsilon |x}).\cr }
$$

\medskip 
{\it D\'efinition}. 
Supposons que $\varepsilon $ a $\alpha $ lettres \'egales \`a~$x$ et $\beta
$ lettres \'egales \`a~$y$ $(\alpha +\beta =n)$. 
On dit que la permutation $\sigma $ est {\it compatible avec}~$\varepsilon $
(ou encore que la permutation sign\'ee $(\sigma ,\varepsilon )$ est {\it
compatible\/}), si
$$\inv(\sigma_{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})=0,$$
ou, de fa\c con \'equivalente, si le sous-mot $\sigma _{\varepsilon |y}$ est
un r\'earrangement du mot $12\ldots \beta $ (et donc $\sigma _{\varepsilon
|x}$ est un r\'earrangement de $(\beta +1)(\beta +2)\ldots n$).

\medskip
Cette notion sera fondamentale dans les sections suivantes.
On note $\PC(\varepsilon )$ l'ensemble des permutations compatibles
avec~$\varepsilon $. La permutation
sign\'ee trait\'ee dans l'exemple ci-dessus est 
compatible. En particulier,\break
$\inv(2431,67589)=0$. On a, de plus,
$$\eqalign{
\imaj(\sigma ,\varepsilon )&=\maj 71289+\maj
6354+\inv(2431,67589)=5;\cr
\icomaj(\sigma ,\varepsilon )&=\comaj 71289+\comaj
6354+\inv(2431,67589)=11;\cr
\inv(\sigma ,\varepsilon )&=\inv 67589+\inv 2431+\inv(2431,67589)=6;\cr
\coinv(\sigma ,\varepsilon )&=\coinv 67589+\coinv
2431+\inv(2431,67589)=10.\cr}
$$
On dit que la multipermutation sign\'ee 
$(\underline\Sigma,\underline\sigma,\varepsilon)$ est {\it
compatible}, si toutes les pemutations sign\'ees
$(\Sigma_i,\varepsilon)$ et $(\sigma_i,\varepsilon)$ sont
elles-m\^emes compatibles.

\goodbreak
\bigskip
\centerline
{\bf 6. Une premi\`ere bijection.}

\medskip
Notre prochain but est de montrer que la fonction g\'en\'eratrice
$$
\sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
\bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} 
\,F\textstyle{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm},
$$
o\`u les $F{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$ sont eux-m\^emes des
fonctions g\'en\'eratrices de multimots sign\'es ({\it
cf}.~(4.2)), peut s'exprimer comme fonction g\'en\'eratrice de
multipermutations sign\'ees. Ce r\'esultat repose sur un codage
des mots sign\'es par des permutations sign\'ees, codage que nous
d\'ecrivons dans ce paragraphe et le suivant.

Si $\varepsilon $ est un mot-$xy$ fix\'e, notons $\Mot(\varepsilon ;k,m)$
l'ensemble de tous les mots~$b$, de m\^eme longueur que~$\varepsilon $,
tels que les lettres de $b_{\varepsilon |x}$ (resp. de $b_{\varepsilon |y}$)
sont des entiers positifs au plus \'egaux \`a~$k$ (resp. \`a~$m$). Enfin,
d\'esignons par $\MC_\alpha (k')$ l'ensemble des mots croissants~$\lambda
$, de longueur~$\alpha $, dont toutes les lettres sont au plus \'egales
\`a~$k'$. Autrement dit, $\lambda \in \MC_\alpha (k')$ ssi $\lambda =\lambda (1)\lambda (2)\ldots
\lambda (\alpha )$ et  
$0\le \lambda (1)\le \cdots \le \lambda (\alpha )\le k'$.

Il r\'esulte de (2.7) que l'on a
$$
\sum_{k'\ge 0}r^{k'}\sum_{\lambda \in \MC_\alpha (k')} 
p^{\|\lambda \|} = e_p^\alpha (r)
={1\over (r;p)_{\alpha +1}}.\leqno(6.1)
$$
\vskip-7pt

\proclaim Proposition 6.1.
Le mot $\varepsilon $ \'etant donn\'e, ainsi que les entiers positifs~$k$
et~$m$, il existe une bijection
qui envoie tout mot
$b\in \Mot(\varepsilon ;k,m)$ sur un quintuplet
$(k',m',\sigma ,\lambda ,\theta )$ satisfaisant
les relations:

\decale{\rm (i)}|$\sigma \in \PC(\varepsilon );\quad k=k'+\icodes \sigma 
_{\varepsilon |x};\quad m=m'+\icodes \sigma _{\varepsilon |y};$
\decale{\rm (ii)}|$\lambda \in \MC_\alpha (k')$,
$\theta \in \MC_\beta (m')$, o\`u $\alpha 
=\ell(\varepsilon |x)$ et $\beta =\ell(\varepsilon |\beta )$;
\decale{\rm (iii)}|$\|b_{\varepsilon |x}\|
=\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}+\|\lambda 
\|;\quad \|b_{\varepsilon |y}\|
=\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}+\|\theta \|$.
\decale{\rm (iv)}|$i$ est une $\varepsilon $-mont\'ee de~$b$ 
ssi $i$ est une $\varepsilon $-descente de~$\sigma $.
\endproclaim

La bijection repose sur une m\'ethode de r\'earrangement mise au
point par MacMahon (voir [An76, chap.~3]), souvent appel\'ee
{\it MacMahon Verfahren}, qu'il faut chaque fois adapter au
probl\`eme sous-jacent (voir [Fo95], [ClFo95], [FoZe95],
[FoKr95]). Une extension de cette m\'ethode, plus appropri\'ee
pour l'\'etude des ensembles partiellement ordonn\'es
(``posets"), a \'et\'e mise au point par Stanley et ses
\'el\`eves (voir [St72], [Re93]) dans l'alg\`ebre des
$P$-$\omega $-partitions.

\medskip
Nous d\'ecrivons la construction de cette bijection \`a
l'aide d'un exemple. Dans celui-ci, on prend d'abord:
$$
n=9;\quad k=9;\quad m=8; \quad
\varepsilon =x\,x\,y\,y\,y\,y\,x\,x\,x,
$$
de sorte que
$\alpha =5$ et $\beta =4$. Soit, de plus,
$b=9\,5\,4\,0\,0\,6\,9\,1\,0\in \Mot(\varepsilon ;9,8)$.

\medskip
{\it  Premi\`ere \'etape}.
Noter en gras (resp. en maigre) les lettres $b(i)$ de $b$ telles
que $\varepsilon (i)=x$ (resp. telles que $\varepsilon (i)=y$). Num\'eroter ensuite~1
la plus grande lettre maigre de~$b$ situ\'ee la plus {\it \`a
droite}, puis~2 la plus grande lettre maigre de~$b$ situ\'ee la
plus \`a droite non encore num\'erot\'ee, \dots~, enfin~$\beta $ la
derni\`ere lettre maigre non encore num\'erot\'ee (donc la plus petite
lettre la plus \`a gauche). Continuer en num\'erotant $\beta +1$ la la
plus grande lettre grasse la plus {\it \`a droite}, puis~$\beta +2$ la
plus grande lettre grasse la plus \`a droite non encore num\'erot\'ee,
\dots~, enfin $\beta +\alpha =n$ la derni\`ere lettre grasse non encore
num\'erot\'ee (donc la plus petite lettre grasse la plus \`a gauche).
On d\'efinit ainsi la permutation~$\sigma $ associ\'ee \`a~$b$, qui est
forc\'ement compatible avec~$\varepsilon $. 

Dans l'exemple 
$$
\matrix{\cr \varepsilon ={}\cr b={}\cr \sigma ={}\cr}
\matrice{\bf 1&\bf 2&3&4&5&6&\bf7&\bf 8&\bf 9\cr
x&x&y&y&y&y&x&x&x\cr
\bf 9&\bf 5&4&0&0&6&\bf 9&\bf 1&\bf 0\cr
\bf 6&\bf 7&2&4&3&1&\bf 5&\bf 8&\bf  9\cr}
$$

{\it Deuxi\`eme \'etape}. Le {\it icomaj-codage} $c$ pour $(\sigma
,\varepsilon )$ est ainsi d\'efini: sous la lettre (maigre)~$\beta
$ de~$\sigma $ on \'ecrit (en maigre)~0 et on pose $c(\beta )=0$;
sous la lettre $\beta -1$ on \'ecrit (en maigre)~$c(\beta-1)=c(\beta
)=0$ ou $c(\beta )+1=1$, suivant que $\beta -1$ est \`a la gauche ou
\`a la droite de~$\beta $; sous la lettre $\beta -2$ on \'ecrit (en
maigre)~$c(\beta-2)=c(\beta -1)$ ou $c(\beta -1)+1$, suivant que
$\beta -2$ est \`a la gauche ou \`a la droite de~$\beta -1$, etc.

De m\^eme, sous la lettre (grasse)~$n$ de~$\sigma $ on \'ecrit
(en gras)~0 et on pose $c(n)=0$; sous la lettre $n-1$ on \'ecrit
(en gras)~$c(n-1)=c(n)=0$ ou $c(n)+1=1$, suivant que $n-1$ est \`a la
gauche ou \`a la droite de~$n$; sous la lettre $n-2$ on \'ecrit (en
gras)~$c(n-2)=c(n-1)$ ou $c(n-1)+1$, suivant que $n-2$ est \`a la
gauche ou \`a la droite de~$n-1$, etc.

Dans l'exemple, \'ecrivons $c(i)$ sous la {\it lettre \'egale \`a}~$i$
de~$\sigma $, de sorte que le mot effectivement \'ecrit est
$c\circ \sigma =c(\sigma (1))c(\sigma (2))\ldots c(\sigma (n))$:
$$
\matrix{\quad \sigma ={}\cr c\circ \sigma ={}\cr}
\matrice{
\bf 6&\bf 7&2&4&3&1&\bf 5&\bf 8&\bf 9\cr
\bf 3&\bf 2&1&0&0&1&\bf 3&\bf 1&\bf 0\cr}.
$$

{\it Troisi\`eme \'etape}.
Faire la diff\'erence $b-c\circ \sigma $ terme \`a terme, en notant
maigre ou gras la diff\'erence $b(i)-c\circ \sigma (i)$ suivant que les
deux termes sont eux-m\^emes maigres ou gras. On obtient: 
$$
\matrix{\kern 29pt b={}\cr 
\kern 14pt c\circ \sigma ={}\cr b-c\circ \sigma ={}\cr}
\matrice{\bf 9&\bf 5&4&0&0&6&\bf 9&\bf 1&\bf 0\cr
\bf 3&\bf 2&1&0&0&1&\bf 3&\bf 1&\bf 0\cr
\bf 6&\bf 3&3&0&0&5&\bf 6&\bf 0&\bf 0\cr
}.
$$
Le mot croissant $\lambda $ (resp. $\theta$) est simplement d\'efini
comme le r\'earrangement croissant des lettres grasses
(resp. des lettres maigres) du mot $b-c\circ \sigma $. Ici
$$
\lambda ={\bf 0\,0\,3\,6\,6}\qquad{\rm et}\qquad
\theta=0\,0\,3\,5. 
$$
Enfin, on d\'efinit: $k'=k-\icodes \sigma _{\varepsilon |x}$,
$m'=m-\icodes \sigma _{\varepsilon |y}$.

Ici
$$\displaylines{
\sigma _{\varepsilon |x}=\matrice{\bf 1&\bf 2&\bf7&\bf 8&\bf 9\cr
\bf 6&\bf 7&\bf 5&\bf 8&\bf 9\cr},\quad
\sigma _{\varepsilon |y}
=\matrice{3&4&5&6\cr
2&4&3&1\cr},\cr
\sigma _{\varepsilon |x}^{-1}=\matrice{\bf 5&\bf 6&\bf 7&\bf 8&\bf 9\cr
\bf 7&\bf 1&\bf 2&\bf 8&\bf 9\cr},\quad 
\sigma ^{-1}_{\varepsilon |y}=\matrice{1&2&3&4\cr
6&3&5&4\cr},\cr}
$$
de sorte que $\icodes \sigma _{\varepsilon |x}=3$, $\icomaj
\sigma _{\varepsilon |x}=2+3+4=9$, $\icodes \sigma _{\varepsilon
|y}=1$, $\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}=2$. D'o\`u
$$\eqalign{k'&=k-\icodes \sigma _{\varepsilon |x}=9-3=6,\cr
m'&=m-\icodes \sigma _{\varepsilon |y}=8-1=7.\cr}$$

La bijection suivant la m\'ethode de MacMahon ayant \'et\'e
adapt\'ee d\'ej\`a \`a plusieurs occasions, nous pensons nous
dispenser de d\'emontrer le carac\-t\`ere bijectif de l'application
juste construite et de devoir d\'emontrer les propri\'et\'es (i) --
(iv) de la Proposition~6.1. Nous voulons cependant v\'erifier les
donn\'ees sur l'exemple courant et faire quelques commentaires.

\decale {(i)}|$\icodes \sigma _{\varepsilon |x}={\bf 3}$ 
(resp. $\icodes \sigma _{\varepsilon |y}=1$)
est {\it la plus grande lettre grasse} (resp. {\it la plus grande
lettre maigre\/}) de~$c\circ \sigma $.

\decale {(ii)}|Les mots $\lambda $ et $\theta $ ont leurs
lettres au plus \'egales respectivement \`a $k'=6$ et \`a $m'=7$.

\decale {(iii)}|$\icomaj \sigma _{\varepsilon |x}=9$ (resp.
$\icomaj \sigma _{\varepsilon |y}=2$) est encore la {\it somme}
des lettres grasses (resp. maigres) de $c\circ \sigma $. La
propri\'et\'e (iii) de la Proposition~6.1 est donc \'evidente.

\decale {(iv)}|R\'ecrivons $b$ et $\sigma $ l'un au-dessous de
l'autre, comme dans la premi\`ere \'etape, en indiquant les
$\varepsilon $-mont\'ees pour $b$ et les $\varepsilon $-descentes
pour~$\sigma $ par le symbole ``$\bullet$": 
$$\matrix{\cr b={}\cr
\sigma ={}\cr} \matrice{\bf 1&\bf 2&&3&4&&5&&6&\bf7&\bf 8&\bf 9&\cr
\bf 9&\bf 5&\bullet&4&0&\bullet&0&\bullet&6&\bf 9&\bf 1&\bf
0&\bullet\cr 
\bf 6&\bf 7&\bullet&2&4&\bullet&3&\bullet&1&\bf 5&\bf 8&\bf
9&\bullet\cr }.
$$
Il y a co\"\i ncidence compl\`ete.

\goodbreak
\medskip
On rappelle que pour un mot $b\in \Mot(k,m)$ on a d\'efini en (3.3)
$$\displaylines{
\varphi (b;\varepsilon ;p,q)
=p^{\|b_{\varepsilon |x}\|}q^{\|b_{\varepsilon |y}\|}. \cr
\noalign{\hbox{Pour une permutation~$\sigma $ posons}}
\psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q)
=r^{\icodes \sigma_{\varepsilon |x} } 
s^{\icodes \sigma_{\varepsilon |y}}
p^{\icomaj  \sigma_{\varepsilon |x} } 
q^{\icomaj \sigma_{\varepsilon |y}}.\cr}
$$
La correspondance $b\mapsto (k',m',\sigma ,\lambda ,\theta)$ de la
Proposition~6.1 permet\break d'\'ecrire
$$\eqalign{
r^k s^m \varphi (b;\varepsilon ;p,q)&=r^k s^m 
p^{\|b_{\varepsilon |x}\|}q^{\|b_{\varepsilon |y}\|}\cr
&=r^{k'+\icodes \sigma _{\varepsilon |x}} 
s^{m'+\icodes \sigma_{\varepsilon |y}}\cr
&\qquad\qquad{}\times
p^{\icomaj  \sigma_{\varepsilon |x}+\|\lambda \|}
q^{\icomaj \sigma_{\varepsilon |y}+\|\theta\|}\cr
&=r^{k'}s^{m'} p^{\|\lambda \|} q^{\|\theta\|}
\psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q).\cr
}
$$
On en tire
$$
\displaylines{(6.2)\quad
\sum_{k\ge 0,m\ge 0} r^ks^m\sum_{b\in \Mot(k,m)}
\varphi (b;\varepsilon ;p,q)\hfill\cr
\hfill\eqalign{&=\sum_{\scriptstyle k'\ge 0,\atop
\scriptstyle m'\ge 0}
r^{k'}s^{m'}\sum_{\scriptstyle \lambda \in \MC_\alpha (k'),\atop
\scriptstyle \theta\in \MC_\beta (m')}
p^{\|\lambda \|} q^{\|\theta\|}
\sum_{\sigma \in \PC(\varepsilon )} 
\psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q)\cr
&=e_p^\alpha (r)\,e_q^\beta (s) 
\sum_{\sigma \in \PC(\varepsilon )} 
\psi(\sigma ;\varepsilon ;r,s,p,q),\cr
}\cr}
$$
\`a cause de (6.1).


\bigskip
\centerline
{\bf 7. La seconde bijection.}

\medskip
Il y a juste quelques modifications \`a apporter \`a la description
de la premi\`ere bijection pour obtenir la construction de la
seconde.

\proclaim Proposition 7.1.
Le mot $\varepsilon $ \'etant donn\'e, ainsi que des entiers
positifs~$K$ et~$M$, il existe une bijection qui envoie tout mot
$B \in \Mot(\varepsilon ;K,M)$ sur un quintuplet $(K',M',\Sigma
,\Lambda ,\Theta)$ satisfaisant les propri\'et\'es suivantes:

\decale{\rm (i)}|$\Sigma \in \PC(\varepsilon );\quad 
K=K'+\ides \Sigma _{\varepsilon |x};\quad
M=M'+\ides \Sigma _{\varepsilon |y};$
\decale{\rm (ii)}|$\Lambda \in \MC_\alpha (K')$,
$\Theta\in \MC_\beta (M')$, o\`u $\alpha =\ell(\varepsilon |x)$,  $\beta =\ell(\varepsilon |y)$;
\decale{\rm (iii)}|$\|B_{\varepsilon |x}\|
=\imaj \Sigma _{\varepsilon |x}+\|\Lambda \|;\quad
\|B_{\varepsilon |y}\|=\imaj \Sigma _{\varepsilon |y}+\|\Theta\|$.
\decale{\rm (iv)}|$i$ est une $\varepsilon $-mont\'ee stricte de~$B$ ssi
$i$ est une $\varepsilon $-descente de~$\Sigma $.
\endproclaim

De m\^eme, nous donnons la construction de cette bijection \`a
l'aide d'un exemple. On prend le m\^eme mot~$\varepsilon $, puis
$K=8$, $M=6$,
$B={\bf 4\,7}\,1\,0\,4\,6\,{\bf 3\,3\,5}\in \Mot(\varepsilon ;8,6)$.

Dans la {\it premi\`ere} et la {\it deuxi\`eme \'etape}, on d\'efinit
$\Sigma$ et$~C$ comme $\sigma $ et $c$ dans la construction du
paragraphe pr\'ec\'edent, mais on remplace partout ``\`a droite" par
``\`a gauche" et r\'eciproquement. La troisi\`eme \'etape est identique.
On obtient    
$$
\matrix{\cr \kern36pt \varepsilon ={}\cr\kern35pt B={}\cr 
\kern35pt \Sigma ={}\cr \kern20pt
C\circ\Sigma={}\cr B-C\circ\Sigma={}\cr}
\matrice{\bf 1&&\bf 2&&3&4&&5&&6&\bf7&\bf 8&&\bf 9&\cr
x&&x&&y&y&&y&&y&x&x&&x&\cr
\bf 4&\bullet&\bf 7&\bullet&1&0&\bullet&4&\bullet&6&\bf 3&\bf
3&\bullet&\bf 5&\bullet\cr 
\bf 7&\bullet&\bf 5&\bullet&3&4&\bullet&2&\bullet&1&\bf 8&\bf
9&\bullet&\bf 6&\bullet\cr 
\bf 0&&\bf 1&&0&0&&1&&2&\bf 0&\bf 0&&\bf 1&\cr
\bf 4&&\bf 6&&1&0&&3&&4&\bf 3&\bf 3&&\bf 4&\cr
},
$$
o\`u l'on a indiqu\'e aussi les $\varepsilon $-mont\'ees {\it
strictes} pour~$B$ et les $\varepsilon $-descentes pour $\Sigma$
par le symbole ``$\bullet$," celles-ci apparaissant aux m\^emes
places.

De m\^eme, les mots croissants $\Lambda$ et $\Theta$ sont
d\'efinis comme les r\'ear\-ran\-ge\-ments croissants des lettres
grasses (resp. des lettres maigres) du mot
$B-C\circ\Sigma$. Ici
$$
\Lambda={\bf 3\,3\,4\,4\,6}\qquad{\rm et}\qquad
\Theta=0\,1\,3\,4. 
$$
Enfin, on d\'efinit: $K'=K-\ides \Sigma _{\varepsilon |x}$,
$M'=M-\ides \Sigma _{\varepsilon |y}$.

\medskip
On v\'erifie les propri\'et\'es suivantes.

\decale {(i)}|On a $\ides \Sigma _{\varepsilon |x}
=\des \Sigma _{\varepsilon |x}^{-1}=1$
et $\ides \Sigma _{\varepsilon |y}
=\des \Sigma _{\varepsilon |y}^{-1}=2$ et donc
$K'=8-1=7$ et $M'=6-2=4$.

\decale {(ii)}|Les mots croissants $\Lambda $ et $\Theta$ ont
leurs lettres au plus \'egales respectivement \`a $K'=7$ et \`a $M'=4$.

\decale {(iii)}|On a
$\imaj \Sigma _{\varepsilon |x}
=\maj \Sigma _{\varepsilon |x}^{-1}=2$ et
$\imaj \Sigma _{\varepsilon |y}
=\maj \Sigma _{\varepsilon |y}^{-1}=3$.
Enfin,
$\|B_{\varepsilon |x}\|=4+7+3+3+5=22
=2+(6+4+4+3+3)=\imaj \Sigma _{\varepsilon |x}+\|\Lambda \|$ et 
$\|B_{\varepsilon |y}\|=1+0+4+6=11
=3+(4+3+1+0)=\imaj \Sigma _{\varepsilon |y}+\|\Theta\|$.

\medskip
Pour chaque permutation $\Sigma$ posons maintenant:
$$
\Psi(\Sigma;\varepsilon ;R,S,P,Q)
=R^{\ides \Sigma_{\varepsilon |x} } 
S^{\ides \Sigma_{\varepsilon |y}}
P^{\imaj  \Sigma_{\varepsilon |x} } 
Q^{\imaj \Sigma_{\varepsilon |y}}.
$$
Le m\^eme calcul que dans la section pr\'ec\'edente, utilisant cette
fois la Proposition 7.1, conduit \`a
$$\displaylines{
R^K S^M \varphi (B;\varepsilon ;P,Q)=R^{K'} S^{M'}
P^{\|\Lambda\|}Q^{\|\Theta\|}
\Psi(\Sigma;\varepsilon ;R,S,P,Q),\cr
\noalign{\hbox{d'o\`u l'on tire:}}
(7.1)\quad
\sum_{K\ge 0,M\ge 0} R^K S^M \sum_{B\in \Mot(K,M)}
\varphi (B;\varepsilon ;P,Q)\hfill\cr
\hfill{}=e_P^\alpha (R)\,e_Q^\beta (S) 
\sum_{\Sigma\in \PC(\varepsilon )} 
\Psi(\Sigma;\varepsilon ;R,S,P,Q).
\cr}
$$


\medskip
\centerline
{\bf 8. Le calcul de la premi\`ere fonction g\'en\'eratrice.}

\medskip
Combinons maintenant le contenu des deux Propositions 6.1 et
7.1. On suppose donn\'es, d'abord le mot $\varepsilon $, contenant
$\alpha $ lettres~$x$ et $\beta $ lettres~$y$, puis les suites
d'entiers positifs  
$$\eqalign{
\bfK&=(K_1,K_2,\ldots, K_L),\cr
\bfM&=(M_1,M_2,\ldots, M_L),\cr}\qquad
\eqalign{
\bfk&=(k_1,k_2,\ldots, k_l),\cr
\bfm&=(m_1,m_2,\ldots,m_l).\cr}
$$ 
En outre, on d\'esigne par
${\rm Multimot}\bigl(\varepsilon ;{\bfK,\bfM\choose
\bfk,\bfm}\bigr)$ l'ensemble des multimots
$\bfw=(B_1,\ldots,B_L,b_1,\ldots,b_l)$,
tels que tout $B_i$ est dans $\Mot(\varepsilon ;K_i,M_i)$ et tout
$b_i$ est dans $\Mot(\varepsilon ;k_i,m_i)$.
On peut donc appliquer \`a chaque $b_i$ la bijection de la
Proposition~6.1 et \`a chaque $B_i$ celle de la Proposition~7.1.
Notons $\sigma _i$ (resp. $\Sigma_i$) la permutation compatible
avec~$\varepsilon $ correspondant \`a~$b_i$ (resp. \`a~$B_i$) par la
premi\`ere (resp. la seconde) bijection et posons
$$\displaylines{
\rlap{(8.1)}\hfill
\underline \Sigma=(\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L);\qquad
\underline \sigma =(\sigma _1,\ldots,\sigma _l);\hfill\cr 
\quad
\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )
=\Psi(\Sigma_1;\varepsilon ;R_1,S_1,P_1,Q_1)
\ldots \Psi(\Sigma_L;\varepsilon ;R_L,S_L,P_L,Q_L)\hfill\cr
\hfill{}\times
\psi(\sigma _1;\varepsilon ;r_1,s_1,p_1,q_1)\ldots
\psi(\sigma _l;\varepsilon ;r_l,s_l,p_l,q_l).\quad\cr}
$$
Introduisons les huit statistiques multivari\'ees $\ides_x$,
$\ides_y$, $\imaj_x$, $\imaj_x$, $\icodes_x$, $\icodes_y$,
$\icomaj_x$, $\icomaj_y$ comme:
$$\leqalignno{
\bfR^{\ides_x(\underline\Sigma,\varepsilon)}
&=R_1^{\ides\Sigma_{1\,\varepsilon\,|\,x}}\ldots 
R_L^{\ides\Sigma_{L\,\varepsilon\,|\,x}}\cr
\cdots&=\cdots\cr
\bfq^{\icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon)}
&=q_1^{\icomaj\sigma_{1\,\varepsilon\,|\,y}}\ldots 
q_l^{\icomaj\sigma_{l\,\varepsilon\,|\,y}}\cr}
$$
On peut encore \'ecrire:
$$\displaylines{(8.2)\quad
\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )
=\bfR^{\ides_x(\underline\Sigma,\varepsilon)}
\bfS^{\ides_y(\underline\Sigma,\varepsilon)}
\bfP^{\imaj_x(\underline\Sigma,\varepsilon)}
\bfQ^{\imaj_y(\underline\Sigma,\varepsilon)}\hfill\cr
\hfill{}\times
\bfr^{\icodes_x(\underline\sigma,\varepsilon)}
\bfs^{\icodes_y(\underline\sigma,\varepsilon)}
\bfp^{\icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon)}
\bfq^{\icomaj_y(\underline\sigma,\varepsilon)}\cr}
$$
D'autre part, les propri\'et\'es (iv) des deux Propositions 6.1
et 7.1 impliquent que $i$ est une $\varepsilon $-mont\'ee
commune \`a chaque~$b_j$ et une $\varepsilon $-mont\'ee
stricte commune \`a chaque~$B_j$, si et seulement si~$i$ est
une $\varepsilon $-descente commune \`a  chaque~$\sigma_j$
et \`a chaque $\Sigma_j$. Autrement dit, on a: 
$$
\rise(\bfw,\varepsilon )
=\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon ).
\leqno(8.3) 
$$
D 'apr\`es (6.2) et (7.1) et les d\'efinitions de $\varphi $ et
$\Phi$ donn\'ees en (3.3) et (3.4), on en d\'eduit
$$\displaylines{(8.4) \quad
\sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
\bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} 
\sum_{\bfw\in  \Multimot
\bigl(\varepsilon ;{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}\bigr)}
t^{\rise(\bfw,\varepsilon )}
\Phi(\bfw,\varepsilon )\hfill\cr
\hfill{}=
e^\alpha _\bfP(\bfR)\,e^\beta _\bfQ(\bfS)\,e^\alpha _\bfp(\bfr)\,
e^\beta _\bfq(\bfs)\sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma )}
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)}
\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon ),\quad\cr}
$$
o\`u la derni\`ere sommation est sur toutes les suites de
permutations (8.1), compatibles avec~$\varepsilon $.

Maintenant on peut sommer d'abord par rapport \`a
tous les~$\varepsilon $ tels que $\ell(\varepsilon |x)=\alpha $
et $\ell(\varepsilon |y)=\beta $, puis par rapport \`a~$\alpha \ge
0$ et \`a~$\beta \ge 0$. Le membre de gauche donne 
$$
\sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
\bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} 
\sum_{(\bfw,\varepsilon )\in  \MMS {\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
t^{\rise(\bfw,\varepsilon )} 
\Phi(\bfw,\varepsilon ),\leqno(8.5)
$$
o\`u la seconde sommation est \'etendue \`a {\it tous} les multimots
sign\'es $(\bfw,\varepsilon )$ de $\MMS
{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$.

Le membre de droite de (8.4) devient
$$\displaylines{
\sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0}
e^\alpha _\bfP(\bfR)\,e^\beta _\bfQ(\bfS)\,
e^\alpha _\bfp(\bfr)\,
e^\beta _\bfq(\bfs)
X^\alpha  Y^\beta  W_{\alpha ,\beta },\cr
\noalign{\hbox{o\`u}}
W_{\alpha ,\beta }
=W_{\alpha ,\beta }(t,\bfR,\bfS,\bfP,\bfQ,\bfr,\bfs,\bfp,\bfq)
=\kern-13pt
\sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma
,\varepsilon )\, {\rm (comp.)}
\atop \scriptstyle
\ell(\varepsilon |x)=\alpha ,\,\ell(\varepsilon |y)=\beta } 
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ),\cr}
$$
la sommation \'etant sur toutes les multipermutations
sign\'ees compatibles $(\underline\Sigma,\underline\sigma
,\varepsilon )$ telles que $\ell(\varepsilon |x)=\alpha $ et
$\ell(\varepsilon |y)=\beta $.

R\'ecrivons l'expression (8.5) \`a l'aide de la seconde identit\'e
de la Proposition~4.1. On en d\'eduit le r\'esultat suivant.

\proclaim Th\'eor\`eme 8.1. 
La fonction g\'en\'eratrice factorielle des
multipermutations sign\'ees compatibles
$(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ par la
suite de statistiques $({\sl voir}\ (8.2))$
$$\displaylines{
(\ddes, \ides_x,\ides_y,\imaj_x,
\imaj_y,\icodes_x,\icodes_y,\icomaj_x, \icomaj_y),\cr
\noalign{\hbox{est donn\'ee par}} \quad
\sum_{{\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}}
\bfR^{\bfK}\bfS^{\bfM}\bfr^{\bfk}\bfs^{\bfm} 
{(1-t)\,\bfJ^\bfK_\bfk((1-t)X;\bfP,\bfp) \over
-t+\bfJ^\bfK_\bfk((1-t)X;\bfP,\bfp)\,
\bfJ^\bfM_\bfm((1-t)Y;\bfQ,\bfq) } \hfill\cr \hfill{}=\kern-5pt
\sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0}\kern-5pt
e^\alpha _\bfP(\bfR)\,e^\beta _\bfQ(\bfS)\,e^\alpha _\bfp(\bfr)\,
e^\beta _\bfq(\bfs)
X^\alpha  Y^\beta  \kern-18pt
\sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )\, {\rm
(comp.)}
\atop \scriptstyle
\ell(\varepsilon |x)=\alpha ,\,\ell(\varepsilon |y)=\beta } 
\kern-18pt
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon ).\cr}
$$
\endproclaim

Si l'on fait $X=0$ dans la pr\'ec\'edente identit\'e, on obtient
$$\displaylines{(8.6)
\quad
\sum_{{\bfM\choose \bfm}}
\bfS^{\bfM}\bfs^{\bfm} 
{(1-t)
\over -t+
\bfJ^\bfM_\bfm((1-t)Y;\bfQ,\bfq) }
\hfill\cr
\hfill{}=
\sum_{\beta \ge 0}
e^\beta _\bfQ(\bfS)\,
e^\beta _\bfq(\bfs)
Y^\beta  
\sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma )} 
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma )}
\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ).\quad\cr}
$$
La derni\`ere sommation se fait cette fois sur {\it toutes}
les multipermutations $(\underline\Sigma,\underline \sigma )$
de longueur~$\beta $. La
statistique $\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma )$ est le
nombre de descentes communes \`a toutes les permutations
$\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L,\sigma _1,\ldots,\sigma _l$. Enfin,
$$\displaylines{
\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline \sigma )
=\bfS^{\ides\underline\Sigma}\,
\bfs^{\icodes\underline\sigma}\,
\bfQ^{\imaj\underline\Sigma}\,
\bfq^{\icomaj\underline \sigma },\cr
\noalign{\hbox{o\`u, naturellement,}}
\eqalign{\bfS^{\ides\underline\Sigma}&=S_1^{\ides
\Sigma_1}\ldots S_L^{\ides \Sigma_L},\cr
\cdots&=\cdots\cr
\bfq^{\icomaj\underline\Sigma}&=q_1^{\icomaj \sigma_1}\ldots
q_l^{\icomaj \sigma_l}.\cr}\cr}
$$
L'identit\'e (8.6) avec cette derni\`ere interpr\'etation
globalise en une formule toutes les identit\'es obtenues par
Fedou et Rawlings [FeRa94, FeRa95] dans leur calcul de la
statistique ``ddes" sur les suites de permutations.

\medskip
L'identit\'e du Th\'eor\`eme 8.1 est l'{\it analogue fini} de la
fonction g\'en\'e\-ra\-trice factorielle des multipermutations sign\'ees:
``analogue fini" voulant dire que les fonction de Bessel
sous-jacentes sont toutes \`a param\`etres finis. Si les
param\`etres ne sont plus finis, on ne peut plus consid\'erer une
s\'erie en les param\`etres ${\bfK,\bfM\choose \bfk,\bfm}$ comme
dans l'identit\'e du Th\'eor\`eme~8.1. On part alors de cette identit\'e
et on la multiplie successivement par $(1-R_1)$ et l'on fait
$R=1$, \dots~, puis par $(1-R_L)$ et l'on fait $R_L=1$, jusqu'\`a
multiplier par $(1-s_l)$ et faire $s_l=1$. On obtient l'identit\'e
$$\displaylines{(8.7)\quad
{(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfP,\bfp)
\over -t+\bfJ((1-t)X;\bfP,\bfp)\,
\bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq) }
\hfill\cr
\kern2cm{}=
\sum_{\alpha \ge 0,\,\beta \ge 0}
{1\over (\bfP;\bfP)_{\alpha }}
{1\over (\bfQ;\bfQ)_{\beta }}
{1\over (\bfp;\bfp)_{\alpha }}
{1\over (\bfq;\bfq)_{\beta }}
\hfill\cr
\hfill{}
{}\times X^\alpha  Y^\beta  \kern-10pt
\sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon
)\ {\rm (comp.)}
\atop \scriptstyle \ell(\varepsilon |x)=\alpha
,\,\ell(\varepsilon |y)=\beta }  \kern-10pt
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )} 
\underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline\sigma
,\varepsilon ),\qquad\cr} 
$$ 
o\`u le mon\^ome
$\underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )$ est
simplement la sp\'ecialisation de
$\underline\Psi(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )$ lorsque
toutes les variables $R_i$, $S_i$, $r_i$, $s_i$ sont \'egales
\`a~1. Autrement dit, avec les notations (8.2)
$$
\underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline\sigma ,\varepsilon )
=\bfP^{\imaj_x(\underline\Sigma,\varepsilon)}
\bfQ^{\imaj_y(\underline\Sigma,\varepsilon)}
\bfp^{\icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon)}
\bfq^{\icomaj_y(\underline\sigma,\varepsilon)}.
$$

Dans (8.7) la fonction g\'en\'eratrice sous-jacente est sur
les seules multipermutations sign\'ees {\it compatibles}. On
peut en d\'eduire une expression pour la fonction
g\'en\'eratrice de {\it toutes} les multipermutations
sign\'ees, en r\'edui\-sant le nombre des variables. Ceci fait
l'objet du paragraphe suivant.

\bigskip

\centerline
{\bf 9. Fonction g\'en\'eratrice de toutes les
multipermutations  sign\'ees}

\medskip
Partons de (8.7) et prenons $\bfP=\bfQ$,
$\bfp=\bfq$, c'est-\`a-dire $P_1=Q_1$, \dots,~$P_L=Q_L$,
$p_1=q_1$, \dots, $p_l=q_l$. Posons \'egalement
pour chaque multipermutation sign\'ee compatible
$(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$
$$\leqalignno{\noalign{\vskip-5pt}
\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon)&=
\imaj_x(\underline\Sigma,\varepsilon)
+\imaj_y(\underline\Sigma,\varepsilon)\cr
\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon)&=
\icomaj_x(\underline\sigma,\varepsilon)
+\icomaj_y(\underline\sigma,\varepsilon),\cr}
$$
soit $\imaj(\Sigma_i,\varepsilon)=
\imaj\Sigma_{i\,\varepsilon |x}+\imaj\Sigma_{i\,\varepsilon
|y}$ $(i=1,\ldots, L)$ et $\icomaj(\sigma_i,\varepsilon)=
\icomaj\Sigma_{i\,\varepsilon
|x}+\icomaj\Sigma_{i\,\varepsilon |y}$ $(i=1,\ldots,l)$, ce qui
est conforme \`a la d\'efinition donn\'ee au paragraphe~5, puisque
toutes les permutations sign\'ees $(\Sigma_i,\varepsilon)$
et $(\sigma_i,\varepsilon)$ consid\'er\'ees sont compatibles.

Conservant les seules variables $Q_1,\ldots, Q_L,q_1,\ldots,q_l$,
on voit que le nouveau mon\^ome
$\underline\Psi'(\underline\Sigma,\underline \sigma ,
\varepsilon )$ est \'egal~\`a
$$ 
\underline\Psi''(\underline\Sigma,\underline \sigma
,\varepsilon ) =\bfQ^{\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon )}
\bfq^{\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon )}.\leqno(9.1)
$$
Posons
$$
W_{\alpha ,\beta }=
\sum_{\scriptstyle(\underline\Sigma,\underline \sigma ,
\varepsilon )\ {\rm
(comp.)}
\atop \scriptstyle \ell(\varepsilon |x)=\alpha ,\,
\ell(\varepsilon |y)=\beta } 
\kern-10pt
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
\bfQ^{\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon )}
\bfq^{\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon )}
$$
Une manipulation banale sur les $q$-s\'eries permet alors de
transformer le membre de droite de l'identit\'e (8.7) et d'\'ecrire
cette identit\'e sous la forme
$$\displaylines{(9.2)\quad
{(1-t)\,\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq)
\over -t+\bfJ((1-t)X;\bfQ,\bfq)\,
\bfJ((1-t)Y;\bfQ,\bfq) }
\hfill\cr
\kern2cm
{}=\sum_{n\ge 0}
{1\over (\bfQ;\bfQ)_{n}(\bfq;\bfq)_{n}}
W_n'(X,Y,t,\bfQ,\bfq)\cr
\noalign{\hbox{o\`u l'expression}}
\rlap{(9.3)}\hfill
W_n'(X,Y,t,\bfQ,\bfq)=\sum_{0\le \alpha \le n}
X^\alpha  Y^{n-\alpha }
{n\brack \alpha }_\bfQ\,{n\brack \alpha }_\bfq\,
W_{\alpha ,n-\alpha }\hfill\cr}
$$
est un {\it polyn\^ome} \`a coefficients entiers positifs. 
On retrouve l'identit\'e (1.1) d\'emontr\'ee avec d'autres
techniques dans notre premier article et pour une autre suite
de statistiques. 

\proclaim Th\'eor\`eme 9.1. Le polyn\^ome
$W'_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ apparaissant dans $(9.2)$ est le
polyn\^ome g\'en\'e\-rateur des multipermutations
sign\'ees $(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$
de longueur~$n$ par le $5$-vecteur $(\ell(\varepsilon
|x),\ell(\varepsilon |y),\ddes,\imaj,\icomaj)$. En d'autres termes,
$$
W'_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)
=\sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)}
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
\bfQ^{\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon )}
\bfq^{\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon )},
$$
o\`u la somme est sur toutes les multipermutations sign\'ees
$(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )$ de longueur~$n$.
\endproclaim

Nous ne reproduisons pas la d\'emonstration. On peut la calquer
de la d\'emonstration de la Proposition~2.1 de notre premier
article. 

Posons
$$\displaylines{(9.4)\quad
W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)\hfill\cr\
\hfill{}=
\sum_{(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
X^{\ell(\varepsilon |x)}Y^{\ell(\varepsilon |y)}
t^{\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )}
\bfQ^{\inv(\underline\Sigma,\varepsilon )}
\bfq^{\coinv(\underline\sigma,\varepsilon )\quad}.\cr}
$$
Dans notre premier article nous avions d\'emontr\'e que l'identit\'e
(9.2) \'etait encore vraie si l'on rempla\c cait le polyn\^ome
$W'_n$ par $W_n$. Nous obtenions ainsi une autre
interpr\'etation combinatoire du d\'eveloppement du rapport des
fonctions de Bessel apparaissant dans le membre de gauche
de~(9.2). Dans le dernier paragraphe de cet article, nous
donnons une d\'emonstration ``bijective" de ce r\'esultat.



\goodbreak
\bigskip
\centerline
{\bf 10. L'interpr\'etation en termes de nombre d'inversions}

\medskip
Il s'agit de d\'emontrer que le polyn\^ome
$W_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ d\'efini dans (9.4) et le polyn\^ome
$W'_n(X,Y,t,\bfQ,\bfq)$ apparaissant dans l'\'enonc\'e du
Th\'eo\-r\`eme~9.1 sont identiques.

On pourrait partir de l'identit\'e de la Proposition~4.1, et d\'efinir
des bijections analogues \`a celles qui ont \'et\'e construites dans
les sections~6 et~7 et \'etablir que la fraction (9.2)
est la fonction g\'en\'eratrice factorielle des polyn\^omes $W_n$.
Nous pr\'ef\'erons \'etablir le r\'esultat \`a l'aide d'une bijection
directe.


\proclaim Proposition 10.1. Il existe une bijection
$\Psi:(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )\mapsto
(\underline\Sigma',\underline \sigma ',\varepsilon ')$
de l'ensemble des multipermutations sign\'ees de longueur~$n$
sur elle-m\^eme, ayant les propri\'et\'es suivantes:


\decale{\rm (i)}|$\ell(\varepsilon |x)=\ell(\varepsilon '|x)$;

\decale{\rm (ii)}|$\ddes(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )=
\ddes(\underline\Sigma',\underline \sigma ',\varepsilon ')$;

\decale{\rm (iii)}|$\imaj(\underline\Sigma,\varepsilon )
=\inv(\underline\Sigma',\varepsilon ')$ 
et $\icomaj(\underline\sigma,\varepsilon )
=\coinv(\underline\sigma',\varepsilon ')$.

\endproclaim

{\it D\'emonstration.}
L'ingr\'edient principal de cette bijection est la {\it seconde
transformation fondamentale}. Nous ne
rappelons pas sa construction, mais renvoyons le lecteur au
chapitre~10 du livre de Lothaire [Lo83].  Notons $\Gamma $ cette
transformation. Par ailleurs, pour tout mot
$w=x_1x_2\ldots x_m$, o\`u les lettres appartiennent \`a un
alphabet totalement ordonn\'e, la {\it ligne de route} ``$\ligne
w$" de~$w$ est d\'efinie comme l'ensemble des entiers~$i$ tels
que $1\le i\le m-1$ et $x_i>x_{i+1}$, de sorte que ``$\maj w$"
est simplement la somme des \'el\'ements de cette ligne de route.

Soit maintenant $\pi$ une bijection d'un ensemble fini~$I$
d'entiers sur un ensemble fini d'entiers. Posons
$$
I=\{i_1<i_2<\cdots <i_k\},\qquad
\pi(I)=\{j_1<j_2<\cdots<j_k\},
$$
et pr\'esentons~$\pi$ comme une matrice \`a
deux lignes $\matrice{i_1&\ldots&i_k\cr
\pi(i_1)&\ldots&\pi(i_k)\cr}$, o\`u les \'el\'ements de la
premi\`ere ligne sont rang\'es en {\it ordre croissant}.
Notons~\bfi\ l'op\'eration qui consiste \`a envoyer toute bijection
sur son {\it inverse} et consid\'erons la cha\^\i ne
$$\displaylines{\quad \matrice{i_1&\ldots&i_k\cr
\pi(i_1)&\ldots&\pi(i_k)\cr} \buildrel {\textstyle\bfi} \over
\longrightarrow \matrice{j_1&\ldots&j_k\cr
\pi^{-1}(j_1)&\ldots&\pi^{-1}(j_k)\cr}\hfill\cr
\hfill{}
\buildrel {\textstyle\Gamma } \over \longrightarrow
\matrice{j_1&\ldots&j_k\cr
y_1&\ldots&y_k\cr}
\buildrel {\textstyle\bfi} \over \longrightarrow
\matrice{i_1&\ldots&i_k\cr
\pi'(i_1)&\ldots&\pi'(i_k)\cr},\quad\cr
\noalign{\hbox{qu'on va r\'ecrire:}}
\pi
\buildrel {\textstyle\bfi} \over \longrightarrow
\pi^{-1}
\buildrel {\textstyle\Gamma} \over \longrightarrow
\Gamma(\pi^{-1})
\buildrel {\textstyle\bfi} \over \longrightarrow
\pi'.\cr
}
$$
Comme prouv\'e dans
[FoSc78], $\Gamma$ envoie le {\it mot} 
$\pi^{-1}(j_1)\ldots\pi^{-1}(j_k)$ sur
un {\it r\'earrangement} $y_1\ldots y_k$ de ce mot. C'est la
seconde ligne de la troisi\`eme matrice ci-dessus. De plus, cette
bijection $\Gamma $ a la propri\'et\'e:
$$\displaylines{
\maj\bigl( \pi^{-1}(j_1)\ldots\pi^{-1}(j_k)\bigr)=\inv
\bigl(y_1\ldots y_k\bigr),\cr
\noalign{\hbox{ce qui entra\^\i ne}}
\rlap{(10.1)}\hfill
\maj\pi^{-1}=\inv\pi'
\quad{\rm et}\quad
\comaj\pi^{-1}=\coinv\pi'.\hfill\cr}
$$
Comme prouv\'e dans [FoSc78],
elle conserve, de plus, la {\it ligne de route} de {\it l'inverse}.
Par cons\'equent, la ligne de route de l'inverse de~$\pi^{-1}$
est \'egale \`a la ligne de route de l'inverse de
$\Gamma (\pi^{-1})$, c'est-\`a-dire,
$$
\ligne \pi=\ligne \pi'. \leqno(10.2)
$$

Soit maintenant un triplet
$(\underline\Sigma,\underline \sigma ,\varepsilon )
=((\Sigma_1,\ldots,\Sigma_L),(\sigma _1,\ldots,\sigma _l),\varepsilon )$. On note
$I$ le sous-ensemble de $[\,n\,]$ des entiers~$i$ tels que
$\varepsilon (i)=x$. On pose, tout d'abord, $\varepsilon
'=\varepsilon $. Ensuite, on applique \`a la restriction \`a~$I$ et
\`a~$I^c$ de chaque permutation $\Sigma_i$, $\sigma _i$ la
transformation pr\'ec\'edente $\pi\mapsto \pi'$. On construit ainsi
des permutations $\Sigma'_i$ et $\sigma '_i$, toutes d\'efinies par
leurs restrictions \`a~$I$ et \`a~$I^c$. 

Les trois propri\'et\'es (i), (ii), (iii) exig\'ees sont bien
satisfaites: la propri\'et\'e~(i) est triviale; la
propri\'et\'e~(ii) r\'esulte de la propri\'et\'e~(10.2) de la
transformation $\pi\mapsto \pi'$. Enfin, pour chaque
permutation~$\Sigma$ de la suite~$\underline\Sigma$, on a d'abord
$$\displaylines{
\inv(\Sigma_{\varepsilon |y},\Sigma_{\varepsilon |x})
=\inv(\Sigma'_{\varepsilon |y},\Sigma'_{\varepsilon |x})\ 
{\rm et}\ 
\inv(\sigma _{\varepsilon |y},\sigma_{\varepsilon |x})
=\inv(\sigma'_{\varepsilon |y},\sigma'_{\varepsilon |x}).\cr
\noalign{\hbox{Ensuite, d'apr\`es (2.2),}}
\eqalign{
\imaj(\Sigma ,\varepsilon )&=\maj\Sigma _{\varepsilon |x}^{-1}+ 
\maj\Sigma _{\varepsilon |y}^{-1}+\inv(\Sigma _{\varepsilon |y},\Sigma _{\varepsilon |x})\cr
&=\inv\Sigma '_{\varepsilon |x}+\inv\Sigma '_{\varepsilon |y}+
\inv(\Sigma '_{\varepsilon |y},\Sigma '_{\varepsilon |x})
=\inv(\Sigma ',\varepsilon )\,;\cr
\icomaj(\sigma ,\varepsilon )&=\comaj\sigma _{\varepsilon |x}^{-1}+ 
\comaj\sigma _{\varepsilon |y}^{-1}+\inv(\sigma _{\varepsilon |y},\sigma _I)\cr
&=\coinv\sigma '_{\varepsilon |x}+\coinv\sigma '_{\varepsilon |y}+\inv(\sigma '_{\varepsilon |y},\sigma '_{\varepsilon |x})
=\coinv(\sigma ,\varepsilon ).\qed\cr}\cr}
$$


\vglue 38pt
\centerline{\bf Bibliographie}
{\eightpoint

\medskip
\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }


%reference pour un article:
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir 
     #3, {\sl #4}, vol.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre:
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir  
    {\sl #3}\pointir   #4.\par}}
%reference complementaire:
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir  
     #3.\par}}
%

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