Calcul des Probabilités, Cours, exercices et problèmes corrigés, seconde édition, 1998

Dominique Foata et Aimé Fuchs

ISBN: 2 10 004104 5

Dunod, 5, rue Laromiguière, F-75005 Paris.

Collection Sciences Sup dirigée par M. Sinnou David

Liste des errata

Pour commander un exemplaire.

Sommaire

1. Le langage des probabilités

Un exemple. Le triplet fondamental. Suites infinies d'évènements. Compléments et exercices.

2. Les évènements

Les algèbres. Les tribus. Les systèmes de Dynkin. Les classes monotones. Compléments et exercices.

3. Espaces probabilisés

Probabilités. Propriétés. Formule de Poincaré et inégalité de Boole. Autres propriétés. Identités binomiales. Compléments et exercices.

4. Probabilités discrètes

Dénombrements : Probabilités discrètes. Equirépartition sur les espaces finis. Ensembles finis. Formules classiques de dénombrement. Le principe de réflexion. Compléments et exercices (problème des rencontres, le chevalier de Méré, boules et urnes).

5. Variables aléatoires

Application réciproque. Fonctions mesurables. Variables aléatoires. Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle. La fonction de masse et les discontinuités de la fonction de répartition. Tribu engendrée par une variable aléatoire. Compléments et exercices.

6. Probabilités conditionnelles

Indépendance : Probabilité conditionnelle. Systèmes complets d'évènements. Probabilités définies par des probabilités conditionnelles. Evènements indépendants. Indépendance de classes d'évènements. Variables aléatoires indépendantes. Compléments et exercices (tirages avec et sans remise).

7. Variables aléatoires discrètes. Lois usuelles

Variables aléatoires discrètes. La loi binomiale. La loi hypergéométrique. La loi géométrique. La loi de Poisson. Compléments et exercices (problème des boîtes d'allumettes de Banach, poissonisation, le paradoxe de l'inspection).

8. Espérance mathématique. Valeurs typiques

Transformation de variables aléatoires. Indépendance. Convolution des lois de probabilité discrètes. Espérance mathématique. Moments. Covariance. Le coefficient de corrélation linéaire. L'inégalité de Tchebychev. Les inégalités relatives aux moments dans le cas fini. Médiane, écart moyen minimum. Compléments et exercices.

9. Fonctions génératrices

Définitions. Propriétés. Sommes de variables aléatoires. Le théorème de continuité. Compléments et exercices.

10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Intégrale des variables aléatoires réelles

Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur la droite. Mesure de probabilité induite par une fonction de répartition. Mesures de Stieltjes-Lebesgue à n dimensions. Variables aléatoires réelles. Intégrale d'une variable aléatoire réelle par rapport à une mesure. Exemples. Propriétés de l'intégrale. Théorèmes de convergence. Compléments et exercices (comment probabiliser l'ensemble des suites infinies du jeu de pile ou face.

11. Espérance mathématique. Lois absolument continues

Espérance mathématique d'une variable aléatoire. Mesures de probabilité produit et théorème de Fubini. Intégrale de Lebesgue. Lois de probabilité absolument continues. Les trois types de fonctions de répartition. Convolution. Compléments et exercices.

12. Variables aléatoires à deux dimensions ; espérance conditionnelle. Lois normales

Définitions et premières propriétés. Loi de probabilité absolument continue, densité de probabilité. Loi de probabilité conditionnelle, espérance mathématique conditionnelle, régression. Règles de calcul concernant les espérances conditionnelles. La loi normale à deux dimensions. Compléments et exercices.

13. Fonction génératrice des moments ; fonction caractéristique

Introduction. Propriétés élémentaires. Moments. Fonction caractéristique. Seconde fonction caractéristique. Fonction génératrice d'un vecteur aléatoire. Propriété fondamentale. Compléments et exercices.

14. Les principales lois de probabilité (absolument continues)

La loi uniforme sur [0,1]. La loi uniforme sur [a,b]. La loi normale ou de Laplace-Gauss. La loi Log-normale. La loi exponentielle. La première loi de Laplace. La loi de Cauchy. La loi gamma. La loi bêta. Les lois arcsinus. Compléments et exercices.

15. Lois de probabilité de fonctions de variables aléatoires

Cas à une dimension. Cas à deux dimensions. Loi de probabilité d'une fonction de deux variables aléatoires. Compléments et exercices.

16. Convergences stochastiques

Convergence en loi ou convergence étroite. Convergence en probabilité. Convergence en moyenne d'ordre r>0. Convergence presque sûre. Comparaison des divers types de convergence. Convergence en loi de variables aléatoires à valeurs entières et absolument continues. Convergence étroite et convergence presque sûre. La convergence en loi d'un point de vue fonctionnel. Le théorème de Paul Lévy. Compléments et exercices.

17. Loi des grands nombres

La loi faible des grands nombres. La loi forte des grands nombres. Les lemmes de Borel-Cantelli. Compléments et exercices.

18. Le rôle central de la loi normale ; le théorème central limit

Aperçu historique. Le théorème central limit. Le théorème central limit et la formule de Stirling. Le théorème de Lindeberg. Le théorème de Liapounov. Compléments et exercices.

19. La loi du logarithme itéré

Notations et lemmes préliminaires. Loi forte des grands nombres et théorème de Hardy-Littlewood. La loi du logarithme itéré.

20. Applications des probabilités: problèmes résolus

Le problème des rencontres revisité. Un problème de temps d'atteinte. Acheminement du courrier par voie hiérarchique. Fractions continues. Une application de la formule de Bernstein. Le modèle de la diffusion d'Ehrenfest. Vecteurs univormément répartis sur la sphère-unité à n dimensions. Un problème de probabilité géométrique.