Processus stochastiques
(Processus de Poisson; chaînes de Markov; martingales)
Cours et exercices corrigés.

Dominique Foata et Aimé Fuchs

ISBN : 2100065017 - Code : 46501

Dunod, 5, rue Laromiguière, F-75005 Paris, 2002.

Collection Sciences Sup dirigée par M. Sinnou David.

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Sommaire

1. Notations utilisées et rappels

Le triplet fundamental. Le théorème binomial. Conditionnement et indépendance. Probabilités discrètes et variables aléatoires. Intégration. Vecteurs aléatoires. Fonctions génératrice et caractéristique. Lois normales et exponentielles, loi gamma. Convergences. Lois des grands nombres. Le théorème central limit. Tribu engendrée par des variables aléatoires. Espérances conditionnelles.

2. Temps d'arrêt

Généralités sur les processus stochastiques. Notion de temps d'arrêt. Autres propriétés des temps d'arrêt. Processus de variables indépendantes. Identité de Wald. Compléments et exercices.

3. Processus de Poisson

Définitions et premières propriétés. Temps d'attente. Espacements. La seconde définition des processus de Poisson. Age, temps de vie résiduel. Distribution conditionnelle des instants d'arrivée. Caractérisation qualitative d'un processus de Poisson. Compléments et exercices.

4. Applications des processus de Poisson

Processus de Poisson marqués. Processus de Poisson marqués non homogènes. Somme de deux processus de Poisson. Processus de Poisson composés. Processus de Poisson et fonctions gamma et bêta. Abandon de l'hypothèse des accroissements stationnaires. Estimation de la densité d'un processus de Poisson. Compléments et exercices.

5. Chaînes de Markov

Définition et premières propriétés. Exemples de chaînes de Markov. La relation de Chapman-Kolmogorov. Mesure de probabilité d'une chaîne de Markov. Classification des états ; décomposition en classes. états récurrents et transients. La propriété de Markov forte. Périodicité. Compléments et exercices.

6. Applications des chaînes de Markov

Ensembles clos. Temps d'atteinte. Le modèle de la ruine du joueur. Lois de probabilité stationnaires. Interprétation de la stationnarité. Ergodicité. Matrices bistochastiques. Compléments sur les matrices positives. Compléments et exercices.

7. Martingales

Premières propriétés. La martingale de Doob. La martingale de Wald. Surmartingales et sous-martingales. Compléments et exercices.

8. Théorèmes d'arrêt

Processus arrêté à un instant. Le théorème d'arrêt pour un temps d'arrêt borné. Le théorème d'arrêt pour les martingales dominées. Une troisième variante du théorème d'arrêt. Le théorème d'arrêt pour les martingales uniformément intégrables. Compléments et exercices.

9. Problèmes de ruine

|Ruine d'une compagine d'assurance. Le problème de la ruine des joueurs. Le problème de ruine. La durée du jeu. Compléments et exercices.

10. Les inégalités maximales

Les inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de Kolmogorov. Les inégalités maximales pour les sous-martingales positives. Les inégalités maximales pour les sous-martingales de signe quelconque. Les inégalités maximales pour les surmartingales. Inégalités de normes. Compléments et exercices.

11. Théorèmes de convergence des martingales

Le théorème de convergence. Martingales uniformément intégrables. Compléments et exercices.

12. Exemples d'applications

Processus de branchement. La loi de Hardy-Weinberg. Le battage des cartes. Le problème du scrutin. Le problème du collectionneur et de ses frères.

13. Le mouvement brownien

Le mouvement brownien comme limite d'une promenade aléatoire. Définitions et premières propriétés. Temps d'atteinte, variables aléatoires maximales. Le pont brownien. Quelques modifications du mouvement brownien. Mouvement brownien et martingales. Temps d'atteinte. Loi de probabilité du temps d'atteinte. Compléments et exercices.

Solutions des exercices

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