Schémas "asymptotic preserving" pour le transport linéaire sur maillages non structurés

On considère ici des systèmes hyperboliques avec termes sources issus du transport linéaire (ou équation de Boltzmann linéaire) qui est généralement utilisée en neutronique ou en photonique. Ces systèmes dépendent d'un paramètre de relaxation, ce qui génère l existence d'une limite de diffusion. Ce travail porte sur la construction de schémas de types volumes finis sur maillages non structurés pour lesquels les estimations erreurs et les conditions de stabilité sont indépendantes du paramètre de relaxation (méthodes "asymptotic preserving" [JL90], [JP00], [Jin11], [BT10], [LM09], [Gosse12]). Exemple de maillage non structuré: le maillage de Kershaw

Schémas "asymptotic preserving" pour l'équation de la chaleur hyperbolique sur maillages non structurés

L'extension classique (formulation aux arêtes) en dimension deux des schémas "asymptotic preserving" de type Godunov comme les schémas de Jin-Levermore [JL90] et de Gosse-Toscani [GT02] ne convergent pas sur maillages non structurés. En effet le schéma limite de diffusion obtenu (appelé TPFA ou schéma à cinq points sur maillages quadrangulaires) est consistant seulement sur des maillages satisfaisant les conditions de Delaunay. Ces conditions géométriques étant vraiment restrictives, on propose de nouvelles méthodes convergentes sur une famille plus large de maillages. Afin de construire ces nouvelles méthodes, deux pistes ont été explorées. La première est basée sur l'utilisation d'un formalisme alternatif aux noeuds ( [Des11], [CDDL09]) des méthodes de volumes finis (où les flux numériques sont calculés aux noeuds plutôt qu'aux arêtes) couplé avec les méthodes standards utilisées pour obtenir des schémas "asymptotic preserving" (méthode de Jin-Levermore par exemple). En utilisant deux différentes discrétisations du terme source, on obtient deux schémas (nommés JL-(a) et JL-(b)) correspondant à l'extension deux des schémas de Jin-Levermore et Gosse-Toscani. Le schéma limite de diffusion est convergent, d'ordre un (d'ordre deux d'un point de vue numérique) sous des conditions de maillages peu contraignantes. En outre on montre que le schéma JL-(b) est stable et que la version semi-implicite de cette méthode est stable sous une condition CFL independante du paramètre de relaxation.

Afin d'illustrer ce travail on propose de comparer: la solution de diffusion (en haut, à gauche) sur maillage Cartesien, la solution numérique donne par un schéma classique pour l'équation de la chaleur hyperbolique (en haut, à droite) sur maillage de Kershaw (première image), la solution numérique donne par le schéma "asymptotic preserving" aux arêtes (en bas, à gauche) sur maillage de Kershaw et la solution numérique donne par le schéma "asymptotic preserving" aux noeuds (en bas, à droite) sur maillage de Kershaw.

La seconde piste étudiée est quant à elle basée sur la construction d'un schéma hyperbolique compatible d'un point de vue géométrique avec un schéma de diffusion convergent bien choisi que l'on peut rendre "asymptotic preserving" à l'aide de la méthode de Jin-Levermore. Dans le cas présent on utilise les schémas de diffusion MPFA [AM08] et de Breil-Maire [BM07].

Schémas "asymptotic preserving" pour les systèmes de Friedrichs et l'équation de transport linéaire

Les différentes discrétisations angulaires de l'équation de transport linéaire comme la méthode des ordonnées discrètes (modèles Sn), où les projections sur la base des harmoniques sphériques (modèles Pn) peuvent être formalisées sous la forme de systèmes hyperboliques linéaires avec termes sources, nommés systèmes de Friedrichs, qui admettent une limite de diffusion.
Dans un premier temps on propose une caractérisation rigoureuse de la limite de diffusion associée à un système linéaire général avec un terme source raide à l'aide d'estimations L2 et de développement de Hilbert. Cette preuve est basée sur une hypothèse de structure sur les matrices du système.
Dans un second temps on propose une méthode "asymptotic preserving" pour des systèmes linéaires généraux avec termes sources raides, basée sur une décomposition algébrique entre un système proche de l'équation de la chaleur hyperbolique et un système dont l'apport est négligeable dans le régime asymptotique. A partir de cette décomposition on peut obtenir une méthode "asymptotic preserving" simple en utilisant un schéma "asymptotic preserving" pour l'équation de la chaleur hyperbolique et un schéma classique de type Rusanov pour la seconde partie de la décomposition. Cette méthode peut être assimilée à la méthode micro-macro ( [LM09], [CL11], [DLNN12]). Un soin particulier a été apporté à la justification des hypothèses nécessaires pour utiliser la décomposition dans le cadre des approximations angulaires du problème de transport linéaire.

Schémas "asymptotic preserving" avec principe du maximum discret pour un système non linéaire issu du transfert radiatif.

Dans ce travail on considère un système non linéaire issu du transfert radiatif ( [Tur05], [Tur12]). Il s'agit d'un modèle aux moments admettant un limite de diffusion, une inégalité d'entropie et un principe du maximum non trivial. Ces propriétés font de ce modèle un candidat intéressant pour approcher les solutions de l'équation de transfert radiatif. Il s'agit donc ici de construire une méthode numérique préservant ces propriétés au niveau discret.
A cette fin on commence par utiliser une analogie avec les équations de la dynamique des gaz. Une fois le modèle formulé sous la forme des équations d'Euler, la discrétisation est réalisée à l'aide d'un schéma Lagrange+projection aux noeuds ( [CDDL09]) couplé avec la méthode de Jin-Levermore. La méthode obtenue est "asymptotic preserving" avec un schéma limite de diffusion non linéaire positif, est entropique et préserve le principe du maximum sur maillages fortement déformés. En outre on peut obtenir une version semi-implicite avec une condition CFL indépendante du paramètre de relaxation.

Schémas "asymptotic preserving" et "Well-Balanced" pour des systèmes non linéaires issus de la mécanique des fluides

Ce travail porte sur l'étude de limites asymptotiques des équations d'Euler ainsi que le conportement numérique de schémas dans ces régimes. Le premier point concerne les schémas "aymptotic preserving" positifs et bien équilibriés (méthodes qui préservent les états statiionaires) pour les équations d'Euler avec friction et gravité. La second limite étidiée est celle ce la limite bas-mach qui consiste a filtrer les ondes acoustiques rapides.

Schémas "asymptotic preserving" pour Euler avec friction et gravité

Il s'agit d'étendre les idées précédentes à des systèmes issus de la mécanique des fluides à savoir les équations d'Euler avec friction et gravité ( [BMT11], [CCGRS10]). Ce système présentent des difficultés supplémentaires par rapport aux équations étudiées précédemment. En effet contrairement aux problèmes issus du transport linéaire, ces systèmes induisent des limites asymptotiques fortement non linéaires ainsi que des états stationnaires non triviaux et des inégalités d'entropie qu'il est primordial de préserver au niveau discret. Ce travail est encore en cours, cependant les premiers résultats tendent à montrer que l'utilisation de schéma Lagrange+projection aux noeuds couplé avec la méthode de Jin-Levermore permet d'obtenir des méthodes "asymptotic preserving" avec des schémas de diffusion non-linéaires, positifs, d'ordre deux (si le schéma d'advection de la phase de projection est d'ordre deux). Contrairement aux equations de Saint Venant les équations d'Euler admettent des états stationnaires differentiel (équilibre hydrostatique). Le schéma permet de préserver des états stationnaires à l'ordre deux. En modifiant l'état stationnaire discrèt on peut obtenir une discrétisation d'ordre arbitrairement élevé. L'étude du schéma et l'extension à d'autres problèmes est en cours.

Schémas en temps pour les équations réduites de la MHD

Stabilité numérique, solveurs non linéaire et preconditionnement pour les modèles de MHD réduite. Ce travail se place dans le contexte de la résolution des équations de la MHD (code Jorek) et la simulation des instabilités dans les tokamaks de type ITER. L'objectif est dans un premier temps d'étudier la stabilité théorique et numérique des mod&eagrave;les réduits et dans un second temps d'étudier des solvers non linéaires en temps et des précondiionneurs pour le code Jorek.

Dans le cadre de la simulation des instabilités de bord dans les Tokamak de type ITER, on utilise un code de MHD réduites en géometrie toroïdale nommé JOREK. Ce code utilise un schéma implicite couplé avec une linéarisation du premier ordre pour résoudre le système non linéaire. Dans certains régimes fortement non linéaire, des instabilités numériques critiques apparaissent. Afin d'étudier ce probème on se focalisera sur trois points. Le premier point porte sur l'étude de la stabilité théorique et numérique des modèles de MHD réduites ainsi que leurs déerivation rigoureuse. Le premier modèle traité est le modèle réduite (réduction basée une forme spécifique des champs magnétique et de vitesse) avec vitesse parallèle pour lequel on a obtenu des estimations d'énergies. Dans le future on souhaite étendre ce type de résultat aux modèles diamagnetique et bi-fluide (dans le cas réduit et complet). Des variantes avec des hypothèses de réduction pourront etre étudiées. Le second point porte sur d'implémentation et l'étude des solveurs non linéres comme la méthode de Newton inexacte ou les méthodes de continuation couplées avec une méthodes d'adaptation en temps. Dans un dernier temps on souhaiteadapter aux modèles de MHD réduites une nouvelle classe de preconditionneurs basés sur un splitting d'operateur, une parabolisation des termes hyperboliques et les méthodes mutligrilles. Ce type de méethode sera couplé avec des solveurs linéaires de type "Jacobian-Free".

Schémas de relaxation implicite pour les systèmes hyperboliques

Schémas de relaxation cinétique implicites

Schémas de relaxation implicites type Suliciu/Xin-Jin

Mod`les réduits par apprentissage profond en physique des plasmas

Le contexte de ces travaux est la construction d'un modèle réduit pour l'équation de Vlasov. Nous considérons deux types de modèles : les modèles asymptotiques (mod`les fluides en limite collisionnelle, modèles gyro-cinétiques en limite champ fort) et les modèles d'ordre réduit. Dans ce thème, nous étudions la possibilité de construire ces modèles ou une partie de ces modèles en utilisant des méthodes récentes d'apprentissage profond supvervisè et de renforcement.

Mé numériques hybrides utilisant de l'apprentissage profond

L'objectif de ce projet est de concevoir de nouvelles méthodes numériques couplant des schémas ou des solveurs numériques avec des réseaux neuronaux profonds. Les applications seront : stabilisation de schémas, conception de schémas ou de solveurs plus précis, etc. L'approche d'apprentissage profond sera basée sur des approches supervisé et de renforcement.

Applications aux systèmes hyperboliques nonlinéaire.

Applications aux problèmes d'ondes.