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%profondeur de la table des matieres.
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\sloppy
\begin{document}
% Auteur: Christine Huyghe
% Le texte qui suit est à insérer p.6 après l'exemple I.1.5 de la version 
% de la version du poly d'analyse complexe qui date de mai 2011 
%
\chapter{S\'ERIES ENTI\`ERES ET FONCTIONS ANALYTIQUES} 
\section*{}
\subsection*{}
Insérer ce qui suit après I.1.5 du polycopié.

Les remarques I.1.4 et I.1.5 du calcul du rayon de convergence sont des cas particuliers de la formule d'Hadamard. Pour introduire cette formule, nous 
avons besoin de la définition de limite supérieure.

\begin{defi}
Soit $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de nombres réels, on pose 
$$U_p=sup_{n\geq p} \{ u_n\}.$$ 
\begin{enumerate}\item[(i)]
La suite des $U_p$ converge vers une limite 
finie (ou infinie), qui est appelée la limite supérieure de la suite 
$(u_n)$ et notée $lim sup \, u_n$ ou encore $\varlimsup u_n $.
\item[(ii)] Si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors $\varlimsup u_n $
converge vers $l$.
\end{enumerate}
\end{defi}

{\bf Démonstration.} On a 
$$U_{p}=max\{u_p, U_{p+1}\},$$ si bien que la suite $U_p$ est décroissante. Plusieurs
cas sont possibles. D'abord, cette  
suite peut être constante et égale à $+\infty$. Dans ce cas, la limite de cette suite 
vaut $+\infty$. Sinon, $U_p$ prend une valeur finie réelle pour $p$ assez grand. Si cette
suite est minorée, elle converge et sinon elle diverge vers $-\infty$.

La deuxième assertion est laissée en exercice.

Voici un moyen concret de trouver la valeur de la limite supérieure d'une suite de nombres 
réels, et qui nécessite une nouvelle définition.

\begin{defi} \begin{enumerate} \item Soit $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de nombres réels. 
Soit $\varphi$ une injection croissante : $\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$. La suite
$(u_{\varphi(n)})$ est appelée suite extraite de $(u_n)$.
\item On appelle 
valeur d'adhérence de $(u_n)$ la limite d'une suite extraite de $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{defi}
Toute suite réelle possède une valeur d'adhérence, éventuellement infinie. Supposons 
en effet que $+\infty$ et $-\infty$ ne soient pas valeurs d'adhérence de $(u_n)$, alors 
$(u_n)$ est bornée et est donc à valeurs dans un intervalle $[-a,a]$ avec $a>0$. Cet
intervalle est compact, de sorte qu'il existe une suite extraite de $(u_n)$ convergeant
dans cet intervalle vers une limite $l$ qui est donc une valeur d'adhérence de $(u_n)$.

On a alors: \begin{prop} La limite supérieure d'une suite réelle $(u_n)$ est la plus grande valeur
d'adhérence de $(u_n)$.
\end{prop}
{\bf Démonstration.} 
D'abord, $S=\varlimsup u_n$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$. En effet, 
posons $\varphi(0)=0$ et 
supposons construit $\varphi$ : $\{0,\ldots,n\} \rightarrow \{0,\ldots,n\}$ tel que 
$\forall n\in\mathbf{N}^*,\;|u_{\varphi(n)}-S|\leq \frac{1}{n}$.
Comme la suite $(U_n)$ converge vers $S$, il existe
 $ a_{n+1}\in\mathbf{N}^*$ tel que $$|U_{a_{n+1}}-S|\leq \frac{1}{2(n+1)}.$$ Et, par
définition de la borne supérieure, il existe $u_{\varphi(n+1)}$, avec $\varphi(n+1)\geq \varphi(n)$
tel que 
$$|U_{a_{n+1}}-u_{\varphi(n+1)}|\leq \frac{1}{2(n+1)}$$
soit 
$$|u_{\varphi(n+1)}-S|\leq \frac{1}{n+1}.$$ 
Ceci montre qu'on peut construire $\varphi$ : $\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ par récurrence tel que 
$u_{\varphi(n)}$ converge vers $ S$ et que $S$ est une valeur d'adhérence. 

Considérons $M$ la borne supérieure de l'ensemble des valeurs
d'adhérence de la suite $(u_n)$. Comme une limite de valeurs d'adhérence est une 
valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ (cette remarque est laissée en exercice), $M$ 
est une valeur d'adhérence de $(u_n)$ et c'est la plus grande valeur d'adhérence de cette
suite. En particulier, $M\geq S$.

 Montrons l'inégalité inverse. Soit $\varphi$ une injection croissante telle que 
$u_{\varphi(n)}\rightarrow M.$ Alors 
$$\varlimsup\,u_n\geq \varlimsup u_{\varphi(n)},$$
donne 
$S \geq M$. 

Exemples: 
\begin{enumerate}
\item La suite de terme général $u_n=(-1)^n$ possède deux valeurs d'adhérence :
$1$ et $-1$, et $\varlimsup u_n=1$.
\item La suite de terme général $u_{2^k}=k$ et $u_n=0$ pour les autres valeurs de $n$ 
possède $0$ et $+\infty$ comme valeurs d'adhérence, et $\varlimsup u_n=+\infty$.
\end{enumerate}

Ces considérations nous amènent à la formule d'Hadamard.
\begin{prop} Le rayon de convergence $\rho$ de la série entière 
$\sum a_n z^n$ est donné par 
$$\frac{1}{\rho}=\varlimsup |a_n|^{\frac{1}{n}}.$$
\end{prop}

{\bf Démonstration.} Soient $r>0$ tel que $r< \rho$, et $\rho'$ tel que 
$r<\rho'<\rho$. Pour $p$ assez grand, on a l'inégalité
$$\frac{1}{\rho} \leq Sup_{n\geq p}|a_n|^{{1}/{n}} \leq \frac{1}{\rho '},$$ c'est-à-dire 
$$|a_n|\leq \frac{1}{{\rho '}^n}$$ pour $n$ assez grand, ce qui donne 
$$|a_n|r^n\leq \left(\frac{r}{\rho'}\right)^n$$ pour $n$ assez grand et la convergence normale de la 
série $\sum a_n z^n$ pour $r<\rho$. 

Soit maintenant $r > \rho$. Il existe $\rho'>0$ tel que 
$r>\rho'>\rho$. Soit $(a_{\varphi(n)})$ une suite extraite de 
$(a_n)$ telle que $|a_{\varphi(n)}|^{1/\varphi(n)}\rightarrow 1/\rho.$ Alors 
$$|a_{\varphi(n)}|^{1/\varphi(n)}|\geq \frac{1}{\rho'},$$
pour $n$ assez grand, de sorte que 
$$r^{\varphi(n)}|a_{\varphi(n)}|\geq \left(\frac{r}{\rho'}\right)^{\varphi(n)}$$
pour $n$ assez grand. Ce qui montre que la série $\sum a_n z^n$ diverge 
grossièrement pour $|z|> \rho$ et la proposition.

Les séries entières, dont beaucoup de termes sont nuls, sont appelées lacunaires.

{\bf Exercices.} 
\begin{enumerate}
\item Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes. Montrer que si $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\rightarrow l,$$ alors 
$$\varlimsup |a_n|^{1/n}=l,$$ et donc que le rayon de convergence de la série 
$\sum a_n z^n$ est égal à $\frac{1}{l}$.
\item \begin{enumerate}
		\item Donner le rayon de convergence de la série $$f(z)=\sum_{n\geq 0}  z^{2^n}$$ 
		puis le rayon de convergence de la série $$g(z)=\sum_{n\geq 0}  \frac{z^{2^n}}{n},$$
		enfin le rayon de convergence de 
		$$h(z)=\sum_{n\geq 0}  \frac{z^{2^n}}{3^n}.$$
		\item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ diverge en $1$, en $-1$ et en toute racine $2^k$-ième de l'unité
						pour tout entier $k$. 
						\item Soient $\xi$ une racine $2^k$-ième de l'unité, $z=r\xi$ pour $r\in [0,1[$, et 
						$$\forall r \in [0,1[,\; g(r)=\sum_{n\geq 0}r^{2^n}.$$ 
						\item Montrer que 
						$\forall r \in [0,1[,\; f(r\xi)-g(r)$ est un polynôme en $r$. 
						\item Montrer que $g$ est croissante et tend vers $+\infty$ si 
						$r\rightarrow 1$. % on considère les sommes partielles
						%g_M=\sum_{n=0}^{M}(1-r)^{2^n}$, alors $g(r)\geq g_M(r)$ donne 
						 % en passant à la limite lim_{r\rightarrow 1} g(r)\geq M. 
						%Ceci est vrai pour tout $M$, d'où l'énoncé. 
						Montrer que $f$ n'est pas bornée au voisinage de 
						$\xi$.
						\item Soient $\alpha >0$, $\zeta\in \mathbf{C}$ tel que $|\zeta|=1$, 
					   $D_{\alpha}=D(\zeta,\alpha)$. Montrer
						  que $f$ n'est pas la restriction à  $D_{\alpha}\bigcap D(0,1)$ d'une
						fonction analytique sur $D_{\alpha}$ (indication: on pourra utiliser les
					   fait que l'ensemble des racines $2^k$-ièmes de l'unité est dense dans le cercle unité).
				\end{enumerate}
       \end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%
\end{document}
