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%% For complicated diagrams one can use the XY-pic package. 
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%profondeur de la table des matieres.
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%
\sloppy
\begin{document}
% Auteur: Christine Huyghe
% Le texte qui suit est à insérer p.6 après l'exemple I.1.5 de la version 
% de la version du poly d'analyse complexe qui date de mai 2011. 
%
\chapter{(pseudo) Erratum à l'énoncé du théorème IV.3.11 sur les automorphismes de
$\widehat{\mathbf{C}}$} 
\section*{}
\subsection*{}
Insérer ce qui suit après IV.3.11 du polycopié. La démonstration du poly de cet énoncé est
tout à fait juste mais trop compliquée (et c'est de ma faute). 

Nous rappelons l'énoncé.
\begin{theo} Les automorphismes de $\widehat{\mathbf{C}}$ sont les homographies 
$$z \mapsto \frac{az+b}{cz+d},\, avec\, \left(\begin{array}{cc}a & b \\
                                                               c & d \end{array}\right).$$
\end{theo}
%
\begin{proof} Si $f$ est injective, elle a un seul zéro et un seul pôle. Quitte à la
composer par une homographie, on peut supposer que $f(\infty)=\infty$. Ainsi, $f$ est une
fraction rationnelle injective qui n'a pas de pôle dans $\mathbf{C}$ (puisque $\infty$ est
le seul pôle). C'est donc un polynôme injectif, c'est-à-dire un polynôme de degré $\leq
1$. Comme les homographies forment un groupe, $f$ est une homographie comme composée
d'homographies.
\end{proof}

%
\end{document}
