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\begin{document}
\begin{center}{\bf Travaux dirigés 5, Introduction aux schémas affines.} \\
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

Sources : Livre de Atiyah Mac Donald, le livre de D. Eisenbud, de Liu, de Lang (Algebra) 

\subsection*{Produit tensoriel et limite inductive}

\begin{enumerate}
        \item Soient $A$ un anneau commutatif, $I$ un ensemble ordonnée filtrant, $(M_i)_{i\in I}$ un système
inductif de $A$-modules.  Pour $j \geq i$, on note $f^i_j$ : $M_i \rightarrow M_j$.
Soit $$ S =\bigoplus_{i \in I} M_i \, \subset P=\prod_{i \in I} M_i,$$ et $\alpha_i$ les applications injectives
 $\alpha_i$ : $M_i \rightarrow  S$ définies  par $\alpha_i(x_i)$ est l'élément $(y_l)$ de $P$ tel que 
$y_i=x_i$ et si $l \neq i$, $y_l=0$.
  
Soit $N$ le sous-module de $S$ engendré par les éléments, pour tout couple $(i,k)$ tels que $i \leq k$, 
$z_{i,k}=\alpha_i(x_i)-\alpha_k(f^i_k(x_i))$.  
              \begin{enumerate}\item Vérifier que $M=S/N$  vérifie la propriété universelle de la limite inductive du système
inductif $(M_i)$. Décrire en particulier les morphismes $f_i$ : $M_i \rightarrow M$.
              \item Montrer que $M =\bigcup f_i(M_i)$.
              \end{enumerate}
		\item \begin{enumerate} \item Montrer que le corps $\QQ$ est limite inductive de ses 
								sous $\ZZ$-modules libres de rang $1$.
						\item Montrer que $$ \QQ \ot_{\ZZ} \QQ \simeq \QQ.$$
			    \end{enumerate}
             \item Soient $A$ un anneau commutatif, $B$ une $A$-algèbre, $C$ une $B$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
                \begin{enumerate} \item Montrer qu'on a un isomorphisme de $A$-algèbres 
                            $$ C \otimes_B B \otimes_A M \simeq C \otimes_A M,$$ qui envoie $c \ot b \ot x$ sur $bc \ot x$.
                                  \item Soit $N$ un $B$-module, montrer plus généralement qu'on a un isomorphisme de $A$-modules 
                                   $$ N \otimes_B B \otimes_A M \simeq N \otimes_A M,$$ qui envoie 
                                     $y \ot b \ot x$ sur $by \ot x$. 
                                   \item Soit $P$ un idéal premier de $A$, $A_P$ le localisé de $A$, $N$ un
                                    $A_P$-module, montrer que $A_P \ot_A N \simeq N$.
                                  \item Soit $M$ un $A$-module plat, montrer que $B\ot_A M$ est un $B$-module plat.
                 \end{enumerate}


						\item Soit $E$ un $\ZZ$-module et 
								$$ E_t=\{x \in E\, | \, \exists n \in \ZZ \, | \, nx=0 \},$$
								le sous-module des éléments de torsion de $E$.
						\begin{enumerate} \item On suppose que $E$ est de type fini sur $\ZZ$, montrer que 
												$E_t$ est de type fini et que $E/E_t$ est un $\ZZ$-module libre 
												de rang fini. Pour cette dernière question, on utilisera la
												classification des modules sur les anneaux principaux.
										\item Montrer qu'il existe des $\ZZ$-modules $E$ tels que 
												$E \ot \QQ$ soit un $\QQ$-espace vectoriel de dimension 
												finie et tel que $E$ ne soit pas de type fini.
                                        \item Montrer qu'il existe des $\ZZ$-modules $E$ tels que 
												$E \ot \QQ$ soit un $\QQ$-espace vectoriel de dimension 
												finie et tel que $E_t$ ne soit pas de type fini. Pour traiter 
												cette question, on pourra remarquer que 
												$$ \QQ \ot_{\ZZ} \QQ/ \ZZ=0.$$

						   \end{enumerate}
			 \item Soit $A$ un anneau et $M$ un $A$-module. 
			 \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble des sous-modules d'un module $M$ est ordonné et 
									 filtrant pour l'inclusion, puis montrer que $M$ est limite inductive de ses sous-modules de type fini. 
								\item Soit $P$ un $A$-module tel que pour tout sous-module $N$ de type fini de 
										$M$, on ait $$P\ot_A N=0.$$ Montrer que 
                                           $$P\ot_A M=0.$$
					   \end{enumerate}
			   \item Soit $B$ une $A$-algèbre et $C=B\ot_A B$. \begin{enumerate} \item Montrer que $C$ est munie 
									   de deux structures de $B$-algèbre : l'une donnée par $b \mapsto b \ot 1$ 
									   et l'autre par $b \mapsto 1 \ot b$. On parlera de la structure gauche de 
									   $B$-module sur $C$, et de la structure droite de $B$-module de $C$.
							   \item Montrer qu'il existe un unique morphisme $A$-linéaire 
									   $\Delta $ : $ B \ot_A B $, tel que $\Delta(a \ot c)=ac$.
							\item Soit $I=Ker(\Delta)$. Montrer que $I$ est un idéal de $C$ engendré par les 
									éléments $1 \ot b - b \ot 1$. Indication : on pourra remarquer que 
									$mod $ $I$, 
									$$ b \ot c= (1 \ot b ) (1 \ot c)= 1 \ot
									b c.$$
                             \item Montrer que $I/I^2$ est un $B$-module et qu'il est de type fini comme 
                                    $B$-module si $B$ est une $A$-algèbre de type fini.
              \item Soit $A=K$ un corps, $B=K[X,Y]$. 
					              Montrer que $I/I^2$ est un $K[X,Y]$-module engendré par 
                      $dX= 1 \ot X - X \ot 1 \, mod \, I^2$ et $dY= 1 \ot Y - Y \ot 1 \, mod \, I^2$.
					 Indication : soit $df$ la classe de $1 \ot f -f \ot 1$ dans $I/I^2$. Soient 
							   $f,g\in B$, montrer que 
							   $d(fg)=f\cdot dg+g\cdot df$. En déduire que $dX$ et $dY$ engendrent $I/I^2$
							   comme $K[X,Y]$-module.

								  \end{enumerate}
		
		  				  
\end{enumerate}


\end{document}
