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\begin{document}
\begin{center}{\bf Travaux dirigés 6, Introduction aux schémas affines.} \\
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

Sources : Livre de Atiyah Mac Donald, le livre de D. Eisenbud, de Liu, de Lang (Algebra) 

\subsection*{Composantes irréductibles}

\begin{enumerate}

        \item Soient $A$ un anneau, $B,C$  deux $A$-algèbres, $X=Spec \, B$, $X'=Spec\, C \ot_A B$.  
                   \begin{enumerate}	\item Soit $Z=V(I)$ un fermé de $X$, 
                    où $I$ est un idéal de $B$. On rappelle que $Z$ est homéomorphe à $Spec\, B/I$. On définit
                    $Z'=Spec\, C \ot_A B/I$. Montrer que $Z'$ est homéomorphe à un fermé de $X'$ qu'on précisera.
                   \item Soient $B=A$, $C=A[T]$. On applique la construction précédente à un fermé irréductible 
                     $Z$ de $X$. Montrer que $Z'$ est un fermé irréductible. 
                    \item Soient $f\in A$, $B=A$, $C=A[1/f]$, et $Z=V(f)\subset X$. Montrer que les composantes irréductibles de 
                 $Z$ sont en bijection avec les idéaux premiers minimaux de $A$ contenant $f$. Soit $Z_1$ une telle
composante irréductible, montrer que $Z'_1=\emptyset$.
                       \end{enumerate}
           \item Soient $K$ un  corps, $K \hookrightarrow L$ une extension de corps, $A$ une $K$-algèbre de type fini, 
             $A'=L\ot_K A$, $X=Spec\, A$, $X'=Spec\, A'$. Si $Z=V(I)\subset X$, on pose $Z'=Spec\, (A'\ot_A A/I)$
             qu'on identifie à $V(IA')\subset X'$.
                   \begin{enumerate} \item On prend $K=\RR$, $L=\CC$, $A=\RR[T]$. Montrer que $Z=V(T^2+T+1)$ est 
            un fermé irréductible de $X=\mathbb{A}^1_{\RR}$, puis donner les composantes irréductibles  de 
                     $Z'$. 
                    \item Montrer que $A/I \hookrightarrow A'\ot_A A/I$. En déduire que si $Z $ est non vide, $Z'$ 
                       est non vide.
                      \item Soient $\ovL$ une clôture algébrique de $L$, et $X''=Spec\, (\ovL\ot_{K}A)$. Soient 
                           $n,n',n''$ le nombre de composantes irréductibles de $X$, $X'$, $X''$ respectivement.
                           Montrer que $ n  \leq n' \leq n''$.
                   \end{enumerate}
             \item Soit $K$ un corps. Montrer que $X=Spec\, K[x,y]/(xy)$ est connexe et que $X$ a deux composantes 
               irréductibles qui sont des droites affines.
             \item Soit $K$ un corps. Quelles sont les composantes irréductibles de  \begin{enumerate}
                          \item $ X= Spec\, B$ où $B=K[x,y,z]/(xz,z(z^2-y^3))$,
                           \item $ X= Spec\, B$ où $B=K[x,y,z]/(xzy-1)$, 
                            \item $ X= Spec\, B$ où $B=K[x,y,z]/(xyz-1,z(z^2-y^3))$. Pour traiter cette question, 
                              on pourra étudier les idéaux premiers minimaux de l'algèbre $C/z(z^2-y^3)$ 
                             où $C=K[x,y,z]/(xyz-1)$. On pourra aussi remarquer que $C$ est isomorphe à
                               $K[y,y^{-1},z,z^{-1}]$ et que $C$ est valué par le degré en $y$ (ou en $z$).
                           \item Reprendre la question précédente et montrer que $X$ est homéomorphe à 
                               $D(yz)\bigcap V(z^2-y^3)\subset \mathbb{A}^2_K$ 
                            (où $\mathbb{A}^2_K=Spec\, K[y,z]$). Si on suppose $K=\CC$, utiliser les résultats du cours 
                            sur les courbes algébriques et montrer que $X(\CC)$, l'ensemble des points 
                            fermés de $X$, est une courbe algébrique complexe non singulière.
                         \end{enumerate}
              \item Soient $K$ un corps, $f(x,y)=x^2+y^2-5$, $g(x,y)=x^3+y^2-5$, $h(x,y)=x^2+y^2+1$. Dans tous les 
                    cas suivants, décrire les 
                   composantes irréductibles de $X=Spec\, K[x,y]/(f)$, $Y=Spec\, K[x,y]/(g)$, $Z=Spec\, K[x,y]/(h)$, 
                    $S=Spec\, K[x,y]/(f,g)$, $T=Spec\, K[x,y]/(g,h)$. Pour chaque composante irréductible donner 
                    son point générique.
                        \begin{enumerate} \item $K=\QQ$, 
                                          \item $K=\QQ[i]$,
                                           \item $K=\CC$. En ce cas donner le cardinal des points fermés de $X(\CC)$,
$Y(\CC)$, $Z(\CC)$, $S(\Cc)$ et $T(\CC)$.
                                           \item $K=\ZZ/2 \ZZ$,
                                            \item $K=\mathbb{F}_5$.
                        \end{enumerate}
                    		  				  
\end{enumerate}


\end{document}
