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\begin{document}
\begin{center}{\bf Travaux dirigés 7, Introduction aux schémas affines.} \\
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

Sources : Livre de Atiyah Mac Donald, le livre de D. Eisenbud, de Liu, de Lang (Algebra) 

\subsection*{Dimension, composantes irréductibles}

\begin{enumerate}

        \item Soit $A$ un anneau intègre principal, montrer que $A$ est de dimension de Krull égal à $1$.
		\item Soit $A $ un produit fini de corps $k_1,\ldots, k_n$. 
                         \begin{enumerate} \item Soit $e_i$ l'élément $(0,\ldots,0,1,\ldots,0)$ de $A$, et $B$ un
                                    quotient intègre de $A$, $s$ la surjection $A \rightarrow B$. Montrer que 
										 $s(e_i)\in\{0,1\}$.
                            \item En déduire les idéaux premiers de $A$, que $A$ est artinien et décrire $Spec \, A$.
						   \item Est-ce que en général, un tel anneau est principal ?
						  \end{enumerate}

                      
		 \item Soit $K$ un corps et $B=K[t^2,t^3]$. Montrer que $B$ est intègre, de dimension de Krull égale à $1$.
				 Montrer que $X=Spec \, B$ est homéomorphe à $Spec \, K[x,y]/y^2-x^3$ et donc que 
                $Spec \, B$ est homéomorphe à une courbe affine fermée du plan affine. 
				Montrer qu'il existe des morphismes finis $\mathbf{A}^1_K \rightarrow X \rightarrow \mathbf{A}^1_K$.
		\item Soit $A$ un anneau noetherien. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
		                \begin{enumerate} \item $A$ est artinien,
								\item $Spec \, A$ est discret et fini,
								\item $Spec \, A$ est discret.
						\end{enumerate}
		\item Soit $A$ un anneau noetherien. On suppose que $A$ est artinien, montrer qu'il est de longueur finie. 
				(On pourra construire une suite décroissante d'idéaux $M_i$ de $A$ de sorte que $M_{i+1}/M_i$ soit
				simple.)

		\item Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de type fini. 
		                      \begin{enumerate}      
									                 \item Soit $A$ un anneau artinien, alors $A$ est semi-local. On admet
													   que $A$ est un produit fini d'anneaux locaux artiniens $A\simeq
													   A_1\times \cdots \times A_n$. Montrer, en utilisant le
													   Nullstellensatz, que chaque $A_i$ est 
										une $k$-algèbre finie, puis que $A$ est une $k$-algèbre finie. On pourra aussi
											  utiliser le fait que chaque $A_i$ est de longueur finie.
								\item Réciproquement, on suppose que $A$ est une $k$-algèbre finie, montrer que $A$ est
										artinien.
                              \end{enumerate}
         \item Est-ce que l'intersection de deux fermés irréductibles d'un espace topologique $X$ est irréductible ?
					  \item \begin{enumerate} \item Soit $Z$ un sous-ensemble fermé d'un espace topologique $X$. Montrer
											  que $codim(Z,X)=0$ si et seulement si $Z$ contient une composante
											  irréductible de $X$. Donner un exemple avec $X$ non irréductible, $dim\,
											  Z< dim \, X$ et $codim(Z,X)=0$.
									  \item Soit $V$ un anneau de valuation discrète, d'uniformisante $t$, $A=V[T]$,
											  $X=Spec \,A$, $f=tT-1$. 
									  \begin{enumerate}\item
											  Montrer que l'idéal $(f) $ est maximal. Soient 
											  $x$ le point de $X$ correspondant à $(f)$ et ${\cal O}_{X,x}$
											  l'anneau local $A_{(f)}$.

											  Montrer que $X$ est
											  irréductible et que $dim {\cal O}_{X,x}=1$. On pourra montrer 
                                                pour cela que $fK[T]\bigcap V[T]=fV[T]$ 
                                               par exemple en utilisant la valuation $t$-adique.

                                              Montrer que 
											  $$ codim (\{x\},X)+ dim\{x\} < dim X.$$
									  \item Soit $K=Frac(V)$, $k=V/tV$, le corps résiduel de $V$, $B=K \times k$ et 
											  $\varphi$ : $ V \rightarrow B$ défini par $\varphi(x)=(x,s(x))$ où 
											$s$ est la surjection canonique $V \rightarrow k$. Montrer que 
													  $B$ est une $V$-algèbre de type fini, que l'application 
													  $f$ déduite de $\varphi$ : $Spec \, B \rightarrow Spec \, V$ 
													  est surjective et que $dim(Spec \, V)> dim(Spec \, B)$.
					                  \end{enumerate}
					         \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}
