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\begin{document}
\begin{center}{\bf Travaux dirigés 8, Introduction aux schémas affines.} \\
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

Sources : Livre de Atiyah Mac Donald, le livre de D. Eisenbud, de Liu, de Lang (Algebra) 

\subsection*{Différentielles}

\begin{enumerate}

        \item Soit $K$ un corps, et $K[[T]]$ l'anneau des séries formelles à coefficients dans $K$.
%                      \begin{enumerate} \item 
                                           Calculer $\Omega_{(K[[T]]/T^i)/K} $. En déduire que 
                                           $$ \varprojlim_i \Omega_{K[[T]]/K}/T^i\simeq K[[T]] dT.$$
%                                        \item Montrer qu'on a une suite exacte 
%                                         $$ 0 \ra \bigcap_n T^n \Omega_{K[[T]]/K} \ra \Omega_{K[[T]]/K}
%\stackrel{\varphi}{\ra} K[[T]] dT \ra 0, $$
%où $\varphi(F(T))=F'(T)dT$.
%                     \end{enumerate}
       \item Soient $R$ un anneau, $A$, $B$ deux $R$-algèbres. Montrer que 
                                 $$\Omega_{B\ot_R A/B}\simeq B \ot_R \Omega_{A/R}.$$
        \item Soit $R$ un anneau, $A$, $B$ deux $R$-algèbres, $C=A \ot_R B$. Montrer que 
                                 $$\Omega_{C/R}\simeq C\ot_B \Omega_{B/R} \bigoplus C\ot_A \Omega_{A/R}.$$
       \item Soient $p$ un nombre premier, $S=Spec\, \ZZp$, $A=\ZZp[x,y]/(xy^2+p)$, $X=Spec\, A$,
$\Omega_{X/S}=\Omega_{A/\ZZp}$. On considère le morphisme canonique $f$ : $X \ra S$, donné par 
                                            $P \mapsto P\bigcap \ZZp$.
                        \begin{enumerate} \item Décrire les composantes irréductibles et les points génériques de $S$ et
                                                  $X$, ainsi que les fibres de $f$.
                                           \item  Décrire les composantes irréductibles et les points génériques de $X
\bigcap V(Y)$.
                                            \item Etudier la lissité de $X$ en tout point $P$ de $X$. 
                         \end{enumerate}
       \item Soit $p$ un nombre premier, $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a\in k$, $k'=k[X]/X^p-a$, $x$ la classe
de $X$ dans $k'$. Donner une
base du $k'$-espace vectoriel $\Omega_{k'/k}$.
 Montrer qu'il existe une dérivation $D$ : $k'\ra k'$ telle que $D(x)=1$. L'extension $k \ra k'$ est-elle séparable ?
%
		\item Soit $A$ un anneau, $X=\Spec A$, $x$ un point de $X$, $k(x)$ son corps résiduel. 
				Pour $f\in A$, on note $f(x)$ l'image de $f$ par l'application canonique $A \ra k(x)$. 
		           \begin{enumerate} \item Montrer que $x \in V(f)$ si et seulement si $f(x)= 0$.
						  \item Montrer que $x \in D(f)$ si et seulement si $f(x)\neq 0$.
				   \end{enumerate}
        \item Soit $A$ un anneau noetherien, et $B=A[T]/T^r-a$, avec $a\in A$, $r\in \NN $. Montrer que le morphisme 
				$\Spec \, B \ra \Spec A$ est étale si et seulement si $ra$ est inversible dans $A$.
		\item Soient $A=\ZZ[T]/T^2-2$, $S=\Spec \ZZ$, $X=\Spec A$, $f$ le morphisme canonique $X \ra S$.
	        	            \begin{enumerate} \item Décrire les points $s$ de $S$ et $x$ de $X$ ainsi que leur corps résiduel.
													Pour $s=f(x)$, décrire l'extension de corps correspondante $k(s)\ra
													k(x)$.
											\item Soit $U$ l'ouvert $U=D(2)\subset S$. On rappelle que
													 $U$ est homémorphe à $\Spec \ZZ[1/2]$. Soit 
													 $x\in f^{-1}(U)$, montrer que $f$ est étale en $x$.
											 \item Soit $x\in f^{-1}(V(2))$, montrer que $f$ n'est pas étale en $x$.
	                        \end{enumerate}
					\item Soient $K=\CC$, $f(X)=X(X^2-1)(X-\lambda)\in K[X]$, $\lambda \in \CC$,
                             $A=\CC[X,Y]/(Y^2-f(X))$, $C=\Spec A$.
                             \begin{enumerate} \item
				Déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la courbe $C$ est lisse.
							\item On suppose dans la suite que $C$ est lisse.
									 \begin{enumerate} \item Soit $u$ un point de $D(y)$. Montrer que 
															 $k(u)\ot_{A}\Omega_{X}$ est un 
															 $k(u)$-espace vectoriel de dimension $1$ engendré par $dx$.
													\item Soit $u$ un point de $D(f')$. Montrer que 
															 $k(u)\ot_{A}\Omega_{X}$ est un 
															 $k(u)$-espace vectoriel de dimension $1$ engendré par $dy$.
									 \end{enumerate}
                         \end{enumerate}
					\item Soit $K$ un corps, $g(x,y,z)=(y+z)^2-xz\in K[x,y,z]$, $A=K[x,y,z]/g(x,y,z)$, $S=\Spec A$.
                                             \begin{enumerate} \item Quelle est la dimension de $S$ ? Quelle est le
                                                    nombre de composantes irréductibles de $S$ ?
                                                     \item Déterminer l'ensemble des points où $S$ est lisse. Vérifier
                                                      que ces points forment un ouvert de $S$.
					                         \end{enumerate}



                            

\subsection*{Complétés $M$-adiques}
       \item Soient $k$ un corps de caractéristique différente de $2$, $A=k[x,y]/(y^2-x^2(x+1))$, $M$ l'idéal $(x,y)$ de
               $A$, $\what{A}$ la complétion $M$-adique de $A$. 
                       \begin{enumerate} \item Montrer que $\what{A}\simeq k[[x,y]]/(y^2-x^2(x+1))$.
                                 \item Montrer que l'élément $1+x$ est un carré dans $k[[x]]$. Soit $g$ un élément
                                   inversible de $k[[x]]$. Remarquer que $X=xg(x)$ est un paramètre local de $k[[x]]$
                                     et donc $k[[X]]\simeq k[[x]]$.
                                  \item Montrer que $\what{A}\simeq k[[u,v]]/uv$ et que $\what{A}$ est local.
                       \end{enumerate}
        \item Soient $k$ un corps de caractéristique différente de $2$, $A=k[x,y]/(y^2-x(x+1))$, $C=\Spec A$,
                    $Z=V(x,y)$. Montrer que $C$ est lisse sur $\Spec k$. Soit $\OO_{C,z}$ l'anneau local de la courbe 
                            $C$ en $z$, d'idéal maximal $M$. On rappelle que le complété $M$-adique $\what{O}_z$ de 
                              $\OO_{C,z}$ est isomorphe à $k[[t]]$ car la courbe $C$ est lisse en $z$.
                                   Donner l'image de $x$ et de $y$ par
                              le morphisme canonique 
                              $\varphi$ : $\what{\OO}_z \ra k[[t]]$. 
                                 
        \item Soit $n$ un entier $\geq 2$, $D=\ZZ[1/n]$.
                         \begin{enumerate} \item Soit $S=(1+T)^n-1 \in D[T]$, montrer que $D[[S]]=D[[T]]$ 
                          et qu'il existe $f(S)\in SD[[S]]$ tel que $1+S=(1+f(S))^n$. On pourra s'inspirer de la
                           démonstration du lemme de Hensel.     
                            \item Soit $A$ un anneau complet pour la topologie $I$-adique avec $I$ un idéal de $A$, 
                              et tel que $n$ est inversible dans $A$. Soit $x\in I$, montrer qu'il existe un unique 
                          homomorphisme continu : $\Phi$ : $D[[S]]\ra A$ tel que $\Phi(S)=x$. Conclure qu'il existe 
                          $y\in I$, tel que $1+x=(1+y)^n$.
                            \item Montrer que l'énoncé précédent n'est plus vrai si $n$ n'est pas inversible dans $A$.
                          \end{enumerate} 


	
\end{enumerate}


\end{document}
