MPA S2, algèbre : devoir maison à rendre pour le 29

avril 2013.

C. Huyghe

Ce devoir interviendra dans la note de contrôle continu. Si vous ne parvenez pas à montrer les résultats pour un général, il sera tenu compte de vos tentatives pour de petites valeurs de .

1.

2. Soient = ℝ_{5}[ ] l’espace vectoriel des polynômes de degré 5, et = ℝ_{2}[ ],

( ) un polynôme de degré 3 de .

1- Montrer que (1 ^{5}) est une base de et que ( ) = 6. Montrer

que est un sous-espace vectoriel de dimension 3. 2- Pour , on pose ( ) et ( ) le quotient de la division euclidienne

de par . Les polynômes et sont donc uniquement déterminés par ( ) 3 et

( ) = ( ) ( ) + ( )

Soit l’application : . Montrer que est linéaire et est un projecteur : . Déterminer ( ) et ( ). Vérifier que ( ) et ( ) sont supplémentaires dans .

3- Donner une base de = ℝ_{5}[ ], dans laquelle a pour matrice une matrice

diagonale, ne comportant que des 1 et des 0.

3. Soient = un -espace vectoriel de dimension , ( ).

1- Montrer que = ( ) = = 0 est un sous-espace vectoriel

de ( ). 2- Supposons injectif, que peut-on dire de ? 3- On suppose désormais que n’est pas injectif. Soit un supplémentaire de

dans . Montrer que  =  ( ) = ( )^{2}. (indica-
tion : on pourra montrer que  induit un endomorphisme :  ).

4. 1- Soit _{}(ℂ) triangulaire supérieure. Montrer que les valeurs propres de

sont les coefficients diagonaux de la matrice . 2- Soit _{}(ℂ) une matrice nilpotente, i.e. ^{}= 0. On suppose que est

la matrice de l’endomorphisme dans la base canonique de ℂ^{}. Montrer que 0 est l’unique valeur propre de et que est semblable à une matrice triangulaire supérieure n’ayant que des 0 sur la diagonale.

3- Montrer que toute matrice triangulaire supérieure de _{}(ℂ) n’ayant que

des 0 sur la diagonale est nilpotente. 4- Soit _{}(ℂ) une matrice unipotente, i.e. ( )^{}= 0. Montrer que

est semblable à une matrice triangulaire supérieure n’ayant que des 1 sur la diagonale.

5- Montrer que toute matrice triangulaire supérieure de _{}(ℂ) n’ayant que des 1 sur la diagonale est unipotente.