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%profondeur de la table des matieres.
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%*********************commandes****************************
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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%
\sloppy
\begin{document}
%
\title{MPA S2, algèbre : devoir maison à rendre pour le 29 avril 2013.} 
 
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle

Ce devoir interviendra dans la note de contrôle continu. Si vous ne parvenez pas à montrer 
les résultats pour un $n$ général, il sera tenu compte de vos tentatives pour de petites
valeurs de $n$.


%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
        \item 
					  \item Soient $E = \R_5[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e $\le 5$, 
					   et $F = \R_2[X]$, $A(X)$ un polynôme de degré $3$ de $E$. 
					  \begin{enumerate} 
					  \item Montrer que $(1,X,\ldots, X^5)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=6$.
					   Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension $3$.
					  \item Pour $P\in E$, on pose $Q(X)$ et $R(X)$ le quotient de la division 
					  euclidienne de $P$ par $A$. Les polynômes $Q$ et $R$ sont donc uniquement 
					  déterminés par $deg(R)<3$ et $$P(X)=A(X)Q(X)+R(X).$$ Soit $f$ l'application 
					  : $P \mapsto R$. Montrer que $f$ est linéaire et est un projecteur :
					  $E\rightarrow F$. Déterminer 
					  $Ker(f)$ et $Im(f)$. Vérifier que $Ker(f)$ et $Im(f)$ sont supplémentaires
					  dans $E$.
					  \item   Donner une base de $E =
					  \R_5[X]$, dans laquelle $f$ a pour
					  matrice une matrice diagonale, ne comportant que des $1$ et des $0$.
					  \end{enumerate}
         \item  Soient $E=K$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$, $f\in {\cal L}(E)$. 
                 \begin{enumerate}
                    \item Montrer que $H=\{g\in {\cal L}(E)\,|\, g\circ f=f\circ g=0\}$ est
                     un sous-espace vectoriel de ${\cal L}(E)$.
                    \item Supposons $f$ injectif, que peut-on dire de $H$ ? 
                     \item On suppose désormais que $f$ n'est pas injectif. Soit $F$ un
                      supplémentaire de $Im f$ dans $E$. Montrer que
                     $dimH=dimF.dim(Kerf)=dim(Kerf)^2$. (indication : on pourra montrer
                    que $g\in H$ induit un endomorphisme : $F \rightarrow Kerf$).
                  \end{enumerate}
           \item \begin{enumerate} \item Soit $T\in M_n(\Cc)$ triangulaire supérieure. Montrer
				que les valeurs propres de $T$ sont les coefficients diagonaux de la matrice $T$.
                \item Soit $A\in M_n(\Cc)$ une matrice nilpotente, i.e. $A^n=0$. On
                 suppose que $A$ est la matrice de l'endomorphisme $u$ dans la base canonique de $\Cc^n$.
                 Montrer que $0$ est l'unique valeur propre de $u$ et que $A$ est
				semblable à une matrice triangulaire supérieure n'ayant que des $0$ sur la diagonale.
                 \item Montrer que toute matrice triangulaire supérieure de $M_n(\Cc)$ n'ayant que des
				$0$ sur la diagonale est nilpotente.
                 \item Soit $A\in M_n(\Cc)$ une matrice unipotente, i.e. $(A-Id)^n=0$.
                Montrer que $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure n'ayant que des $1$
                sur la diagonale. 
                 \item Montrer que toute matrice triangulaire supérieure de $M_n(\Cc)$ n'ayant que des
				$1$ sur la diagonale est unipotente.
             \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
