MPAS2 -algèbre. Déterminants

C. Huyghe

1. 1- Ecrire la formule du déterminant pour une matrice 4x4. Combien y a-t-il de

termes dans cette formule? 2- Soient _{1}, _{2} les permutations sur 4 éléments suivantes

1 = 1 2 3 4 2 4 3 1

2 = 1 2 3 4 3 4 2 1

3- On considère la matrice suivante :

= ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

Entourer en bleu les termes de la matrice correspondant à la permutation _{1} et en rouge ceux correspondant à la permutation _{2}. Les calculer. Avec quel signe ces termes apparaissent-ils?

2. Calculer les déterminants suivants :

 ;  ;  ;  ; \begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; 1 0 2 3 4 5 5 6 7 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; 1 0 6 3 4 15 5 6 21 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; 1 0 0 2 3 5 4 1 3 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;

3. Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le

développer que le déterminant ; ; ; ; ; ; ; 1 1 9 1 5 3 2 8 9 ; ; ; ; ; ; ; est divisible par 17.

4. Calculer le déterminant suivant :

Δ = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 1 5 25 125 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Calculer les déterminants suivants :

 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; \begin{matrix}4 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 \end{matrix}  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; \begin{matrix}1 &  & + \\ 1 &  & + \\ 1 &  & + \end{matrix}  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;

5. Soit ( _{1} _{2} _{3}) (𝕂)^{3}. On note = ^{\frac{2}{3}} , et on considère les deux matrices suivantes :

= ; ; ; \begin{matrix}_{1} & _{2} & _{3} \\ _{3} & _{1} & _{2} \\ _{2} & _{3} & _{1} \end{matrix} ; ; ; et = ; ; ; \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & & ^{2} \\ 1 & ^{2} & \end{matrix} ; ; ;

Calculer ( ) par la règle de Sarrus. Montrer que ( ) est divisible par ( _{1} + 2 + _{3}). Calculer det( ).

6. Soit ( ) ℝ^{2}. Pour ℕ, 2, on note _{}( ) le déterminant suivant :

( ) = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; \begin{aligned}+ & & & 0 \\ & ... & ... \\ & ... & ... & \\ 0 & & & + \end{aligned} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Montrer que  ℕ  2 _{}( ) = ( + ) _{1} ( )  _{2} ( )

1- Montrer que si =

ℕ  2 _{}( ) = \frac{^{+1}  ^{+1}}{}

2- On suppose ici que = . Calculer _{}( ) en fonction de . 3- On pose _{}( ) = _{}( ) le déterminant précédent pour = , avec ℝ.

Montrer que _{}( ) ℝ[ ], et que la fonction définie par ( ) = _{}( )

est continue si . Vérifier que

( ) = _{}_{}( )

7. On pose = cos , = cos , = cos , = cos . Calculer les déterminants suivants :

=  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; 1  1  1 cos  cos  cos cos 2 cos 2 cos 2 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; =  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; 1  1  1  1 cos  cos  cos  cos cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; =  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; \begin{matrix}1 & 2 & 3 &  &  \\ 1 & 0 & 3 & &  \\ 1 & 2 & 0 & &  \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & 2 & 3 &  & 0 \end{matrix} ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;

8. 1- Calculer l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs = {2 \atop 3} et

= {1 \atop 4} .

2- Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs

= ; ; ; 1 2 0 ; ; ; , = ; ; ; 0 1 3 ; ; ; et = ; ; ; 1 1 1 ; ; ; .

3- Montrer que le volume d’un parallélépipède dont les sommets sont des

points de ℝ^{3} à coefficients entiers est un nombre entier.

9. On considère la matrice suivante à coefficients dans ℚ et

( ) = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 & & 2 ^{2} & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 3 & 4 + 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 + 2 & 1 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

Montrer que (1) n’est pas inversible. Déterminer pour quelles valeurs de la matrice ( ) est inversible.

10. Mettre sous forme bien échelonnée la matrice suivante.

= ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

11. Déterminer pour quelles valeurs de , la matrice suivante est inversible et calculer son inverse.

= ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;