\documentclass[11pt]{article}
%{{{
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%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%



%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
%\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
%\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
%\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
%\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}
%
%%----- Modifications de symboles -----
%\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
%\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
%\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
%\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
%\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}
%
%%----- Fonctions usuelles -----
%\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
%\renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
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%----- Structure des exercices ------
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{ind}{Indications}
\newtheorem{cor}{Correction}

\newcommand{\exercice}[1]{} \newcommand{\finexercice}{}
%\newcommand{\exercice}[1]{{\tiny\texttt{#1}}\vspace{-2ex}} % pour afficher le numero absolu, l'auteur...
\newcommand{\enonce}{\begin{exo}} \newcommand{\finenonce}{\end{exo}}
\newcommand{\indication}{\begin{ind}} \newcommand{\finindication}{\end{ind}}
\newcommand{\correction}{\begin{cor}} \newcommand{\fincorrection}{\end{cor}}

\newcommand{\noindication}{\stepcounter{ind}}
\newcommand{\nocorrection}{\stepcounter{cor}}

\newcommand{\fiche}[1]{} \newcommand{\finfiche}{}
\newcommand{\titre}[1]{\centerline{\large \bf #1}}
\newcommand{\addcommand}[1]{}
\newcommand{\video}[1]{}

%----- Presentation ------
\setlength{\parindent}{0cm}

\newcommand{\ExoSept}{\textbf{\textsf{Exo7}}}
\newcommand{\LogoExoSept}{\setlength{\unitlength}{0.6em}
\begin{picture}(0,0)  \thicklines     \put(0,4){\line(0,1){3}}   \put(0,7){\line(1,0){3}}
  \put(3,7){\line(0,-1){7}}  \put(0,4){\line(1,0){7}}   \put(3,0){\line(1,0){4}}
  \put(7,0){\line(0,1){4}}   \put(3,7){\line(4,-3){4}}  \put(7,4){\line(3,4){3}}  
  \put(10,8){\line(-4,3){4}} \put(3,7){\line(3,4){3}}   \put(4.6,6.8){\mbox{\ExoSept}}
\end{picture}}

%----- Commandes supplementaires ------





%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ENTETE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\LogoExoSept
%
%%\kern-2em
%\hfill\textsf{Ann\'ee 2013}
%
%\vspace*{0.5ex}
%\hrule\vspace*{1.5ex} 
%\hfil\textsf{\textbf{\Large Exercices de math\'ematiques}}
%\vspace*{1ex} \hrule 
%\vspace*{5ex} 
%
%%profondeur de la table des matieres.
%\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%
%**********************commandes locales*********************

%*************************************************************
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\sloppy
\begin{document}
%
\title{MPAS2 -algèbre. Déterminants}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Ecrire la formule du déterminant pour une matrice 4x4. Combien y a-t-il de termes 
dans cette formule ?
        \item Soient $\sigma_1$, $\sigma_2$ les permutations sur $4$ éléments suivantes
           $$\sigma_1=\left(\begin{matrix} 1 &2 &3 &4 \\
                                    2 & 4 & 3 & 1 
             \end{matrix}
             \right),
           $$
           $$\sigma_2=\left( \begin{matrix} 1 &2 &3 &4 \\
                                    3 & 4 & 2 & 1 
             \end{matrix}
             \right).
           $$
          \item On considère la matrice suivante : 
		  $$A=
		\left[
		  \begin{matrix}
			-4 &1 &1 &2  \\
			 1 &3 &1 &5  \\
			 1 & 0&-4&6  \\
			 1 &1 &1 &2  
		   \end{matrix}
		\right].$$ Entourer en bleu les termes de la matrice correspondant 
       à la permutation $\sigma_1$ et en rouge ceux correspondant à la permutation 
       $\sigma_2$. Les calculer. Avec quel signe ces termes apparaissent-ils ? 
        \end{enumerate}
\item 
Calculer les déterminants suivants~:
$$
\left|
  \begin{matrix}
    2 & 3 \\
    -1& 4
  \end{matrix}
\right|
\quad
\left|
  \begin{matrix}
    1 & 0 & 2 \\
    3 & 4 & 5  \\
    5 & 6  & 7
  \end{matrix}
\right|
\quad
\left|
  \begin{matrix}
    1 & 0 & 6 \\
    3 & 4 & 15\\
    5 & 6 & 21
  \end{matrix}
\right|
\quad
\left|
  \begin{matrix}
    1 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 5  \\
    4 & 1 & 3
  \end{matrix}
\right|
$$
%
\item
Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans
  le développer que le déterminant $\left|
   \begin{matrix}
     1&1&9\\1&5&3\\2&8&9
   \end{matrix}
  \right| $ est divisible par 17.
%
\item 
Calculer le déterminant suivant~:
$$
\Delta=\left\vert
  \begin{matrix}
    1 &2 &4 &8 \\
    1 &3 &9 &27\\
    1 &4 &16&64\\
    1 &5 &25&125
  \end{matrix}
\right\vert
$$
Calculer les déterminants suivants~:
$$
\left|
  \begin{matrix}
    -4 &1 &1 &1 &1 \\
     1 &-4&1 &1 &1 \\
     1 & 1&-4&1 &1 \\
     1 &1 &1 &-4&1 \\
     1 &1 &1 &1 &-4
   \end{matrix}
\right|
\quad
\left|
  \begin{matrix}
    1 & a & b+c \\
    1 & b & c+a \\
    1 & c & a+b
  \end{matrix}
\right|$$
\item

Soit $(a_1,a_2,a_3)\in(\mathbb{K})^{3}$. On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$, et on
considère les deux matrices suivantes :
$$
 A= \begin{pmatrix}
   a_1 & a_2 & a_3 \\
   a_3 & a_1 & a_2 \\
   a_2 & a_3 & a_1 
 \end{pmatrix}
\qquad\text{ et }
 V= \begin{pmatrix}
   1 & 1   & 1   \\
   1 & j   & j^2 \\
   1 & j^2 & j 
 \end{pmatrix}
$$
Calculer $det(A)$ par la règle de Sarrus. Montrer que $det(A)$ est divisible par $(a_1+a_2+a_3)$. 
Calculer $\det(AV)$.
\item 
Soit $(a,b)\in\R^2$. Pour $n\in\N$, $n\geq2$, on note $B_n(a,b)$ le déterminant suivant :
$$
 B_n(a,b)=
 \left\vert
   \begin{matrix}
     a+b   &a     &      &0   \\
     b     &\ddots&\ddots&    \\
           &\ddots&\ddots&a   \\
     0     &      &b     &a+b
   \end{matrix}
 \right\vert
$$

Montrer que $\forall n\in\N,n\geq 2,\;B_n(a,b)=(a+b)B_{n-1}(a,b)-abB_{n-2}(a,b)$
\begin{enumerate}
\item
Montrer que si $a\neq b$
$$
 \forall n\in\N,n\geq2,\;B_n(a,b)=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}.
$$
\item On suppose ici que $a=b$. Calculer $B_n(b,b)$ en fonction de $n$.
\item On pose $B_n(x,b)=B_n(a,b)$ le déterminant précédent pour $a=x$, avec $x\in \Rr$. Montrer que 
$B_n(x,b)\in \Rr[x]$, et que la fonction définie par $f(x)=B_n(x,b)$ est continue si $s\ rig b$. 
Vérifier que $$B_n(b,b)=lim_{x\rightarrow b}B_n(x,b).$$
\end{enumerate}

%
\item On pose $\alpha=\cos x$, $\beta=\cos y$, $\gamma=\cos z$, $\lambda=\cos t$.
Calculer les déterminants suivants~:
$$
A=\left|
  \begin{matrix}
  1      &1       &1           \\
  \cos x & \cos y & \cos z  \\
  \cos2x & \cos2y & \cos2z  
    
\end{matrix}
\right|,\;
B=\left|
  \begin{matrix}
  1      &1       &1       &1       \\
  \cos x & \cos y & \cos z & \cos t \\
  \cos2x & \cos2y & \cos2z & \cos2t \\
  \cos3x & \cos3y & \cos3z & \cos3t 
\end{matrix}
\right|
,\;
D=\left\vert
\begin{matrix}
     1   &    2   &   3    & \cdots &  n      \\
    -1   &    0   &   3    &        &  n      \\
    -1   &   -2   &   0    &        &  n      \\
  \vdots & \vdots & \vdots &        & \vdots  \\
    -1   &   -2   &   -3   & \cdots &  0 
\end{matrix}
\right|
$$
\item
%\enonce
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du parall\'elogramme construit sur les vecteurs 
$\vec{u} = \left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$ et 
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c}1\\4\end{array}\right)$.
\item Calculer le volume du  parall\'el\'epip\`ede construit sur les vecteurs \\
$\vec{u} = \left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right)$, 
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right)$ et 
$\vec{w} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$.
\item Montrer que le volume d'un parall\'el\'epip\`ede dont les sommets sont des points de 
$\Rr^3$ \`a coefficients entiers est un nombre entier.
\end{enumerate}
%\finenonce

\noindication

\item On considère la matrice suivante à coefficients dans $\mathbb{Q}$ et 
$$M(t)=
\left[
\begin{matrix}
     1   &    t   &   2t^2    & 4      \\
    2  &    -2t   &   0          &  3      \\
    3   &   3t   &   4t+2            &  2      \\
    4 & 1 &    3t+2      & 1
\end{matrix}
\right].
$$
Montrer que $M(1)$ n'est pas inversible. Déterminer pour quelles valeurs de $t$ la matrice $M(t)$ est inversible.

\item Mettre sous forme bien échelonnée la matrice suivante.
$$
A=\left[
  \begin{matrix}
    -3 &1 &1 &2  \\
     1 &-4&2 &-1  \\
     0 &-1&-2&1  \\
     1 &0 &1 &0 \\
   \end{matrix}
\right]
$$

\item Déterminer pour quelles valeurs de $t$, la matrice suivante 
est inversible et calculer son inverse.
$$B=
\left[
  \begin{matrix}
    1 &1 &0 &0  \\
     2 &-4&2 &1  \\
     0 & t&1&0  \\
     0 &0 &2 &-4 
   \end{matrix}
\right]
$$


\end{enumerate}
\end{document}
