Sous-espaces vectoriels ou affines de ℝ^{}

C. Huyghe

1. Déterminer lesquels des ensembles _{1}, _{2}, _{3} et _{4} sont des sous-espaces vectoriels de ℝ^{3}. 1 = ( ) ℝ^{3} 3 7 = 2 = ( ) ℝ^{3} ^{2} ^{2} = 0 3 = ( ) ℝ^{3} + = + + = 0 4 = ( ) ℝ^{3} ( ^{2} + ^{2}) = 0

2. Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels :

\begin{matrix}_{1} = (  ) ℝ^{3} + = 0 ; & _{1}^{}= (  ) ℝ^{3} = 0 \\ _{2} = (  ) ℝ^{4} = 0 = ; & _{2}^{}= (  ) ℝ^{3} = 1 \end{matrix}

3. Dans ℝ^{3}, on note les vecteurs = ; ; ; \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} ; ; ; . Soit le plan vectoriel d’équation

+ 2 + 3 = 0. Soient _{1}, _{2}, _{3} les vecteurs de la base canonique de ℝ^{3}, et le plan vectoriel engendré par _{1} et _{2}, et ^{}le plan vectoriel engendré par _{1} et _{3}.

1- Donner un vecteur engendrant l’intersection . 2- Donner un vecteur engendrant l’intersection ^{}. 3- On pose = _{3}. 4- Montrer explicitement que _{1}, _{2} et _{3} sont combinaison linéaire de , et . 5- En déduire que tout vecteur de de ℝ^{3} est combinaison linéaire de , et

. Donner une formule explicite en fonction des coordonnées ( ) du vecteur .

4. Soit _{1} _{2} _{3} la base canonique de ℝ^{3}. Soient = 2 _{1}, = _{1} + 3 _{2}, ^{}= 4 _{1} +

3 _{2} 6 _{3}, = 2 _{1} + _{2} + 2 _{3}.

1- Montrer que ^{}est combinaison linéaire de et de . 2- A quoi est égal le plan engendré par et ? 3- Donner une équation du plan engendré par et . 4- Donner une équation du plan ^{}parallèle à et passant par le point de

coordonnées (1 2 3), et du plan ^{}parallèle à et passant par (1 2 3). 5- Montrer que n’appartient pas à . Exprimer chaque _{}pour 1 3

comme combinaison linéaire de , et .

6- Donner une formule en fonction des coordonnées ( ) d’un vecteur de

ℝ^{3} qui exprime ce vecteur comme combinaison linéaire de , et .

5. Montrer que l’isobarycentre d’un parallélogramme est l’intersection de ses diagonales.

6. Un tétraèdre est déterminé par 4 points _{1}, …, _{4} de ℝ^{3}. Trois de ces points déterminent un triangle, dont on note _{}l’isobarycentre. Montrer que les 4 droites ( _{1} _{1}) ( _{4} _{4}) sont concourantes.

7. Montrer que l’intersection de deux parties convexes de ℝ^{}est convexe.

8. Dans ℝ^{}on considère un sous-espace affine d’équation _{1} _{1} + + _{}_{}= 2. En cours, il a été démontré que est convexe. Montrer que l’ensemble ℝ^{}_{1} _{1} + + _{}_{}2 est convexe.