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\begin{document}
%
\title{Sous-espaces vectoriels ou affines de $\mathbb{R}^n$}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
\item D\' eterminer lesquels des
ensembles $E_1$, $E_2$, $E_3$ et $E_4$ sont des sous-espaces
vectoriels de ${\Rr}^3$. 

 $E_1 =\{ (x,y,z)\in {\Rr}^3 \ \; \   3x-7y = z \} $ 

 $E_2 =\{(x,y,z)\in {\Rr}^3\ \; \ x^2-z^2=0 \} $  

 $E_3=\{ (x,y,z)\in {\Rr}^3\ \; \ x+y-z=x+y+z=0 \} $ 

 $E_4 =\{ (x,y,z)\in {\Rr}^3\ \; \ z(x^2+y^2)=0 \} $
%
\item  Parmi les ensembles suivants, reconna\^{\i}tre ceux qui sont des sous-espaces
vectoriels :\\
$\begin{array}{ll}
E_{1}=\{(x,y,z)\in { \Rr}^{3}/ x+y=0\}; & E_{1}'=\{(x,y,z)\in {\Rr}^{3}/xy=0\}.\\
E_{2}=\{(x,y,z,t)\in { \Rr}^{4}/ x=0,   y=z\}; & E_{2}'=\{(x,y,z)\in { \Rr}^{3}/x=1\}.\\
\end{array}$
%
\item
Dans ${\Rr}^3$, on note les vecteurs $u=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z
\end{array}\right)$. Soit $P$ le plan vectoriel d'équation $x+2y+3z=0$. Soient 
 $e_1$, $e_2$, $e_3$ les vecteurs de la base canonique de 
${\Rr}^3$, et $H$ le plan vectoriel engendré par $e_1$ et $e_2$, et $H'$ le plan vectoriel 
engendré par $e_1$ et $e_3$.
\begin{enumerate} \item  Donner un vecteur $u$ engendrant l'intersection $H\bigcap P$.
\item  Donner un vecteur $v$ engendrant l'intersection $H'\bigcap P$.
\item On pose $w=e_3$. 
\item Montrer explicitement que $e_1$, $e_2$ et $e_3$ sont combinaison linéaire de 
$u$, $v$ et $w$.
\item En déduire que tout vecteur de $a$ de ${\Rr}^3$ est combinaison linéaire de $u$, $v$ et $w$.
Donner une formule explicite en fonction des coordonnées $(x,y,z)$ du vecteur $a$.
\end{enumerate}
\item Soit $e_1,e_2,e_3$ la base canonique de ${\Rr}^3$. Soient $u=2e_1$, $v=e_1+3e_2$,
$w'=-4e_1+3e_2-6e_3$, $w=2e_1+e_2+2e_3$. 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que $w'$ est combinaison linéaire de $w$ et de $v$.
\item A quoi est égal le plan $P$ engendré par $u$ et $v$ ?
\item Donner une équation du plan $Q$ engendré par $v$ et $w$.
\item Donner une équation du plan $P'$ parallèle à $P$ et passant par le point 
de coordonnées $(1,2,3)$, et du plan $Q'$ parallèle à $Q$ et passant par 
$(1,2,3)$.
\item Montrer que $w$ n'appartient pas à $P$.
Exprimer chaque $e_i$ pour $i\in\{1,\ldots 3\}$ comme combinaison linéaire de $u$, $v$ et $w$.
\item Donner une formule en fonction des coordonnées $(x,y,z)$ d'un vecteur $u$ 
de ${\Rr}^3$ qui exprime ce vecteur comme combinaison linéaire de $u$, $v$ et $w$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'isobarycentre d'un parallélogramme est l'intersection de ses
diagonales.
\item Un tétraèdre est déterminé par $4$ points $A_1$, \ldots ,$A_4$ de ${\Rr}^3$. Trois 
de ces points $A_i,A_j,A_k$ déterminent un triangle, dont on note $G_l$ l'isobarycentre. 
Montrer que les $4 $ droites $(G_1,A_1), \ldots ,(G_4,A_4)$ sont concourantes.
\item Montrer que l'intersection de deux parties convexes de ${\Rr}^n$ est convexe.
\item Dans ${\Rr}^n$ on considère un sous-espace affine $H$ d'équation 
$a_1x_1+ \ldots +a_n x_n=2$. En cours, il a été démontré que $H$ est convexe. 
Montrer que l'ensemble 
$\{u\in {\Rr}^n/ a_1x_1+ \ldots +a_n x_n\leq 2\}$ est convexe.
 

\end{enumerate}
\end{document}
