Géométrie affine dans ℝ^{3}

C. Huyghe

1. Soit un plan muni d’un repère ( ), les points et les vecteurs sont exprimés

par leurs coordonnées dans .

1- Donner un vecteur directeur, la pente une équation paramétrique et une

équation cartésienne des droites ( ) suivantes :

i. (2 3) et ( 1 4) ii. ( 7 2) et ( 2 5)

2- Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par

et dirigées par avec :

i. (2 1) et ( 3 1) ii. (0 1) et (1 2)

3- Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites définies

comme suit :

i. passant par le point (2 3) et parallèle à l’axe des , ii. passant par le point ( 2 5) et parallèle à la droite : 8 + 4 = 3.

2. On considère les 4 points , , , donnés. ( { \atop }{ \atop }{ \atop }) définit-il bien un nouveau repère ? Dans ce cas, trouver les formules de changements de repère exprimant les coordonnées ( ) dans ( ) en fonction de celles ( ^{}^{}^{}) dans ( { \atop }{ \atop }{ \atop }).

1- (2 1 0), (7 1 1), ( 3 0 2), (3 6 3) 2- (4 1 4), (7 3 1), (9 0 0), (5 2 3)

3. Soit = ℝ^{3}, muni de la base canonique.

1- Soient , les vecteurs de coordonnées respectives ( 1 1 2) et (3 0 2). Donner une équation du plan dirigé par , passant par le point de coordonnées (2 1 3).

2- Soient { \atop ^{}}, { \atop ^{}}les vecteurs de coordonnées respectives (2 1 2) et ( 1 3 1). Donner uneéquation de la perpendiculaire au plan dirigé par { \atop ^{}},{ \atop ^{}}et passant par le point de coordonnées ( 1 1 0).

4. Soient ( ) un parallélogramme. Calculer la norme du produit vectoriel { \atop }{ \atop }en fonction de l’aire du parallélogramme.

5. Soient ( _{})_{=1 4} quatre droites du plan affine sécantes deux à deux en six points distincts. Si deux d’entre elles se coupent en et les deux autres en , on dit que [ ] est une diagonale. Montrer que les milieux des trois diagonales sont alignés (on étudiera le problème analytiquement en choisissant un bon repère).

6. 1- Soient ( _{}: _{}+ _{}+ _{}= 0)_{=1 3} trois droites du plan affine. Montrer

qu’elles sont parallèles ou concourantes ssi ; ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}_{1} & _{1} & _{1} \\ _{2} & _{2} & _{2} \\ _{3} & _{3} & _{3} \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ; = 0.

2- Soient ( _{1} : + 2 = 1), ( _{2} : + = 2), ( _{3} : 2 + = 3), ( _{4} : 3 + 2 = 1). Déterminer une équation de la droite qui passe par _{1} _{2} et _{3} _{4} sans calculer ces points d’intersection.

7. On considère la famille de plans ( _{})_{ℝ} définis par les équations cartésiennes :

2 + (2 1) + = 3

1- Déterminer les plans _{}dans chacun des cas suivants :

i. (1 1 1) _{} ii. (2 \frac{5}{2} 1) est orthogonal à _{}. iii. (1 1 1) est un vecteur directeur de _{}

2- Montrer qu’il existe un unique point appartenant à tous les plans _{}.