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%profondeur de la table des matieres.
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%----- Modifications de symboles -----
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\sloppy
\begin{document}
%
\title{Géométrie affine dans $\Rr^3$}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
\item
Soit $P$ un  plan muni d'un repère  $\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})$, les points et les vecteurs sont exprimés par leurs
coordonnées dans $\mathcal{R}$.
       \begin{enumerate}
		\item
		 Donner un vecteur directeur, la pente 
		 une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites $(AB)$ suivantes :
		 \begin{enumerate}
		  \item $A(2,3)$ et $B(-1,4)$    
		  \item  $A(-7,-2)$ et $B(-2,-5)$  
		  \end{enumerate} 

		 \item  Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par $A$ et 
		dirigées par $\vec{v}$ avec : 
		  \begin{enumerate}
			\item  $A(2,1)$ et $\vec{v}(-3,-1)$ 
			\item  $A(0,1)$ et $\vec{v}(1,2)$
		  \end{enumerate} 

		\item   Donner des équations paramétriques et cartésiennes
		 des droites définies comme suit  :
		  \begin{enumerate}
			 \item  passant par le point $(2,-3)$ et  parallèle à l'axe des $x$,
			\item  passant par le point $(-2,5)$ et  parallèle à la droite $D : 8x+4y=3$.
		  \end{enumerate} 

		\end{enumerate}
\item 
		On consid\`ere les 4 points $A$, $B$, $C$, $D$ donn\'es. 
		$(A,\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})$ d\'efinit-il bien un nouveau rep\`ere ? 
		\begin{enumerate}
		\item $A(2,-1,0)$, $B(7,-1,-1)$, $C(-3,0,-2)$, $D(3,-6,-3)$
		\item $A(4,1,4)$, $B(7,3,1)$, $C(9,0,0)$, $D(5,2,3)$
		\end{enumerate} 

\item Soit $E=\Rr^3$, muni de la base canonique. 
          \begin{enumerate} \item Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ les vecteurs de coordonnées
respectives $(-1,1,2)$ et $(3,0,2)$. Donner une équation du plan dirigé par $\vec{u}$,
$\vec{v}$ passant par le point $C$ de coordonnées $(2,1,3)$.
\item Soient $\vec{u'}$, $\vec{v'}$ les vecteurs de coordonnées
respectives $(2,1,-2)$ et $(-1,3,1)$. Donner une équation de la perpendiculaire au plan 
dirigé par $\vec{u'}$,$\vec{v'}$ et passant par le point $D$ de coordonnées $(-1,1,0)$.
           \end{enumerate}
\item Soient $(A,B,C,D)$ un parallélogramme. Calculer la norme du produit vectoriel 
$\vec{AB}\wedge \vec{AC}$ en fonction de l'aire du parallélogramme.
\item
		Soient $ (D_{i})_{i = 1 \ldots 4}$ quatre droites du plan affine s\'ecantes deux
		\`a deux en six points distincts. Si deux d'entre elles se coupent en $A$ et les
		deux autres en $B$, on dit que $[AB]$ est une diagonale. Montrer que les milieux des
		trois diagonales sont align\'es (on \'etudiera le probl\`eme analytiquement en choisissant
		un bon rep\`ere).
\item
		\begin{enumerate}
		\item Soient $ (D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}$ trois droites du plan affine.
		 Montrer qu'elles sont parall\`eles ou concourantes ssi $\begin{vmatrix}
		u_{1} & v_{1} & h_{1}\\u_{2} & v_{2} & h_{2}\\u_{3} & v_{3} & h_{3}\\
		\end{vmatrix} = 0$.
		\item Soient $ (D_{1} : x + 2y = 1)$, $ (D_{2} : x + y = 2)$, $ (D_{3} : 2x + y = 3)$,
		$ (D_{4} : 3x + 2y = 1)$. D\'eterminer une \'equation de la droite $D$ qui passe par
		$D_{1} \cap D_{2}$ et $D_{3} \cap D_{4}$ sans calculer ces points d'intersection.
		\end{enumerate}
\item
On considère la famille de  plans $(P_m)_{m\in \Rr}$ définis par les équations cartésiennes :
$$ m^2x+(2m-1)y+mz=3$$
		\begin{enumerate}
		  \item Déterminer les plans $P_m$ dans chacun des cas suivants :
				  \begin{enumerate}
					\item $A(1,1,1)\in P_m$ 
					\item $\vec{n}(2,-\frac 52,-1)$ est orthogonal à $P_m$.
					\item  $\vec{v}(1,1,1)$ est un vecteur directeur de $P_m$ 
				  \end{enumerate} 
		  \item Montrer qu'il existe un unique point $Q$ appartenant à tous les plans $P_m$.
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}
