Espaces vectoriels-MPA algèbre S2

C. Huyghe

1. Déterminer lesquels des ensembles _{1}, _{2}, _{3} et _{4} sont des sous-espaces vectoriels de ℝ^{3}. 1 = ( ) ℝ^{3} 3 7 = 2 = ( ) ℝ^{3} ^{2} ^{2} = 0 3 = ( ) ℝ^{3} + = + + = 0 4 = ( ) ℝ^{3} ( ^{2} + ^{2}) = 0

2. Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de ℝ^{3} :

\begin{matrix}_{1} = (  ) ℝ^{3} + = 0 ; & _{1}^{}= (  ) ℝ^{3} = 0 \\ _{2} = (  ) ℝ^{4} = 0 = ; & _{2}^{}= (  ) ℝ^{3} = 1 \end{matrix}

3. Dans ℝ^{3}, on note les vecteurs = ; ; ; \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} ; ; ; . Soit le plan vectoriel d’équation

+ 2 + 3 = 0. Soient _{1}, _{2}, _{3} les vecteurs de la base canonique de ℝ^{3}, et le plan vectoriel engendré par _{1} et _{2}, et ^{}le plan vectoriel engendré par _{1} et _{3}. 1- Donner un vecteur engendrant l’intersection . 2- Donner un vecteur engendrant l’intersection ^{}. 3- On pose = _{3}. 4- Montrer explicitement que _{1}, _{2} et _{3} sont combinaison linéaire de , et . 5- En déduire que tout vecteur de de ℝ^{3} est combinaison linéaire de , et

. Donner une formule explicite en fonction des coordonnées ( ) du vecteur .

4. Soit _{1} _{2} _{3} la base canonique de ℝ^{3}. Soient = 2 _{1}, = _{1} + 3 _{2}, ^{}= 4 _{1} + 3 _{2} 6 _{3}, = 2 _{1} + _{2} + 2 _{3}. 1- Montrer que ^{}est combinaison linéaire de et de . 2- A quoi est égal le plan engendré par et ? 3- Donner une équation du plan engendré par et . 4- Donner une équation du plan ^{}parallèle à et passant par le point de

coordonnées (1 2 3), et du plan ^{}parallèle à et passant par (1 2 3). 5- Montrer que n’appartient pas à . Exprimer chaque _{}pour 1 3

comme combinaison linéaire de , et .

6- Donner une formule en fonction des coordonnées ( ) d’un vecteur de

ℝ^{3} qui exprime ce vecteur comme combinaison linéaire de , et .

5. Soient et deux sous-espaces vectoriels de ℝ^{}. On suppose que est un sous-espace vectoriel de ℝ^{}. Montrer que ou alors .

6. Montrer que ℂ est un ℝ-espace vectoriel et que ℝ est un ℚ-espace vectoriel. Soit

= ℝ \overline{}=

Quels sont les éléments de ? Soit , montrer alors que l’on a

ℂ = ℝ ℝ\overline{}

7. Soient = [ ] un segment de ℝ, le ℝ-espace vectoriel des fonctions continues de ℝ. Soit . 1- Soit = ( ) = 0 Montrer que est un sous-espace vectoriel de

.

2- Soit =  ( ) = 1  Est-ce que est un sous-espace vectoriel de ?
3- Soit =  ( ) 0  Est-ce que est un sous-espace vectoriel de ?

8. Soit l’espace vectoriel des suites à valeurs dans ℂ. Soient ℂ 0 . On note _{}l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence

+2 = _{}+ _{+1}

Montrer que _{}est un sous-espace vectoriel de , non réduit à 0, c’est-à-dire à la suite constante égale à 0.

9. Soit _{1} _{2} _{3} la base canonique de = ℝ^{3}. Soient = 2 _{1}, = _{1} + 3 _{2}, ^{}= 4 _{1} + 3 _{2} 6 _{3}, = 2 _{1} + _{2} + 2 _{3}. 1- Montrer que ^{}est combinaison linéaire de et de . 2- A quoi est égal le plan engendré par et ? 3- Trouver un vecteur de , tel que

= ℝ

Ecrire la décomposition obtenue des vecteurs _{1}, _{2}, _{3} en fonction d’un vecteur de et de la droite = ℝ .

10. Soit = ^{0}([0 1], qui est un ℝ-espace vectoriel. Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. 1- Soit _{1} = ^{2} = . Est-ce que _{1} est un ℝ-espace vectoriel ? 2- Soit _{2} = (1) = 0 . Est-ce que _{2} est un ℝ-espace vectoriel ? 3- Soit _{3} = _{0}^{1} ( ) = 0 . Est-ce que _{3} est un ℝ-espace vectoriel ?

4- = ℝ _{3}. 5- = ℝ _{2}.

11. Soit est l’espace vectoriel _{2}(ℂ) et ℂ non nul, on note _{}l’ensemble des matrices telles que = ^{}, où^{}est la matrice transposée de . 1- Montrer que _{}est un sous-espace vectoriel de _{2}(ℂ) et que si _{},

alors^{}_{}. 2- Montrer que _{}est réduit à 0 sauf si = 1 ou = 1. 3- On note le sous espace-vectoriel _{1} des matrices symétriques, le sous

espace vectoriel _{1} des matrices antisymétriques. Montrer que est une droite vectorielle et que _{2}(ℂ) =

Enoncés tirés du CC, L1 algèbre S2 de 2014

12. Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. 1- Si, pour tout , alors est un sous-espace vectoriel de . 2- Si, pour tout ( ) ^{2}, + alors est un sous-espace vectoriel de . 3- Si est un sous-espace vectoriel de alors

pour tout ℕ^{}, pour tout ( _{1} _{2} _{}) ^{}_{=1}^{}_{}. 4- Si, pour tout 𝕂, pour tout ( ) ^{2} + alors est un sous-

espace vectoriel de .

13. Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. 1- Si = ℝ[ ] est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes

alors l’ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré 1 est un sous-espace vectoriel de .

2- Si est l’espace vectoriel des suites à valeurs réelles alors l’ensemble des

suites à valeurs réelles croissantes est un sous-espace vectoriel de . 3- Si est l’espace vectoriel _{2}(ℂ) alors l’ensemble des matrices de la forme

= \begin{matrix} & \\ & \end{matrix}telles que = 0 est un sous-espace vectoriel de .

4- Si est l’espace vectoriel _{2}(ℂ) alors l’ensemble des matrices telles que + = 0 est un sous-espace vectoriel de .