Espaces vectoriels, familles libres et génératrices

C. Huyghe

1. 1- Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de ℝ^{n}. On suppose que F ⋃ G est

un sous-espace vectoriel de ℝ^{n}. Montrer que F ⊂ G ou alors G ⊂ F. 2- Soient K un corps, E un K-espace vectoriel, F, G deux sous-espaces vectoriels

de E. Que pensez-vous de l’énoncé analogue pour F et G?

2. Soient I = [a, b] un segment de ℝ, E le ℝ-espace vectoriel des fonctions continues

de I → ℝ. Soit c ∈ I.

1- Soit F = {f ∈ E | f(c) = 0} . Montrer que F est un sous-espace vectoriel de

E. 2- Soit H = {f ∈ E | f(c) = 1} . Est-ce que H est un sous-espace vectoriel de

E? 3- Soit K = {f ∈ E | f(c) ≥ 0} . Est-ce que K est un sous-espace vectoriel de

E?

3. 1- Montrer que e^{iπ/3} et 2e^{iπ/4} forment une famille libre de ℂ sur ℝ. 2- Montrer 1, e^{iπ/3} et 2e^{iπ/4} forment une famille liée.

4. Soit U l’espace vectoriel des suites à valeurs dans ℂ. Soient a, b ∈ ℂ\{0}. On note U_{a,b} l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence

u_{n+2} = au_{n} + bu_{n+1}.

Montrer que U_{a,b} est un sous-espace vectoriel de U, non réduit à 0, c’est-à-dire à la suite constante égale à 0.

5. Soit e_{1}, e_{2}, e_{3} la base canonique de E = ℝ^{3}. Soient u = 2e_{1}, v = e_{1} + 3e_{2}, w′ =

−4e_{1} + 3e_{2} − 6e_{3}, w = 2e_{1} + e_{2} + 2e_{3}.

1- Montrer que w′ est combinaison linéaire de w et de v. 2- A quoi est égal le plan P engendré par u et v? 3- Trouver un vecteur e de E, tel que

E = P ⨁ ℝ · e.

Ecrire la décomposition obtenue des vecteurs e_{1}, e_{2}, e_{3} en fonction d’un vecteur de P et de la droite D = ℝ · e.

6. On pose E = M_{2}(ℝ). Soit A = (a_{i,j}) ∈ E. Pour A ∈ E, on pose T r(A) = a_{1,1}+a_{2,2}.

1- Soit F = {A ∈ E | T r(A) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. Quelles équations, portant sur les coefficients (a_{i,j}) caractérisent-elles les éléments de F ? Donner une famille génératrice de 3 matrices de F.

2- On considère la droite vectorielle H engendrée par Id ∈ E. Montrer que

H = \{( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ) | λ ∈ ℝ\} ,

et que

E = F ⨁ H.

7. Soient a ∈ ℝ, v_{1} = (1, 1 − a, a), v_{2} = (a − 2, 2, 3) et v_{3} = (1, a, 1). Pour quelles valeurs de a, les vecteurs v_{1}, v_{2} et v_{3} forment-ils une famille libre dans ℝ^{3} ? Même question dans ℂ.

8. Soit E l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans

ℝ.

1- Montrer que les fonctions x(t) = cos t et y(t) = sin t appartiennent à E et

sont linéairement indépendantes. 2- Montrer que les quatre fonctions définies par

x_{1}(t) = cos t cosh t,
x_{2}(t) = sin t cosh t,
x_{3}(t) = cos t sinh t,
x_{4}(t) = sin t sinh t

appartiennent à E et sont linéairement indépendantes.

9. Soit E = ℝ_{3}[X] = {P ∈ ℝ[X] | deg(P) ≤ 3}.

1- Montrer que les polynômes 1, X, X^{2}, X^{3} forment une famille libre et

génératrice de E. 2- Soit F = {P ∈ E | P (0) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de

E, engendré par X, X^{2} et X^{3}. Montrer que la droite vectorielle D engendrée par le polynôme constant 1 est supplémentaire de F dans E.

3- Montrer que les polynômes 1, X − 1, (X − 1)^{2}, (X − 1)^{3} forment une famille libre et génératrice de E (indication : on pourra faire le changement de variable Y = X − 1 et considérer le polynôme en Y, P (Y + 1) = P (X), pour P ∈ E).

4- Soit G = {P ∈ E | P (1) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E, engendré par X − 1, (X − 1)^{2} et (X − 1)^{3} et que la droite vectorielle D engendrée par le polynôme constant 1 est supplémentaire de G dans E.

10. Soit E = C^{0}([0, 1], qui est un ℝ-espace vectoriel. Répondez par oui ou par non aux

assertions suivantes, en justifiant votre réponse.

1- Soit F_{1} = {f ∈ E | f^{2} = f}. Est-ce que F_{1} est un ℝ-espace vectoriel ? 2- Soit F_{2} = {f ∈ E | f(1) = 0}. Est-ce que F_{2} est un ℝ-espace vectoriel ? 3- Soit F_{3} = {f ∈ E | ∫_{0}^{1} f(t)dt = 0}. Est-ce que F_{3} est un ℝ-espace vectoriel ? 4- E = ℝ ⨁ F_{3}. 5- E = ℝ ⨁ F_{2}.

Enoncés tirés du CC, L1 algèbre S2 de 2014 (resp. P. Py)

11. Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. 1- Si, pour tout x ∈ F, −x ∈ F alors F est un sous-espace vectoriel de E. 2- Si, pour tout (x, y) ∈ F^{2}, x + y ∈ F alors F est un sous-espace vectoriel de

E. 3- Si F est un sous-espace vectoriel de E alors

pour tout n ∈ ℕ^{∗}, pour tout (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ∈ F^{n}, ∑_{i=1}^{n} x_{i} ∈ F. 4- Si, pour tout a ∈ 𝕂, pour tout (x, y) ∈ F^{2}, x + y ∈ F alors F est un sous-

espace vectoriel de E.

12. Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse.

1- Si E = ℝ[X] est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes alors l’ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré 1 est un sous-espace vectoriel de E.

2- Si E est l’espace vectoriel des suites à valeurs réelles alors l’ensemble des

suites à valeurs réelles croissantes est un sous-espace vectoriel de E. 3- Si E est l’espace vectoriel M_{2}(ℂ) alors l’ensemble des matrices M de la forme

M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) telles que ad − bc = 0 est un sous-espace vectoriel de E.

13. Soit E un 𝕂-espace vectoriel. Soient A et B deux parties non vides de E telles que A ≠ B et A ⊂ B.

1- Si B est une famille libre, alors A est une famille libre. 2- Si B est une famille génératrice, alors A est une famille génératrice. 3- Si A forme une base de E, alors B est génératrice. 4- Si A forme une base de E, alors B est libre.