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%profondeur de la table des matieres.
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%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\title{Espaces vectoriels, familles libres et génératrices}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item	 Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $\Rr^n$. On suppose que 
			$F\bigcup G$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^n$. Montrer que $F\subset G$ ou
				alors $G\subset F$.
			  \item Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel, $F$, $G$ deux sous-espaces
				vectoriels de $E$. Que pensez-vous de l'énoncé analogue pour $F$ et $G$ ?
      \end{enumerate}
%
\item Soient $I=[a,b]$ un segment de $\Rr$, $E$ le $\Rr$-espace vectoriel des fonctions continues
de $I \rightarrow \Rr$. Soit $c\in I$. 
		\begin{enumerate} \item Soit  $F=\left\{f\in E \, |\, f(c)=0\right\}.$ Montrer que 
				$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
                 \item Soit $H=\left\{f\in E \, |\, f(c)=1\right\}.$ Est-ce que $H$ est un
				sous-espace vectoriel de $E$ ?
                 \item Soit $K=\left\{f\in E \, |\, f(c)\geq 0 \right\}.$ Est-ce que $K$ est un
				sous-espace vectoriel de $E$ ?
       \end{enumerate}
%
\item \begin{enumerate}
             \item Montrer que $e^{i\pi/3}$ et $2e^{i\pi/4}$ forment une famille libre de $\Cc$ sur $\Rr$.
              \item Montrer $1$, $e^{i\pi/3}$ et $2e^{i\pi/4}$ forment une famille liée.
      \end{enumerate}
%
\item
Soit $U$ l'espace vectoriel des suites à valeurs dans $\Cc$. Soient
$a,b\in\Cc\backslash\{0\}$. On note 
$U_{a,b}$ l'ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence
$$u_{n+2}=au_n+bu_{n+1}.$$
Montrer que $U_{a,b}$ est un sous-espace vectoriel de $U$, non réduit à ${0}$,
c'est-à-dire à la suite constante égale à $0$.
%
\item Soit $e_1,e_2,e_3$ la base canonique de $E={\Rr}^3$. Soient $u=2e_1$, $v=e_1+3e_2$,
$w'=-4e_1+3e_2-6e_3$, $w=2e_1+e_2+2e_3$. 
		\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $w'$ est combinaison linéaire de $w$ et de $v$.
		\item A quoi est égal le plan $P$ engendré par $u$ et $v$ ?
		\item Trouver un vecteur $e$ de $E$, tel que 
		$$ E = P \bigoplus \Rr\cdot e.$$ Ecrire la décomposition obtenue des vecteurs 
        $e_1$, $e_2$, $e_3$ en fonction d'un vecteur de $P$ et de la droite $D=\Rr\cdot
		e$.
		\end{enumerate}
%
\item On pose $E=M_2(\Rr)$. Soit $A=(a_{i,j})\in E$. Pour $A\in E$, on pose 
$Tr(A)=a_{1,1}+a_{2,2}$.
		\begin{enumerate} \item Soit $F=\{A\in E\, | \, Tr(A)=0\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace 
		vectoriel de $E$. Quelles équations, portant sur les coefficients $(a_{i,j})$
		caractérisent-elles les éléments de $F$ ? Donner une famille génératrice de $3$ matrices
		de $F$.
		\item On considère la droite vectorielle $H$ engendrée par $Id\in E$. Montrer que 
		$$H=\left\{\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{array}\right)\, | \,
		\lambda \in \Rr\right\},$$ et que 
		$$E=F \bigoplus H.$$
		\end{enumerate}

%
\item Soient $a\in\Rr$, $v_1=(1, 1-a, a)$, $v_2=(a-2, 2, 3)$ et $v_3=(1, a, 1)$. Pour
quelles valeurs de $a$, les vecteurs $v_1$, $v_2$ et $v_3$ forment-ils une famille libre
dans $\Rr^3$ ? Même question dans $\Cc$.
%
\item Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions r\'eelles
ind\'efiniment d\'erivables \`a valeurs dans $\R$.
        \begin{enumerate} \item Montrer que les fonctions $x(t)=\cos t$ et $y(t)=\sin t$
				appartiennent à $E$ et sont linéairement indépendantes.
				\item Montrer que les quatre fonctions d\'efinies par
				\begin{eqnarray*}
				&&x_1(t) = \cos t \cosh t, \\
				&&x_2(t) = \sin t \cosh t, \\
				&&x_3(t) = \cos t \sinh t, \\
				&&x_4(t) =\sin t \sinh t
				\end{eqnarray*}
				appartiennent \`a $E$ et sont lin\'eairement ind\'ependantes.
		\end{enumerate}
%
\item 
		Soit $E=\Rr_{3}[X]=\left\{P\in \Rr[X]\, | \, deg(P)\leq 3 \right\}$.
				\begin{enumerate} \item Montrer que les polynômes $1$, $X$, $X^2$, $X^3$ forment une
				famille libre et génératrice de $E$.
				\item Soit $F=\left\{P\in E \, | \, P(0)=0\right\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace
				vectoriel de $E$, engendré par $X$, $X^2$ et $X^3$. Montrer que la droite vectorielle $D$
				engendrée par le polynôme constant $1$ est supplémentaire de $F$ dans $E$.
				\item Montrer que les polynômes $1$, $X-1$, $(X-1)^2$, $(X-1)^3$ forment une
				famille libre et génératrice de $E$ (indication: on pourra faire le changement de variable
				$Y=X-1$ et considérer le polynôme en $Y$, $P(Y+1)=P(X)$, pour $P\in E$).  
				\item Soit $G=\left\{P\in E \, | \, P(1)=0\right\}$.  Montrer que $F$ est un sous-espace
				vectoriel de $E$, engendré par $X-1$, $(X-1)^2$ et $(X-1)^3$ et que la droite vectorielle $D$
				engendrée par le polynôme constant $1$ est supplémentaire de $G$ dans $E$.
		\end{enumerate}
%
\vspace{+1cm}

\item Soit $E={\cal C}^0([0,1]$, qui est un $\Rr$-espace vectoriel. Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse.
         \begin{enumerate} \item Soit $F_1=\left\{f\in E \, | \, f^2=f\right\}$. Est-ce que $F_1$ est un $\Rr$-espace vectoriel ?
                            \item Soit $F_2=\left\{f\in E \, | \, f(1)=0\right\}$. Est-ce que $F_2$ est un $\Rr$-espace vectoriel ?
                            \item Soit $F_3=\left\{f\in E \, | \, \int_0^1 f(t) dt =0\right\}$. Est-ce que $F_3$ est un $\Rr$-espace vectoriel ?
                             \item $E=\Rr \bigoplus F_3$.
                             \item $E=\Rr \bigoplus F_2$.
         \end{enumerate}
      
%
\vspace{+2mm}
Enoncés tirés du CC, L1 algèbre S2 de 2014 (resp. P. Py)

\item Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse.
\begin{enumerate}
		\item Si, pour tout $x\in F$,  $-x\in F$ alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
		\item Si, pour tout $(x,y)\in F^2$,  $x+y\in F$ alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
		\item Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ alors\\ pour tout $n\in \N^*$, pour tout $ (x_1,x_2,\dots,x_n)\in F^n,\, \sum_{i=1}^n x_i \in F$.
		\item Si, pour tout $a \in \K$, pour tout $(x,y)\in  F^2,\, x+ y\in F$ alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
\end{enumerate}

\item  Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse.
		\begin{enumerate}
				 \item Si $E=\R[X]$ est l'espace vectoriel des polynômes à  coefficients complexes alors l'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré 1 est un sous-espace vectoriel de $E$. 
				\item Si $E$ est l'espace vectoriel  des suites  à valeurs réelles alors l'ensemble des suites à  valeurs réelles croissantes est un sous-espace vectoriel de $E$.
				\item Si $E$ est l'espace vectoriel $M_2(\Cc)$ alors  l'ensemble des matrices $M$ de la forme $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$ telles que $ad-bc=0$  est un sous-espace vectoriel de $E$.
		\end{enumerate}

%
\item Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $E$ telles que $A\neq B$ et $A\subset B$. \\
		\begin{enumerate}
		\item Si $B$ est une famille libre, alors $A$ est une famille libre.
		\item Si $B$ est une famille génératrice, alors $A$ est une famille génératrice.
		\item Si $A$ forme une base de $E$, alors $B$ est génératrice.
		\item Si $A$ forme une base de $E$, alors  $B$ est libre.
		\end{enumerate}
%
      






\end{enumerate}
\end{document}
