Espaces vectoriels, familles libres, génératrices, bases,

dimension

C. Huyghe

1. Indiquer quelles familles de trois vecteurs sont libres dans les deux cas suivants. 1- _{1} = (1 0 1), _{2} = (0 2 2) et _{3} = (3 7 1) dans ℝ^{3}. 2- _{1} = (1 0 0), _{2} = (0 1 1) et _{3} = (1 1 1) dans ℝ^{3}.

2. Soient dans ℝ^{4} les vecteurs =_{1}= (1 2 3 4) et =_{2}= (1 2 3 4). Peut-on déterminer et pour que ( 1 1) Vect _{1} _{2} ? Et pour que ( 1 1 ) Vect _{1} _{2} ?

3. Dans ℝ^{4} on considère l’ensemble des vecteurs ( _{1} _{2} _{3} _{4}) vérifiant _{1} + 2 + _{3} + _{4} = 0. L’ensemble est-il un sous-espace vectoriel de ℝ^{4} ? Si oui, en donner une base.

4. Dans l’espace ℝ^{4}, on se donne cinq vecteurs : _{1} = (1 1 1 1), _{2} = (1 2 3 4), 3 = (3 1 4 2), _{4} = (10 4 13 7), _{5} = (1 7 8 14). À quelle(s) condition(s) un vecteur = ( _{1} _{2} _{3} _{4}) appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs _{1}, _{2}, _{3}, _{4}, _{5} ? Définir ce sous-espace par une ou des équations. Indication : on pourra commencer par chercher une base de cet espace.

5. Dans ℝ^{4}, comparer les sous-espaces et suivants :

= Vect (1 0 1 1) ( 1 2 3 1) ( 5 3 1 5)
= Vect ( 1 1 1 1) (4 1 2 4)

Indication : on pourra commencer par trouver une ou deséquations cartésiennes de .

6. Soient ℝ, et dans ℝ^{4} les vecteurs _{1} = (1 2 3 4), _{2} = (1 2 3 1 4), 3 = (3 1 4 2). Pour quelles valeurs de , les vecteurs ( _{1} _{2} _{3}) forment-ils une famille libre ?

7. Calculer le n-ième terme de la suite ( _{}) vérifiant la relation de récurrence

+2 = 3 _{+1} + 4 _{}

et telle que _{0} = _{1} = 1.

8. Soit = ℝ_{3}[ ] l’espace vectoriel des polynômes de degré 3.

1- Montrer que (1 ^{3}) est une base de et que ( ) = 4.

2- Montrer qu’il existe un unique polynôme _{}de tel que = , _{}( ) = 0 et

( ) = 1. Donner une formule pour ce polynôme sans la développer. 3- Montrer que la famille ( _{1} _{3}) est libre et que c’est une base de . 4- Soit , montrer que

( ) = _{=0}^{3} ( ) _{}

Les polynômes _{}sont appelés polynômes de Lagrange.

9. Soient 2, = ℝ_{}[ ] l’espace vectoriel des polynômes de degré . On admet que est de dimension + 1 (voir exercice précédent). Soit

= (1) = ^{}(1) = 0

1- Montrer que est un sous-espace vectoriel de , et que ( 1)^{2}ℝ_{2} [ ] = .

Dans la suite, on note = ℝ_{1}[ ]. 2- A quoi est égale la dimension de ? 3- Soit ( ) , ( ) et ( ) la quotient et le reste de la division euclidienne

de par ( 1)^{2}. Montrer que = . 4- Montrer de deux façons différentes que est de dimension 1.

10. Répondre par Vrai ou Faux aux questions suivantes. Si la réponse est Faux, alors donner un contre-exemple et donner une démonstration si la réponse est vraie. 1- Soient _{1} et _{2} deux plans d’un espace vectoriel , alors ( _{1} + _{2}) = 4. 2- Soient _{1} et _{2} deux plans distincts de ℂ^{3}. Alors ( _{1} _{2}) = 1. 3- Soit un plan de ℂ^{3}, de base _{1} et _{2}. Alors les vecteurs _{1} = \frac{_{1} _{2}}{2} et

2 = \frac{_{1}+ _{2}}{2} forment une base de . 4- Soit un -espace vectoriel de dimension , un sous-espace vectoriel

de dimension 1, une droite vectorielle de , alors = .