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%profondeur de la table des matieres.
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%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\title{Espaces vectoriels, familles libres, génératrices, bases, dimension}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
	\item  Indiquer quelles familles de trois vecteurs sont libres dans les deux cas
           suivants.
                \begin{enumerate}
				\item  $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,2,2)$ et $v_3=(3,7,1)$ dans $\Rr^3$.
				\item  $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,1,1)$ et $v_3=(1,1,1)$ dans $\Rr^3$.
				\end{enumerate}
%
    \item   Soient dans $\Rr^4$ les
		vecteurs $v=_1=(1,2,3,4)$ et $v=_2=(1,-2,3,-4)$. Peut-on
		d\'eterminer $x$ et $y$ pour que $(x,1,y,1) \in \text{Vect}\{ v_1, v_2 \}$ ? 
		Et pour que $(x,1,1,y) \in \text{Vect}\{v_1,v_2 \}$ ?
%
	\item Dans $\Rr^4$ on consid\`ere
		l'ensemble $E$ des vecteurs $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ v\'erifiant
		$x_1+x_2+x_3+x_4=0$. L'ensemble $E$ est-il un sous-espace vectoriel de
		$\Rr^4$ ? Si oui, en donner une base. 
%
	\item	Dans l'espace $\mathbb{R}^4$, on se donne cinq vecteurs~:
		$v_1=(1,1,1,1)$, $v_2=(1,2,3,4)$, $v_3=(3,1,4,2)$, $v_4=(10,4,13,7)$,
		$v_5=(1,7,8,14)$.
		À quelle(s) condition(s) un vecteur $B=(b_1,b_2,b_3,b_4)$
		appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs $v_1$, $v_2$, 
		$v_3$, $v_4$, $v_5$~? Définir ce sous-espace par une ou des équations. Indication
		: on pourra commencer par chercher une base de cet espace.
%
     \item  Dans $\mathbb{R}^4$, comparer les sous-espaces $F$ et $G$ suivants~:
		\begin{eqnarray*}
			F & = & \mbox{Vect}\{(1,0,1,1), (-1,-2,3,-1), (-5,-3,1,-5)\}\\
			G & = & \mbox{Vect}\{(-1,-1,1,-1), (4,1,2,4)\}.
		\end{eqnarray*}
     Indication : on pourra commencer par trouver une ou des équations cartésiennes de
     $F$.
%
     \item Soient $t\in \Rr$, et  dans $\Rr^4$ les
		vecteurs $v_1=(1,2t,3,4)$, $v_2=(1,-2,3t-1,-4)$, $v_3=(3,1,4,2)$. Pour quelles
		valeurs de $t$, les vecteurs $(v_1,v_2,v_3)$ forment-ils une famille libre ?
% 
     \item Calculer le n-ième terme de la suite $(u_n)$ vérifiant la relation de
		récurrence $$u_{n+2}=3u_{n+1} +4u_n,$$ et telle que $u_0=u_1=1$. 
%
     \item Soit $E = \R_3[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e $\le 3$. 
          \begin{enumerate} 
              \item Montrer que $(1,X,\ldots, X^3)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=4$. 
              \item Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_i$ de $E$ tel que 
              $\forall j\neq i$, $P_i(j)=0$ et $P_i(i)=1$. Donner une formule pour ce polynôme 
              sans la développer.
               \item Montrer que la famille $(P_1,\ldots,P_3)$ est libre et que
               c'est une base de $E$. 
               \item Soit $Q\in E$, montrer que 
                $$Q(X)=\sum_{j=0}^3 Q(j) P_j.$$
             
         Les polynômes $P_j$ sont appelés polynômes de Lagrange.
            \end{enumerate}
%
      \item Soient $n\geq 2$, $E = \R_n[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e $\le n$. On
      admet que $E$ est de dimension $n+1$ (voir exercice précédent).
              Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$ 
              \begin{enumerate}\item Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$,
              et que $(X-1)^2 \R_{n-2}[X]= F$. Dans la suite, on note $H=\R_{1}[X]$.
               \item A quoi est égale la dimension de $H$ ?
               \item  Soit $Q(X)\in E$, $R(X)$ et $T(X)$ la quotient et le reste de la
               division euclidienne de $Q$ par $(X-1)^2$. Montrer que $E=F\bigoplus H$.
                \item Montrer de deux façons différentes que $F$ est de dimension $n-1$.
             \end{enumerate}
%
      \item Répondre par Vrai ou Faux aux questions suivantes. Si la réponse est Faux, alors donner un contre-exemple 
et donner une démonstration si la réponse est vraie.
              \begin{enumerate}
                 \item Soient $P_1$ et $P_2$ deux plans d'un espace vectoriel $E$, alors $dim(P_1+P_2)=4$.
                 \item Soient $P_1$ et $P_2$ deux plans distincts de $\Cc^3$. Alors $dim (P_1 \bigcap P_2)=1$.
                 \item Soit $P$ un plan de $\Cc^3$, de base $u_1$ et $u_2$. Alors les vecteurs $v_1=\frac{u_1-u_2}{2}$
                 et $v_2=\frac{u_1+u_2}{2}$ forment une base de $P$.
                 \item Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$, $H\subset E$ un sous-espace vectoriel de
                 dimension $n-1$, $D$ une droite vectorielle de $E$, alors $E=H \bigoplus D$. 
              \end{enumerate}
                  
\end{enumerate}
\end{document}
