Applications linéaires

C. Huyghe

1. Déterminer si les applications f_{i} suivantes sont linéaires :

\begin{matrix}f_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{3} & f_{2}(x, y, z) = (xy, x, y) \\ f_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{3} & f_{3}(x, y, z) = (2x + y + z, y − z, x + y) \\ f_{3} : ℝ^{2} → ℝ^{4} & f_{4}(x, y) = (y, 0, x − 7y, x + y) \\ f_{4} : ℝ_{3}[X] → ℝ^{3} & f_{5}(P) = (P (−1), P (0), P (1)) \end{matrix}

2. Soient f et g, applications de ℂ dans ℂ, définies par f(z) = z̄ et g(z) = Re(z). Montrer que f et g sont linéaires sur ℂ en tant que ℝ-e.v., et non linéaires sur ℂ en tant que ℂ-e.v.

3. Soit E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même telle que f^{n} = 0 et f^{n−1} ≠ 0. Soit x ∈ E tel que f^{n−1}(x) ≠ 0. Montrer que la famille {x, f(x), f^{2}(x), …, f^{n−1}(x)} est une base de E.

4. Montrer que

f ↦ ∫_{0}^{1} f(t)dt

est une forme linéaire sur C^{∞}(ℝ)

5. Soit E un espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, la famille (x, f(x))

est liée.

1- Montrer que si x ≠ 0, il existe un unique scalaire λ_{x} tel que f(x) = λ_{x}x. 2- Comparer λ_{x} et λ_{y} lorsque (x, y) est libre. 3- Montrer que f est une homothétie.

6. 1- Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de ℝ^{3} dans ℝ^{2} vérifiant f((1, 0, 0)) = (1, 1) puis f((0, 1, 0)) = (0, 1) et f((0, 0, 1)) = (−1, 1). Calculer f((3, −1, 4)) et f((x, y, z)) en général.

2- Déterminer Kerf. En fournir une base. Donner un supplémentaire de Kerf

dans ℝ^{3} et vérifier qu’il est isomorphe à Imf. 3- Montrer que 3 = dim(Kerf) + dim(Im(f)).

7. 1- Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de ℝ^{3} dans ℝ^{3} vérifiant f((1, 0, 0)) = (1, 1, 0) puis f((0, 1, 0)) = (3, 1, 0) et f((0, 0, 1)) = (0, −2, 0). Calculer f((x, y, z)) en général.

2- Donner une base de Kerf.

3- Donner une base de Imf. 4- Montrer que 3 = dim(Kerf) + dim(Im(f)).

8. Refaire l’exercice précédent avec f : de ℝ^{3} dans ℝ^{3} vérifiant f((1, 0, 0)) = (1, 2, 0) puis f((0, 3, 4)) = (5, 6, 0).

9. 1- Donner une base de ℂ comme ℂ-espace vectoriel, puis comme ℝ-espace vec-

toriel. 2- Montrer que tout endomorphisme de ℂ comme ℂ-espace vectoriel peut se

mettre sous la forme : f(z) = λz, avec λ ∈ ℂ. 3- Désormais, on considère ℂ comme ℝ-espace vectoriel.

i. Soient a, b ∈ ℂ. Montrer que l’application : z ↦ az + b\overline{z} est ℝ-linéaire. ii. Montrer que tout endomorphisme de ℂ peut se mettre sous la forme :

f(z) = az + b\overline{z}, avec a, b ∈ ℂ. (Indication : on pourra procéder par analyse/synthèse en supposant d’abord que la propriété à démontrer est vraie, afin de calculer a et b et ensuite en la démontrant).

iii. CNS sur a et b pour que f soit bijectif ?

10. Soient P = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; 2x + y − z = 0} et D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; 2x − 2y + z = 0, x − y − z = 0}. On désigne par (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3}.

1- Soit p la projection de ℝ^{3} sur P parallélement à D. Calculer p(u) où u a pour

coordonnées (x, y, z). 2- Soit s la symétrie par rapport à P parallélement à D. Calculer s(u) où u a

pour coordonnées (x, y, z).

11. Soient E = ℝ_{5}[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 5, et F = ℝ_{2}[X],

A(X) un polynôme de degré 3 de E.

1- Montrer que (1, X, …, X^{5}) est une base de E et que dim(E) = 6. Montrer

que F est un sous-espace vectoriel de dimension 3. 2- Pour P ∈ E, on pose Q(X) et R(X) le quotient de la division euclidienne

de P par A. Les polynômes Q et R sont donc uniquement déterminés par deg(R) < 3 et

P (X) = A(X)Q(X) + R(X).

Soit f l’application : P ↦ R. Montrer que f est linéaire et est un projecteur : E → F. Déterminer Ker(f) et Im(f). Vérifier que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans E. Donner une base de E provenant d’une base de Ker(f) et de Im(f).

12. Soient E un K-espace vectoriel, f ∈ L(E) tel que f^{4} − 3f + 2Id = 0. Montrer que f est un isomorphisme.

13. Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f^{2} = Id. On pose F = Ker(f − Id) et G = Ker(f + Id).

1- Montrer que E = F ⨁ G. 2- Soit x = y + z, décomposé suivant la somme directe précédente. Montrer que

∀x ∈ E, f(x) = y − z. On dit que f est une symétrie vectorielle.

14. Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f^{2} = f. On pose F =

Ker(f − Id) et G = Ker(f).

1- Montrer que E = F ⨁ G. 2- Soit x = y + z, décomposé suivant la somme directe précédente. Montrer que

∀x ∈ E, f(x) = y. On dit que f est la projection sur F parallèlement à G.