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%profondeur de la table des matieres.
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%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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\sloppy
\begin{document}
%
\title{Applications linéaires}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
    \item D\'eterminer si les applications $f_{i}$ suivantes sont lin\'eaires :
		$$\begin{array}{rl}
		f_2 : \Rr^3 \to \Rr^3 & f_2(x,y,z)=(xy,x,y) \\
		f_2 : \Rr^3 \to \Rr^3 & f_3(x,y,z)=(2x+y+z,y-z,x+y) \\
		f_3 : \Rr^2 \to \Rr^4 & f_4(x,y)=(y,0,x-7y,x+y) \\
		f_4 : \Rr_3[X] \to \Rr^3 & f_5(P) = \big( P(-1), P(0), P(1) \big) \\
		\end{array}
		$$
	\item Soient $f$ et $g$, applications de ${ \Cc}$ dans ${ \Cc}$, d\'efinies par
		$f(z)=\bar{z}$ et $g(z)=\Re (z)$. Montrer que $f$ et $g$ sont lin\'eaires sur ${ \Cc}$ en tant
		que ${ \Rr}$-e.v., et non lin\'eaires sur ${ \Cc}$ en tant que ${ \Cc}$-e.v. 
     \item Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et
		$f $  une application lin\'eaire de  $E$  dans lui-m\^eme telle que  $f ^n=0$  et
		$f ^{n-1}\not = 0$.
		Soit  $x\in E$  tel que  $f ^{n-1}(x )\not = 0$. Montrer que la
		famille  $\{ x,f(x),f^2(x), \ldots ,f ^{n-1}(x)\} $  est une base de $E$.
     \item Montrer que $$		f \mapsto \int_0^1{f(t) dt} $$ est une forme
		lin\'eaire sur $C^\infty(\R)$
     \item Soit $E$ un espace vectoriel et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout
		$x \in E$, la famille $\bigl(x, f(x)\bigr)$ est liée.
		\begin{enumerate}
		  \item Montrer que si $x \ne  0$, il existe un unique scalaire
			$\lambda_{x}$ tel que $f(x) = \lambda_{x}x$.
		  \item Comparer $\lambda_{x}$ et $\lambda_{y}$ lorsque
			$(x, y)$ est libre.
		  \item Montrer que $f$ est une homothétie.
		\end{enumerate}
     \item \begin{enumerate}
				\item  Vérifier qu'il existe une unique application linéaire de $\Rr^3$ dans $\Rr^2$ vérifiant  $f((1,0,0))=(1,1)$
				puis $f((0,1,0))=(0,1)$ et $f((0,0,1))=(-1,1)$. Calculer $f((3,-1,4))$ et $f((x,y,z))$ en général.
				\item  Déterminer $\mbox{Ker}f$. En fournir une base. Donner un supplémentaire de $\mbox{Ker}f$ dans $\Rr^3$ et
				vérifier qu'il est isomorphe à $\mbox{Im}f$.
                \item Montrer que $3=dim(Kerf)+dim(Im(f)).$
		     \end{enumerate}
     \item \begin{enumerate}
				\item  Vérifier qu'il existe une unique application linéaire de $\Rr^3$
                                                     dans $\Rr^3$ vérifiant $f((1,0,0))=(1,1,0)$
				puis $f((0,1,0))=(3,1,0)$ et $f((0,0,1))=(0,-2,0)$. Calculer $f((x,y,z))$ en général.
                \item Donner une base de $Kerf$.
                \item Donner une base de $Imf$.
                \item Montrer que $3=dim(Kerf)+dim(Im(f)).$
            \end{enumerate}
      \item Refaire l'exercice précédent avec $f$ : de $\Rr^3$ dans $\Rr^3$ vérifiant 
               $f((1,0,0))=(1,2,0)$	puis $f((0,3,4))=(5,6,0)$.
     \item
				\begin{enumerate}
				  \item Donner une base de $\C$ comme $\C$-espace vectoriel, puis comme
                  $\R$-espace vectoriel.
                  \item Montrer que tout endomorphisme de $\C$ comme $\C$-espace vectoriel 
                   peut se mettre sous la forme : $f(z) = \lambda z$, avec $\lambda \in
				\C$.
				  \item Désormais, on considère $\C$ comme $\R$-espace vectoriel. 
                       \begin{enumerate}
                        \item Soient $a,b \in \C$. Montrer que l'application : 
                   $ z \mapsto az + b\overline{z}$ est $\R$-linéaire.
                        \item 
						   Montrer que tout endomorphisme de $\C$ peut se mettre sous la forme :
							$f(z) = az + b\overline{z}$, avec $a,b \in \C$. (Indication: on pourra
						procéder par analyse/synthèse en supposant d'abord que la propriété à démontrer est vraie,
						afin de calculer $a$ et $b$ et ensuite en la démontrant).
						  \item CNS sur $a$ et $b$ pour que $f$ soit bijectif ?
                       \end{enumerate}
				\end{enumerate}
     \item
						Soient $ P=\{ (x, y, z)\in \R ^3  ;  2x+y-z=0\}  $
				et $ D=\{ (x, y, z)\in \R ^3  ;  2x-2y+z=0 ,  x-y-z=0\}.$
				 On  d\'esigne par $ (e_1,e_2,e_3)  $ la base canonique de $ \R ^3 .$
				\vskip1mm
				\begin{enumerate}
					\item Soit $ p $ la projection de $ \R ^3 $ sur $ P $
				parall\'element \`a $ D .$ Calculer $p(u)$ où $u$ a pour coordonnées 
                $(x,y,z)$.
                    \item Soit $s$ la symétrie par rapport à $ P $ parall\'element \`a $
                     D$. Calculer $s(u)$ où $u$ a pour coordonnées 
                $(x,y,z)$.
                 \end{enumerate}
     \item Soient $E = \R_5[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e $\le 5$, 
           et $F = \R_2[X]$, $A(X)$ un polynôme de degré $3$ de $E$. 
          \begin{enumerate} 
              \item Montrer que $(1,X,\ldots, X^5)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=6$.
               Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension $3$.
              \item Pour $P\in E$, on pose $Q(X)$ et $R(X)$ le quotient de la division 
              euclidienne de $P$ par $A$. Les polynômes $Q$ et $R$ sont donc uniquement 
              déterminés par $deg(R)<3$ et $$P(X)=A(X)Q(X)+R(X).$$ Soit $f$ l'application 
              : $P \mapsto R$. Montrer que $f$ est linéaire et est un projecteur :
              $E\rightarrow F$. Déterminer 
              $Ker(f)$ et $Im(f)$. Vérifier que $Ker(f)$ et $Im(f)$ sont supplémentaires
              dans $E$. Donner une base de $E$ provenant d'une base de $Ker(f)$ et de
              $Im(f)$.
          \end{enumerate} 
            \item Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $f\in {\cal L}(E)$ tel que $f^4-3f+2Id=0$. Montrer que $f$ est un isomorphisme.
%
		\item Soit $E$ un $K$-espace vectoriel, $F$, $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$
				tels que $E=F \bigoplus G$. Soit $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$. 
				Montrer que $q=Id-p$ est un projecteur. A quoi est égal $Ker(q)$ et $Im(q)$ ?
%
          \item Soit $E$ un $K$-espace vectoriel et $p$ un projecteur. Montrer que 
                  $$ Im(p)=Ker(p-Id)           , $$ puis que 
                   $$ E = Ker(p) \bigoplus Ker(p-Id).$$
%
            \item Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $f\in {\cal L}(E)$ tel que $f^2=Id$. On pose 
                      $F=Ker(f-Id)$ et $G=Ker(f+Id)$.
                           \begin{enumerate}
								\item Montrer que $F=\{x\,| \, f(x)=x\}$ et que $G=\{x\,|\, f(x)=-x\}$.
								\item Soit $$p=\frac{1}{2}(f+Id).$$ Montrer que $p$ est un projecteur.

                           \item En déduire que $E=F \bigoplus G$.
                           \item Soit $x=y+z$, décomposé suivant la somme directe précédente. Montrer que 
                               $\forall x\in E,\, f(x)=y-z$. On dit que $f$ est une symétrie vectorielle.
					   \item Soit $E=\Rr^3$, ${\cal B}=(u,v,w)$ une base de $\Rr^3$. Soit $P=Vect(u,v)$
							   et $D=Vect(w)$. On définit une application linéaire $f$ : $\Rr^3 \rightarrow \Rr^3$
							   par $f(u)=u,f(v)=v,f(w)=-w$. Montrer que $f^2=Id$, donc que $f$ est une symétrie 
							   vectorielle et donner la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}$.
                            \end{enumerate}
                        
%
         \item Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $f\in {\cal L}(E)$ tel que $f^2=f$. On pose 
                      $F=Ker(f-Id)$ et $G=Ker(f)$.
                           \begin{enumerate}
						                           \item Montrer que $E=F \bigoplus G$.
                           \item Soit $x=y+z$, décomposé suivant la somme directe précédente. Montrer que 
                               $\forall x\in E,\, f(x)=y$.
                            \end{enumerate}
                        On dit que $f$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$.
               
\end{enumerate}
\end{document}
