Applications linéaires ; théorème du rang, matrices

C. Huyghe

1. Déterminer la dimension du noyau et de l’image de l’application linéaire : ℝ^{4} ℝ^{4}, dont la matrice dans la base canonique est :

; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

2. Déterminer, suivant la valeur du paramètre , quand l’application : ℂ^{3} ℂ^{3}, dont la matrice dans la base canonique de ℂ^{3} est donnée égale à ci-dessous, est injective ou surjective.

= ; ; ; \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \end{matrix} ; ; ;

3. Soit un espace vectoriel de dimension et une application linéaire de dans lui-même. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :

(i) ker = Im (ii) ^{2} = 0 et = 2 rg( ). En déduire que est de dimension paire.

4. Reprendre l’exercice précédent avec = 4. Montrer que dans la situation (i), il existe une base de ℝ^{4} dans laquelle la matrice de est

; ; ; ; ; ; \begin{matrix}0 & 0 & & \\ 0 & 0 & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

les symboles désignant des nombres réels quelconques. Que peut-on dire du rang de la matrice carrée en haut à droite de taille 2 2 ?

5. Donner des exemples d’applications linéaires de ℝ^{2} dans ℝ^{2} vérifiant : 1- Ker( ) = Im( ) 2- Ker( ) inclus strictement dans Im( ) 3- Im( ) inclus strictement dans Ker( )

On pourra donner leur matrice.

6. Donner des exemples d’applications linéaires de ℝ^{3} dans ℝ^{3} vérifiant : 1- Ker( ) = 0 et est inclus strictement dans Im( ) 2- Im( ) = 0 et est inclus strictement dans Ker( ) On pourra donner leur matrice.

7. Soit = ℝ^{3}, dont on note les coordonnées ( ) et la base canonique ( _{1} _{2} _{3}). Soit le sous-espace vectoriel d’équation + 2 = 0. Soit la droite vectorielle de vecteur directeur _{1} + _{2} + _{3}. 1- Montrer que = . 2- Donner une base de et de : la réunion de ces deux bases forme une base

notée de . Donner la matrice de changement de base entre cette base et la base canonique de .

3- Calculer ^{1} . Donner la matrice de la projection (resp. de la symétrie )

dans la base puis dans la base canonique de .

8. Soit = ℝ^{3}. On munit de la base canonique. On considère _{1} = _{1} 2 _{2}, 2 = _{2} + _{1} 3 _{3}, _{3} = 2 _{1} + _{2}. 1- Montrer que ( _{1} _{2} _{3}) forment une base . 2- Soit l’endomorphisme de dont la matrice dans la base est donnée par

= ; ; ; \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \end{matrix} ; ; ;

où ℝ. Calculer la matrice de dans la base canonique de .

9. Reprendre l’exercice 11 de la feuille précédente. Donner une base de = ℝ_{5}[ ], dans laquelle le projecteur décrit à la dernière question de l’exercice a pour matrice une matrice diagonale, ne comportant que des 1 et des 0.

10. Soient = ℂ^{2}. On munit de la base canonique ( _{1} _{2}). Soit ( ) dont la matrice dans la base canonique est donnée par

= \begin{matrix}1 5 & 2 5 \\ 12 5 & 1 5 \end{matrix}

1- Montrer que est une symétrie vectorielle. Préciser la direction de cette symétrie, correspondant aux vecteurs tels que ( ) = , en donnant une base _{1} de ce sous-espace vectoriel, et la droite des invariants de cette symétrie correspondant aux vecteurs tels que ( ) = , en donnant une base _{2} de cette droite.

2- Donner la matrice ^{}de cette symétrie dans la base ( _{1} _{2}). Calculer ^{}.