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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
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%*********************commandes****************************
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%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
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\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}

%----- Fonctions usuelles -----
\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
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%
%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\title{Applications linéaires ; théorème du rang, matrices}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
	 \item Déterminer la dimension du noyau et de l'image de l'application linéaire
		    $f$ : $\Rr^4 \rightarrow \Rr^4$, dont la matrice dans la base canonique est : 
	        $$\left[\begin{array}{cccc} 1& 2 & 0 & 3 \\   
										 2 & 2 &  -1& 5   \\
										  -1 & -1& 1  & -3   \\
										  1 & 3 & 1  & 3   \end{array}\right].$$
    \item Déterminer, suivant la valeur du paramètre $t$, quand l'application 
		$f$ : $\Cc^3 \rightarrow \Cc^3$, dont la matrice dans la base canonique de 
		$\Cc^3$ est donnée égale à $A$ ci-dessous, est injective ou surjective.
		$$A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1  \\   
										 1 & -1 &  0 \\
										  0 & 0 &  t    \end{array}\right] .$$
    \item Soit $E$  un espace vectoriel de dimension  $n$
		et $f$ une application lin\' eaire de  $E$  dans lui-m\^eme.
		Montrer que les deux assertions qui suivent sont \' equivalentes :
		\begin{enumerate}
		\item[(i)] $\ker f = \Im f$
		\item[(ii)] $f^2=0 \ \text{ et } \  n=2\cdot \text{rg}(f)$. En déduire que 
        $E$ est de dimension paire. 
        \end{enumerate}
     \item Reprendre l'exercice précédent avec $n=4$. Montrer que dans la situation 
     (i), il existe une base de  $\Rr^4$ dans laquelle la
     matrice de $f$ est 
     $$\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & * & * \\   
                                 0 & 0 &  *& *   \\
                                  0 & 0 &  0 & 0   \\
                                  0 & 0 &  0 & 0    \end{array}\right], $$
     les symboles $*$ désignant des nombres réels quelconques. Que peut-on dire du rang de la matrice carrée en haut à droite
de taille $2x2$ ?
    \item Donner des exemples d'applications lin\'{e}aires de $\Rr^{2}$ dans $\Rr^{2}$
		v\'{e}rifiant :
		\begin{enumerate}
		\item  $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f)=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f).$
		\item $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f)$ inclus strictement dans $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f).$
		\item $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f)$ inclus strictement dans $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f).$
		\end{enumerate}
       On pourra donner leur matrice.
     \item Donner des exemples d'applications lin\'{e}aires de $\Rr^{3}$ dans $\Rr^{3}$
		v\'{e}rifiant :
		\begin{enumerate}
		\item $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f)\neq \{0\}$ et est inclus strictement dans $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f).$
		\item $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f)\neq \{0\}$ et est inclus strictement dans $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f).$
		\end{enumerate}
       On pourra donner leur matrice.
     \item Soit $E=\Rr^3$, dont on note les coordonnées $(x,y,z)$ et la base canonique 
        $(e_1,e_2,e_3)$. Soit $F$ le sous-espace
		vectoriel d'équation $x+2y-z=0$. Soit $D$ la droite vectorielle de vecteur
       directeur $e_1+e_2+e_3$. 
         \begin{enumerate} \item Montrer que $E=F\bigoplus D$.
                           \item Donner une base de $F$ et de $G$ : la réunion de ces deux
             bases forme une base notée ${\cal B}$ de $E$. Donner la matrice de
		          changement de base $P$ entre cette base et la base canonique de $E$.
                           \item Calculer $P^{-1}$. Donner la matrice de la projection $p$ 
             (resp. de la symétrie $s$) dans la base ${\cal B}$ puis dans la base
          canonique de $E$.
         \end{enumerate}
      \item Soit $E=\Rr^3$. On munit $E$ de la base canonique. On considère 
       $f_1=e_1-2e_2$, $f_2=e_2+e_1-3e_3$, $f_3=2e_1+e_2$. 
         \begin{enumerate}\item Montrer que $(f_1,f_2,f_3)$ forment une base ${\cal B}$.
                          \item Soit $u$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans 
            la base ${\cal B}$ est donnée par 
          $$A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0  \\   
										 1 & 0 &  0 \\
										  0 & 0 &  t    \end{array}\right] ,$$
           où $t\in \Rr$. Calculer la matrice de $u$ dans la base canonique de $E$. 
         \end{enumerate}
        \item Reprendre l'exercice 11 de la feuille précédente. Donner une base de $E =
		\R_5[X]$, dans laquelle le projecteur décrit à la dernière question de l'exercice a pour
		matrice une matrice diagonale, ne comportant que des $1$ et des $0$.
        \item Soient $E=\Cc^2$. On munit $E$ de la base canonique $(e_1,e_2)$. Soit
		$f\in{\cal L}(E)$ dont la matrice dans la base canonique est donnée par 
                    $$A=\left[\begin{array}{cc} 1/5 & -2/5 \\
                                 -12/5 & -1/5 
                        \end{array}\right] .$$
             \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une symétrie vectorielle. Préciser la
		direction de cette symétrie, correspondant aux vecteurs tels que $f(u)=-u$, en
         donnant une base $f_1$ de ce sous-espace vectoriel, et la droite 
        des invariants de cette symétrie correspondant aux vecteurs tels que $f(u)=u$, en
        donnant une base $f_2$ de cette droite.
          \item Donner la matrice $A'$ de cette symétrie dans la base $(f_1,f_2)$.
          Calculer $A^n$.
             \end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
