Rang des matrices

C. Huyghe

1. Soit = ( _{1} _{2} _{3}) la base canonique de ℝ^{3} et l’endomorphisme dont la matrice dans cette base est

= ; ; ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ;

Chercher le noyau et l’image de . Calculer son rang de deux manières. Calculer la matrice de ^{2} dans la base . Montrer que ^{2} 3 = 0.

2. Soit l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique ( ) de ℝ^{3} est :

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ; ; ;

1- Déterminer (2 3 + 5 ). 2- Déterminer Ker et Im . 3- Calculer ^{2} et ^{3}. 4- Déterminer Ker ^{2} et Im ^{2}. 5- Calculer ( )( + + ^{2}) et en déduire que est inversible.

Préciser ( )^{1} .

3. Déterminer le rang des matrices suivantes :

\begin{matrix}1) ; ; ; \begin{matrix}1 & 1 2 & 1 3 \\ 1 2 & 1 3 & 1 4 \\ 1 3 & 1 4 & \end{matrix} ; ; ; & 2) ; ; ; \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ + & + & + \\ & & \end{matrix} ; ; ; & 3) ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 & & 1 & \\ & 1 & & 1 \\ 1 & & 1 & \\ & 1 & & 1 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; & 4) ( + + )_{1} \\ 5) (sin( + ))_{1} & 6) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; \begin{matrix} & & 0 & & 0 \\ 0 & & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & & ... & ... & \\ & 0 & & 0 & \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; \end{matrix}