\documentclass[11pt]{article}
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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
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%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\title{Rang des matrices}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
   \item
		  Soit  $e = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et $u$
		l'endomorphisme dont la matrice dans cette base est 
		$$ M = \left( 
			   \begin{array}{ccc}
				1 & 1 & 1 \\
				1 & 1 & 1 \\
				1 & 1 & 1
			   \end{array}
			   \right).$$
		Chercher le noyau et l'image de $u$. Calculer son rang de deux
		mani\`eres. Calculer la matrice de $u^2$ dans la base $e$.
		Montrer que $u^2-3u=0$. 
%
     \item
			Soit $u$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique $(i,j,k)$ de $\Rr^3$ est~:

		$$M=\left(
		\begin{array}{ccc}
		2&1&0\\
		-3&-1&1\\
		1&0&-1
		\end{array}
		\right)
		.$$

		\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $u(2i-3j+5k)$.
		\item  Déterminer $\mbox{Ker}u$ et $\mbox{Im}u$.
		\item  Calculer $M^2$ et $M^3$.
		\item  Déterminer $\mbox{Ker}u^2$ et $\mbox{Im}u^2$.
		\item  Calculer $(I-M)(I+M+M^2)$ et en déduire que $I-M$ est inversible. Préciser $(I-M)^{-1}$.
		\end{enumerate}
%
     \item 
           Déterminer le rang des matrices suivantes~:

		$$\begin{array}{llll}
		1)
		\left(
		\begin{array}{ccc}
		1&1/2&1/3\\
		1/2&1/3&1/4\\
		1/3&1/4&m
		\end{array}
		\right)
		&
		2)\left(
		\begin{array}{ccc}
		1&1&1\\
		b+c&c+a&a+b\\
		bc&ca&ab
		\end{array}
		\right)
		&
		3)\left(
		\begin{array}{cccc}
		1&a&1&b\\
		a&1&b&1\\
		1&b&1&a\\
		b&1&a&1
		\end{array}
		\right)
		&
		4)\;(i+j+ij)_{1\leq i,j\leq n}\\
		5)\;(\sin(i+j))_{1\leq i,j\leq n}
		&
		6)\;
		\left(
		\begin{array}{ccccc}
		a&b&0&\ldots&0\\
		0&a&\ddots&\ddots&\vdots\\
		\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
		0& &\ddots&\ddots&b\\
		b&0&\ldots&0&a
		\end{array}
		\right).
		\end{array}
		$$

\end{enumerate}
\end{document}
