Changements de base

C. Huyghe

1. Soient = ℝ^{3} dont les coordonnées des vecteurs dans la base canonique sont notées ( ). Soit la plan d’équation : + 2 = 0 1- Déterminer une base de . 2- Soit la droite vectorielle dirigée par le vecteur de coordonnés (1 1 2).

Montrer que = . 3- Soient _{1} le projecteur sur parallèlement à et _{2} le projecteur sur

parallèlement à . Montrer que = _{1} + _{2}. 4- En appliquant la méthode du cours, qui consiste à écrire la matrice _{1} de

1 (resp. _{2} _{2}) dans une base adaptée à la décomposition = , et à faire un changement de base, calculer les matrices _{1} et _{2} de _{1} et _{2} respectivement dans la base canonique. Vérifier que = _{1} + _{2}.

2. Soit = ^{}, et une matrice de , dont seuls les termes diagonaux sont non nuls. On note = ( _{1} _{}) où _{}. On suppose que _{}0 1 . Soit une matrice de _{}( ) semblable à et _{}l’application linéaire associée. Montrer que _{}est un projecteur si et seulement si _{}0 1 pour tout .

3. Soit = ℝ^{3}, ( ). Pour ℝ, on note _{}= ( ) _{1} _{2} _{3} des vecteurs non nuls de _{1} _{2} _{3}. 1- Montrer que ( _{1} _{2} _{3}) forment une base de . 2- Ecrire la matrice de dans cette base et calculer ^{}.

4. Soit la matrice suivante

= \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}

1- Soit  ℂ. Déterminer pour quelles valeurs de , _{}= (  ) est

non nul. 2- Déduire de la question précédente qu’il existe une matrice inversible telle

que

1 = \begin{matrix} & 0 \\ 0 & \end{matrix}

5. Soient un corps, un -espace vectoriel de dimension finie dont on fixe une

base B,  ( ). Soient _{1}  _{}scalaires de distincts tels que si est la

matrice de dans la base on ait

= ; ; ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}_{1} & & & & \\ 0 & _{2} & & & \\ 0 & 0 & & & \\ 0 & 0 & & _{1} & \\ 0 & 0 & & 0 & _{} \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ; ;

1- Pour  , on note _{}= (  ). Calculer la dimension de _{}si

= _{}. 2- On suppose que = _{}, montrer que ( _{_{}}) = 1. Soit _{}un vecteur non

nul de _{_{}}. Que vaut ( _{}) en fonction de _{}? 3- Montrer que _{1} _{}forment une base de ^{}. 4- Montrer que est semblable à une matrice diagonale dont les termes diago-

naux sont ( _{1} _{}).

6. Soient un corps, la matrice colonne (1 0 0), et

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & & 1 \\ 0 & 0 & \end{matrix} ; ; ;

Discuter le rang de suivant les valeurs de . Soit non nul tel que = . 1- Montrer que est semblable à une matrice du type :

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 0 & \\ 0 & & \\ 0 & 0 & \end{matrix} ; ; ;

où * est un scalaire quelconque de . 2- Soit deux matrices colonnes de _{3 1}( ). Quelles sont les solutions de

l’équation = + ? 3- Montrer que est semblable à

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & & 1 \\ 0 & 0 & \end{matrix} ; ; ;

4- Calculer ^{}, et en déduire ^{}pour tout .

7. Soit = _{}[ ] le -espace vectoriel des polynômes de degré .

1- Soit définie par ( ) = ( + 1) ^{}( ). Montrer que ( ), et donner une base de ( ).

2- Ecrire la matrice de dans la base 1  ^{}. Soit _{}= (  ).

Pour quelles valeurs de a-t-on _{}= 0 ? 3- Montrer que 1 ( + 1) ( + 1)^{}forment une base de et écrire la ma-

trice de dans cette base.

8. Soient un corps, un -espace vectoriel,  ( ), tels que  =  .
1- Monter que  et  stables par , i.e. ( )  et ( )  .
2- Soient  et _{}= (  ). Montrer que _{}est stable par .

9. Soit un corps et = _{2}( ). Pour , on considère l’application _{}: définie par _{}( ) = . On munit de sa base canonique des matrices élémentaires _{}pour 1 2 : ( _{1 1} _{2 1} _{1 2} _{2 2}). 1- Quelle est la matrice _{}de _{}dans cette base ? 2- On suppose que est semblable à B. Montrer que _{}et _{}sont semblables.

10. Montrer que les matrices suivantes ne sont pas semblables.

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ; ; ; = ; ; ; \begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ; ; ; = ; ; ; \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 5 & 1 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ; ; ;