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%profondeur de la table des matieres.
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%*********************commandes****************************
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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%
\sloppy
\begin{document}
%
\title{Changements de base}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
		\item Soient $E=\Rr^3$ dont les coordonnées des vecteurs dans la base canonique sont
			notées $(x,y,z)$. Soit $P$ la plan d'équation : $x+2y-z=0$
				\begin{enumerate}
				\item Déterminer une base de $P$.
				\item Soit $D$ la droite vectorielle dirigée par le vecteur de coordonnés $(1,-1,2)$.
				Montrer que $E=P\bigoplus D$.
				\item Soient $p_1$ le projecteur sur $P$ parallèlement à $D$ et $p_2$ le projecteur sur $D$
				parallèlement à $P$. Montrer que $Id=p_1+p_2$.
				\item En appliquant la méthode du cours, qui consiste à écrire la matrice
               $ B_1 $ de $p_1$ (resp. $ B_2 $
				$p_2$) dans une base adaptée à la décomposition $E=P\bigoplus D$, et à faire un changement
				de base, calculer les matrices $A_1$ et $A_2$ de $p_1$ et $p_2$
                respectivement dans la base canonique. Vérifier
				que $Id=A_1 + A_2$.
				\end{enumerate}
   \item Soit $E=K^n$, et $D$ une matrice de $E$, dont seuls les termes diagonaux sont non nuls. 
   On note $D=diag(d_1,\ldots,d_n)$ où $d_i\in K$. On suppose que $d_i\in\{0,1\}$. Soit $A$ une matrice 
 de $M_n(K)$ semblable à $D$ et $f_A$ l'application linéaire associée. Montrer que $f_A$ est un projecteur 
si et seulement si $d_i\in\{0,1\}$ pour tout $i$.
%
   \item Soit $E=\Rr^3$, $u\in \cal L(E)$. Pour $\lambda\in \Rr$, on note $E_{\lambda}=Ker(u-\lambda Id)$
           $e_1,e_2,e_3$ des vecteurs non nuls de $E_1,E_2,E_3$.
          \begin{enumerate}
                \item Montrer que $(e_1,e_2,e_3)$ forment une base de $E$.
                \item Ecrire la matrice $A$ de $u$ dans cette base et calculer $A^n$.
          \end{enumerate}
%
   \item Soit $A$ la matrice suivante 
          $$ A = \left[
			   \begin{array}{cc}
                      0 & 1 \\
                      -1 & 0 
               \end{array}\right].$$
             \begin{enumerate}\item Soit $\lambda\in \Cc$. Déterminer pour quelles valeurs de $\lambda$, 
                   $E_{\lambda}=Ker(A-\lambda Id)$ est non nul.
                \item Déduire de la question précédente qu'il existe une matrice inversible $P$ 
                       telle que $$P^{-1} A P=\left[
			   \begin{array}{cc}
                      i & 0 \\
                      0 & -i
               \end{array}\right].$$
              \end{enumerate}
						   
		
     \item Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie dont on
						fixe une base {\cal B}, $f\in {\cal
						L}(E)$. 
                        Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ $n$ scalaires de $K$ distincts tels que 
						si $A$ est la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}$ on ait 
						 $$ A = \left[
							   \begin{array}{ccccc} \lambda_1 & . & \ldots & . & . \\
													 0 & \lambda_2 & . & \ldots & . \\
													  0 & 0 & \ldots & \ldots & . \\
													  0 & 0 & \ldots & \lambda_{n-1} & . \\
													   0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda_{n}
								\end{array} \right].$$
                           \begin{enumerate}
                                 \item Pour $\lambda\in K$, on note  $E_{\lambda}=Ker(A-\lambda Id)$. Calculer la dimension de 
                                    $E_{\lambda}$ si $\lambda \neq \lambda_i$. 
                                  \item On suppose que $\lambda=\lambda_i$, montrer que $dim(E_{\lambda_i})=1$. Soit 
                                    $u_i$ un vecteur non nul de $E_{\lambda_i}$. Que vaut $A(u_i)$ en fonction de $u_i$
?
                                  \item Montrer que $u_1,\ldots u_n$ forment une base de $K^n$.
                                  \item Montrer que $A$ est semblable à une matrice diagonale dont les termes diagonaux 
                                  sont $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.
                           \end{enumerate}
     \item Soient $K$ un corps, $T$ la matrice colonne $(1,0,0)$,  $\lambda\in K$ et 
            $$ A = \left[
			   \begin{array}{ccc}
                      2 & 1 & -1 \\
                      0 & \lambda & 1 \\
                       0 & 0 & \lambda
               \end{array}\right].$$
            Discuter le rang de $A-\alpha Id$ suivant les valeurs de $\alpha$. Soit $Y$ non nul 
                       tel que $AY=\lambda Y$. 
             \begin{enumerate}\item Montrer que $A$ est semblable à une matrice du type: 
                      $$ B = \left[
			   \begin{array}{ccc}
                      2 & 0 & * \\
                      0 & \lambda & *  \\
                       0 & 0 & \lambda
               \end{array}\right],$$ où * est un scalaire quelconque de $K$.
              \item Soit $Z$ deux matrices colonnes de $M_{3,1}(K)$. Quelles sont les solutions de l'équation
                        $AZ=Y+\lambda Z$ ?
               \item  Montrer que $A$ est semblable à 
                      $$ B = \left[
			   \begin{array}{ccc}
                      2 & 0 & 0 \\
                      0 & \lambda & 1  \\
                       0 & 0 & \lambda
               \end{array}\right].$$
               \item Calculer $B^n$, et en déduire $A^n$ pour tout $n$.
              \end{enumerate}

        \item Soit $E=K_n[X]$ le $K$-espace vectoriel des polynômes de degré $\leq n$. 
               \begin{enumerate}
                    \item Soit $f$ définie par $f(P)=(X+1)P'(X)$. Montrer que $f \in {\cal L}(E)$, et donner une 
                     base de $Ker(f)$.
                     \item Ecrire la matrice $A$ de $f$ dans la base $1,X,\ldots,X^n$. Soit $E_{\lambda}=Ker(f-\lambda Id)$. 
                        Pour quelles valeurs de $\lambda$ a-t-on $E_{\lambda}\neq \{0\}$ ? 
				\item Montrer que $1,(X+1), \ldots,(X+1)^n$ forment une base de $E$ et écrire la matrice de $f$ dans 
                   cette base.
               \end{enumerate}
			 % 
        \item Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel, $f,g\in {\cal L}(E)$, tels
		que $f\circ g=g\circ f$.
		\begin{enumerate}\item Monter que $Kerf$ et $Imf $ stables par $g$, i.e. $g(Kerf)\subset Kerf$ et
		$g(Imf)\subset Imf$.
		\item Soient $\lambda\in K$ et $E_{\lambda}=Ker(f-\lambda Id)$. Montrer que $E_{\lambda}$ est stable par $g$.
        \end{enumerate}
%
            \item Soit $K$ un corps et $E=M_2(K)$. Pour $A\in E$, on considère l'application $\varphi_A$ : $E\rightarrow
E$ définie par $\varphi_A(M)=AM$. On munit $E$ de sa base canonique des matrices élémentaires $E_{i,j}$ pour
$i,j\in\{1,2\}$ : $(E_{1,1},E_{2,1},E_{1,2},E_{2,2})$. 
			\begin{enumerate}\item Quelle est la matrice $R_A$ de $\varphi_A$ dans cette base ?
                                   \item On suppose que $A$ est semblable à B. Montrer que $R_A$ et $R_B$ sont
                                     semblables.
                   \end{enumerate}
% 
            \item Montrer que les matrices suivantes ne sont pas semblables.
           $$ A = \left[
			   \begin{array}{ccc}
                      2 & 1 & -1 \\
                      0 & 1/2 & 1 \\
                       0 & 0 & 1
               \end{array}\right], \quad B = \left[
			   \begin{array}{ccc}
                      3 & 0 & 0 \\
                      -1 & 1/3 & 0 \\
                       0 & 0 & 1
               \end{array}\right], 
               \quad C = \left[
			   \begin{array}{ccc}
                      4 & 0 & 0 \\
                      5 & 1/3 & 0 \\
                       0 & 0 & 1
               \end{array}\right]. $$

	\end{enumerate}
\end{document}
