Vecteurs propres et valeurs propres

C. Huyghe

1. Soient = ℝ^{3} dont les coordonnées des vecteurs dans la base canonique sont

notées ( ). Soit la plan d’équation : + 2 = 0 1- Déterminer une base de . 2- Soit la droite vectorielle dirigée par le vecteur de coordonnés (1 1 2).

Montrer que = . 3- Soient _{1} le projecteur sur parallèlement à et _{2} le projecteur sur

parallèlement à . Montrer que = _{1} + _{2}. 4- En appliquant la méthode du cours, qui consiste à écrire la matrice _{1} de

1 (resp. _{2} _{2}) dans une base adaptée à la décomposition = , et à faire un changement de base, calculer les matrices _{1} et _{2} de _{1} et _{2} respectivement dans la base canonique. Vérifier que = _{1} + _{2}.

2. Soient un -espace vectoriel de dimension finie et une symétrie vectorielle : . Montrer que les seules valeurs propres possibles de sont 1 et 1.

3. Soit la matrice suivante

= \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}

1- Cette matrice est-elle diagonalisable sur ℝ? 2- Cette matrice est-elle diagonalisable sur ℂ? Quelles sont les valeurs propres

de cette matrice ? Donner les vecteurs propres de cette matrice. 3- Montrer que est semblable sur ℂ à une matrice diagonale , que l’on

précisera, mais pas sur ℝ.

4. Soient un corps, un -espace vectoriel de dimension finie dont on fixe une base B, ( ). Soient _{1} _{}scalaires de distincts tels que si est la matrice de dans la base on ait

= ; ; ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}_{1} & & & & \\ 0 & _{2} & & & \\ 0 & 0 & & & \\ 0 & 0 & & _{1} & \\ 0 & 0 & & 0 & _{} \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ; ;

Montrer que est diagonalisable.

5. Soient un corps, et

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & & 1 \\ 0 & 0 & \end{matrix} ; ; ;

Discuter le rang de suivant les valeurs de . En déduire : 1- Les valeurs propres et les vecteurs propres de , 2- le fait que n’est pas diagonalisable.

6. Soient un corps, un -espace vectoriel,  ( ), tels que  =  .
1- Monter que  et  stables par , i.e. ( )  et ( )  .

2- Soient et _{}le sous-espace propre associé à (éventuellement réduit

à 0 ). Montrer que _{}est stable par . 3- Cas particulier : prenons = ℂ^{3}, et diagonalisable, ayant pour vecteurs

propres ( _{1} _{2} _{3}) associés aux valeurs propres 1, 2 et 3. Montrer que si commute avec , alors est diagonalisable.