Endomorphismes d’espace vectoriel, vecteurs propres

et valeurs propres, questions diverses

C. Huyghe

1. Soient un corps, un -espace vectoriel de dimension , ( ), tel ^{}= 0.

1- Montrer que 0 est la seule valeur propre de . A quelle condition est-il

diagonalisable ? 2- Soit . On pose _{}= ( ) ^{1} ( ). Montrer que _{}est stable

par , i.e. ( _{}) _{}. 3- On suppose désormais qu’il n’existe pas de sous-espaces stables par à part

0 et . Montrer qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de s’écrit

= ; ; ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}0 & & & & \\ 0 & 0 & & & \\ 0 & 0 & & & \\ 0 & 0 & & 0 & \\ 0 & 0 & & 0 & 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ; ;

2. Soit (ℂ).

1- Montrer que est une homothétie de rapport ℂ et en particulier que

est diagonalisable. On pose = + . 2- On identifie ℂ à ℝ^{2}. Alors est ℝ-linéaire et induit un enomorphisme de

ℝ^{2}. Ecrire la matrice de dans la base canonique de ℝ^{2}. A quelle condition est-ce que est diagonalisable comme endomorphisme de ℝ^{2} ? Quels sont alors les vecteurs propres ?

3- Montrer que la matrice de est semblable à

= \begin{matrix} & \\ & \end{matrix}

avec ℝ.

3. Soient = ℝ^{3} dont les coordonnées des vecteurs dans la base canonique sont

notées ( ). Soit la plan d’équation : + 2 = 0 1- Déterminer une base de . 2- Soit la droite vectorielle dirigée par le vecteur de coordonnés (1 1 2).

Montrer que = .

3- Soient _{1} le projecteur sur parallèlement à et _{2} le projecteur sur

parallèlement à . Montrer que = _{1} + _{2}. 4- En appliquant la méthode du cours, qui consiste à écrire la matrice _{1} de

1 (resp. _{2} _{2}) dans une base adaptée à la décomposition = , et à faire un changement de base, calculer les matrices _{1} et _{2} de _{1} et _{2} respectivement dans la base canonique. Vérifier que = _{1} + _{2}.

4. Soient un -espace vectoriel de dimension finie et une symétrie vectorielle : . Montrer que les seules valeurs propres possibles de sont 1 et 1.

5. Soit la matrice suivante

= \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}

1- Cette matrice est-elle diagonalisable sur ℝ? 2- Cette matrice est-elle diagonalisable sur ℂ? Quelles sont les valeurs propres

de cette matrice ? Donner les vecteurs propres de cette matrice. 3- Montrer que est semblable sur ℂ à une matrice diagonale , que l’on

précisera, mais pas sur ℝ.

6. Soient un corps, un -espace vectoriel de dimension finie dont on fixe une base B, ( ). Soient _{1} _{}scalaires de distincts tels que si est la matrice de dans la base on ait

= ; ; ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}_{1} & & & & \\ 0 & _{2} & & & \\ 0 & 0 & & & \\ 0 & 0 & & _{1} & \\ 0 & 0 & & 0 & _{} \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ; ;

Montrer que est diagonalisable.

7. Soient un corps, et

= ; ; ; \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & & 1 \\ 0 & 0 & \end{matrix} ; ; ;

Discuter le rang de suivant les valeurs de . En déduire :

1- Les valeurs propres et les vecteurs propres de , 2- le fait que n’est pas diagonalisable.

8. Soient un corps, un -espace vectoriel,  ( ), tels que  =  .
1- Monter que  et  stables par , i.e. ( )  et ( )  .

2- Soient et _{}le sous-espace propre associé à (éventuellement réduit à 0 ). Montrer que _{}est stable par .

3- Cas particulier : prenons = ℂ^{3}, et diagonalisable, ayant pour vecteurs propres ( _{1} _{2} _{3}) associés aux valeurs propres 1, 2 et 3. Montrer que si commute avec , alors est diagonalisable.