\documentclass[11pt]{article}
%{{{
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{mathpple}
\usepackage{amsmath} 
\usepackage{amscd} 
\usepackage{amstext} 
\usepackage{amsbsy} 
\usepackage{amsopn}
\usepackage{amsthm} 
\usepackage{amsxtra}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[active]{srcltx}
\hyphenpenalty=200
\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii}-}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\voffset}{-3cm}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\hoffset}{-1.4cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}}

%----- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[}
\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}

%----- Fonctions usuelles -----
\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits}
\newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
\newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{Arccos}}\nolimits}
\newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{Arctan}}\nolimits}
\newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits}
\newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits}
\newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits}
\newcommand{\pgcd}{\mathop{\mathrm{pgcd}}\nolimits} 
%
%************************************************************
%
%**********************commandes locales*********************

%*************************************************************
%
\sloppy
\begin{document}
%
\title{Endomorphismes d'espace vectoriel, vecteurs propres et valeurs propres, questions diverses}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
        \item Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$, $u\in {\cal L}(E)$, tel 
         $u^n=0$. 
                \begin{enumerate}
                 \item Montrer que $0$ est la seule valeur propre de $u$.
                 A quelle condition $u$ est-il diagonalisable ?
                 \item Soit $x\in E$. On pose $E_x=Vect{x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x)}$.
                 Montrer que $E_x$ est stable par $u$, i.e. $u(E_x)\subset E_x$. 
                 \item On suppose désormais qu'il n'existe pas de sous-espaces stables par
                  $u$ à part $0$ et $E$. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans
                 laquelle la matrice de $u$ s'écrit 
                    $$ A = \left[
							   \begin{array}{ccccc} 0 & . & \ldots & . & . \\
													 0 & 0 & . & \ldots & . \\
													  0 & 0 & \ldots & \ldots & . \\
													  0 & 0 & \ldots & 0 & . \\
													   0 & 0 & \ldots & 0 & 0
								\end{array} \right].$$
                \end{enumerate}
         \item Soit $u\in {\cal L}(\Cc)$. 
					  \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est une
					  homothétie de rapport $\lambda\in\Cc$ et en particulier
					  que $u$ est diagonalisable. On pose $\lambda=a+ib$.
					  \item On identifie $\Cc$ à $\Rr^2$. Alors $u$ est 
					  $\Rr$-linéaire et induit un enomorphisme $v$ de
						$\Rr^2$. Ecrire la matrice de $v$ dans la
						base canonique de $\Rr^2$. A quelle condition est-ce que $v$ est diagonalisable comme
						endomorphisme de $\Rr^2$ ? Quels sont alors les vecteurs propres ? 
											  \item Montrer que la matrice de $v$ est semblable 
						 à 
						 $$ A = \left[
					   \begin{array}{cc}
							   a & -b \\
							  b & a\\
					   \end{array}\right],$$
							   avec $a,b\in \Rr$.
                   \end{enumerate}

                 
		\item Soient $E=\Rr^3$ dont les coordonnées des vecteurs dans la base canonique sont
			notées $(x,y,z)$. Soit $P$ la plan d'équation : $x+2y-z=0$
				\begin{enumerate}
				\item Déterminer une base de $P$.
				\item Soit $D$ la droite vectorielle dirigée par le vecteur de coordonnés $(1,-1,2)$.
				Montrer que $E=P\bigoplus D$.
				\item Soient $p_1$ le projecteur sur $P$ parallèlement à $D$ et $p_2$ le projecteur sur $D$
				parallèlement à $P$. Montrer que $Id=p_1+p_2$.
				\item En appliquant la méthode du cours, qui consiste à écrire la matrice
               $ B_1 $ de $p_1$ (resp. $ B_2 $
				$p_2$) dans une base adaptée à la décomposition $E=P\bigoplus D$, et à faire un changement
				de base, calculer les matrices $A_1$ et $A_2$ de $p_1$ et $p_2$
                respectivement dans la base canonique. Vérifier
				que $Id=A_1 + A_2$.
				\end{enumerate}
   \item
       Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $s$ une symétrie 
       vectorielle : $E\rightarrow E$. Montrer que les seules valeurs propres possibles de $s$
	   sont $-1$ et $1$.
   \item Soit $A$ la matrice suivante 
          $$ A = \left[
			   \begin{array}{cc}
                      0 & 1 \\
                      -1 & 0 
               \end{array}\right].$$
             \begin{enumerate}\item Cette matrice est-elle diagonalisable sur $\Rr$ ?
                 \item Cette matrice est-elle diagonalisable sur $\Cc$ ? Quelles sont les
                 valeurs propres de cette matrice ? Donner les vecteurs propres de cette matrice.
                 \item Montrer que $A$ est semblable sur $\Cc$ à une matrice diagonale
               $D$, que l'on précisera,
              mais pas sur $\Rr$.
              \end{enumerate}
						   
		
     \item Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie dont on
						fixe une base {\cal B}, $f\in {\cal
						L}(E)$. Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ $n$ scalaires de $K$ distincts tels que 
						si $A$ est la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}$ on ait 
						 $$ A = \left[
							   \begin{array}{ccccc} \lambda_1 & . & \ldots & . & . \\
													 0 & \lambda_2 & . & \ldots & . \\
													  0 & 0 & \ldots & \ldots & . \\
													  0 & 0 & \ldots & \lambda_{n-1} & . \\
													   0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda_{n}
								\end{array} \right].$$
						Montrer que $A$ est diagonalisable.
     \item Soient $K$ un corps, $\lambda\in K$ et 
            $$ A = \left[
			   \begin{array}{ccc}
                      2 & 1 & -1 \\
                      0 & \lambda & 1 \\
                       0 & 0 & \lambda
               \end{array}\right].$$
            Discuter le rang de $A-\lambda Id$ suivant les valeurs de $\lambda$. En déduire :
             \begin{enumerate}\item Les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$,
              \item le fait que $A$ n'est pas diagonalisable.
              \end{enumerate}
			  
        \item Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel, $f,g\in {\cal L}(E)$, tels
		que $f\circ g=g\circ f$.
		\begin{enumerate}\item Monter que $Kerf$ et $Imf $ stables par $g$, i.e. $g(Kerf)\subset Kerf$ et
		$g(Imf)\subset Imf$.
		\item Soient $\lambda\in K$ et $E_{\lambda}$ le sous-espace propre associé à $\lambda$
		(éventuellement réduit à $\{0\}$). Montrer que $E_{\lambda}$ est stable par $g$.
		\item Cas particulier : prenons $E=\Cc^3$, et $f$ diagonalisable, ayant pour
        vecteurs propres $(v_1,v_2,v_3)$ associés aux valeurs propres $1$, $2$ et $3$. 
        Montrer que si $g$ commute avec $f$, alors $g$ est diagonalisable.
        \end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{document}
