MPAS2 -algèbre. Introduction aux permutations

C. Huyghe

1. Calculer les signatures des permutations suivantes.

1- _{1} = (1 2 4 3 5) _{5}, 2- _{2} = (2 3 4 5 1) _{5}, 3- _{3} = _{2} _{1}. Ecrire explicitement cette permutation. 4- _{4} = (1 3 2 5 4) _{5}, 5- _{5} = _{4} _{3}. Ecrire explicitement cette permutation.

2. Soit _{5}(ℂ), = ( _{}) avec 0 5. On suppose que est triangulaire supérieure, c’est-à-dire que _{}= 0 si . 1- Déterminer, parmi les éléments _{}de la liste précédente, pour 1 5,

ainsi que pour _{0} = , ceux pour lesquels

1 (1) _{2 (2)} _{3 (3)} _{4 (4)} _{5 (5)} = 0

pour toute matrice triangulaire supérieure. 2- Pour quelles permutations de _{5} a-t-on _{1 (1)} _{2 (2)} _{3 (3)} _{4 (4)} _{5 (5)} = 0

pour = ?

3. Soit _{4} le groupe des permutations d’un ensemble à 4 éléments. On écrit les éléments de _{4} sous la forme d’une liste ( (1) (2) (3) (4)). 1- Quel est le cardinal de _{4} ? 2- Soit ˜ un élément de _{3}, définie par les éléments ( ˜ (1) ˜ (2) ˜ (3)). On

considère l’application Φ : _{3} _{4}, définie de la façon suivante. Si = Φ( ˜ )

(1) = ˜ (1)  (1)
(2) = ˜ (2)  (2)
(3) = ˜ (3)  (3)
(4) = 4  (4)

3- Montrer que si _{ ˜ 3} est une transposition, alors = Φ( ˜ ) est une transpo-

sition de _{4}. 4- Montrer que Φ est un morphisme de groupes, c’est-à-dire que Φ( ) = et

que si ˜ ^{}_{ ˜ 3}, alors Φ( ˜ ) Φ( ^{} ˜ ) = Φ( ˜ ^{} ˜ ).

5- Montrer que si = Φ( ˜ ), alors ( ) = ( ˜ ). 6- Soit _{4}. Montrer qu’il existe _{4} _{ ˜ 3} tels que

= Φ( ˜ )

Discuter l’unicité de cette décomposition. A quelle condition a-t-on = ?