\documentclass[11pt]{article}
%{{{
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%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%%



%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
%\renewcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \renewcommand{\N}{\mathbb{N}}
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%
%%----- Modifications de symboles -----
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\newcommand{\varep}{\varepsilon}
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%\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}
%
%%----- Fonctions usuelles -----
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%\newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits}
%\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
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%\newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits}
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%fleches
\newcommand{\rig}{\rightarrow}

%----- Structure des exercices ------
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{ind}{Indications}
\newtheorem{cor}{Correction}

\newcommand{\exercice}[1]{} \newcommand{\finexercice}{}
%\newcommand{\exercice}[1]{{\tiny\texttt{#1}}\vspace{-2ex}} % pour afficher le numero absolu, l'auteur...
\newcommand{\enonce}{\begin{exo}} \newcommand{\finenonce}{\end{exo}}
\newcommand{\indication}{\begin{ind}} \newcommand{\finindication}{\end{ind}}
\newcommand{\correction}{\begin{cor}} \newcommand{\fincorrection}{\end{cor}}

\newcommand{\noindication}{\stepcounter{ind}}
\newcommand{\nocorrection}{\stepcounter{cor}}

\newcommand{\fiche}[1]{} \newcommand{\finfiche}{}
\newcommand{\titre}[1]{\centerline{\large \bf #1}}
\newcommand{\addcommand}[1]{}
\newcommand{\video}[1]{}

%----- Presentation ------
\setlength{\parindent}{0cm}

\newcommand{\ExoSept}{\textbf{\textsf{Exo7}}}
\newcommand{\LogoExoSept}{\setlength{\unitlength}{0.6em}
\begin{picture}(0,0)  \thicklines     \put(0,4){\line(0,1){3}}   \put(0,7){\line(1,0){3}}
  \put(3,7){\line(0,-1){7}}  \put(0,4){\line(1,0){7}}   \put(3,0){\line(1,0){4}}
  \put(7,0){\line(0,1){4}}   \put(3,7){\line(4,-3){4}}  \put(7,4){\line(3,4){3}}  
  \put(10,8){\line(-4,3){4}} \put(3,7){\line(3,4){3}}   \put(4.6,6.8){\mbox{\ExoSept}}
\end{picture}}

%----- Commandes supplementaires ------





%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ENTETE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\LogoExoSept
%
%%\kern-2em
%\hfill\textsf{Ann\'ee 2013}
%
%\vspace*{0.5ex}
%\hrule\vspace*{1.5ex} 
%\hfil\textsf{\textbf{\Large Exercices de math\'ematiques}}
%\vspace*{1ex} \hrule 
%\vspace*{5ex} 
%
%%profondeur de la table des matieres.
%\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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%----- Modifications de symboles -----
%\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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%----- Fonctions usuelles -----
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%************************************************************
%
%**********************commandes locales*********************

%*************************************************************
%
\sloppy
\begin{document}
%
\title{MPAS2 -algèbre. Introduction aux permutations}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
		\item Calculer les signatures des permutations suivantes.
		\begin{enumerate} \item $\sigma_1=(1,2,4,3,5)\in S_5$,
                          \item $\sigma_2=(2,3,4,5,1)\in S_5$,
						  \item $\sigma_3=\sigma_2\circ \sigma_1$. Ecrire explicitement cette permutation.
						  \item $\sigma_4=(1,3,2,5,4)\in S_5$,
						  \item $\sigma_5=\sigma_4\circ \sigma_3$. Ecrire explicitement cette permutation.
				\end{enumerate}

		\item Soit $A\in M_5(\Cc)$, $A=(a_{i,j})$ avec $0\leq i,j \leq 5$. On suppose que $A$ est triangulaire 
				supérieure, c'est-à-dire que $a_{i,j}=0$ si $i>j$. 
				\begin{enumerate}
						\item
				Déterminer, parmi les éléments $\sigma_t$ de la liste 
				précédente,  pour $1\leq t \leq 5$, ainsi que pour $\sigma_0=Id$, ceux pour lesquels 
				$$a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}a_{3,\sigma(3)}a_{4,\sigma(4)}a_{5,\sigma(5)}=0,$$
				pour toute matrice $A$ triangulaire supérieure.
				\item 
				Pour quelles permutations de $S_5$ a-t-on 
				$a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}a_{3,\sigma(3)}a_{4,\sigma(4)}a_{5,\sigma(5)}=0$ pour 
				$A=Id$ ?
                \end{enumerate}
%
  \item Soit $S_4$ le groupe des permutations d'un ensemble à $4$ éléments. On écrit les éléments $\sigma$ 
		  de $S_4$ sous la forme d'une liste $(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3),\sigma(4))$.
		                		  \begin{enumerate}
            \item Quel est le cardinal de $S_4$ ? 
			\item Soit $\tilde{\sigma}$ un élément de $S_3$, définie par les éléments 
					$(\tilde{\sigma}(1),\tilde{\sigma}(2),\tilde{\sigma}(3))$. On considère l'application 
					$\Phi$ : $S_3\rig S_4$, définie de la façon suivante. Si $\sigma=\Phi(\tilde{\sigma})$
					\begin{gather} \sigma(1)=\tilde{\sigma}(1)\\
							  \sigma(2)=\tilde{\sigma}(2) \\
							  \sigma(3)=\tilde{\sigma}(3)\\
                              \sigma(4)=4
					\end{gather}
			 \item Montrer que si $\tilde{\tau}\in S_3$ est une transposition, alors $\tau=\Phi(\tilde{\tau})$ est une
					 transposition de $S_4$.
			\item Montrer que $\Phi$ est un morphisme de groupes, c'est-à-dire que 
						$\Phi(Id)=Id$ et que si $\tilde{\sigma},\tilde{\sigma}'\in S_3$, alors 
						$\Phi(\tilde{\sigma})\circ \Phi(\tilde{\sigma}')=\Phi(\tilde{\sigma}\circ \tilde{\sigma}')$.
				\item Montrer que si $\sigma=\Phi(\tilde{\sigma})$, alors $\varep(\sigma)=\varep(\tilde{\sigma})$.
				\item Soit $\sigma\in S_4$. Montrer qu'il existe $\tau \in S_4,\, \tilde{\sigma}\in S_3$ tels que 
						$$\sigma=\tau \circ \Phi(\tilde{\sigma}).$$
						Discuter l'unicité de cette décomposition. A quelle condition a-t-on $\tau=Id$ ?
				\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
