Révisions d’algèbre linéaire

C. Huyghe

1. Dans l’espace ℂ^{4}, on se donne cinq vecteurs : V_{1} = (−2 + i, 2i, −1 + 2i, −1 + 4i), V_{2} = (1, 2, 3, 4), V_{3} = (3, 1, 1 + i, 2), V_{4} = (3 + 2i, 5, 5 + i, 9 + i), V_{5} = (1, 1, 0, 1). À quelle(s) condition(s) un vecteur W = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}, V_{5} ? Définir ce sous-espace par une ou des équations.

2. On désigne par E un ℝ-espace vectoriel de dimension finie. Les propriétés suivantes

sont-elles vraies ou fausses ?

1- Soient D_{1}, D_{2}, D_{3} des droites vectorielles de ℝ^{3} distinctes deux à deux. Alors

ℝ^{3} est somme de D_{1}, D_{2}, D_{3}. 2- Soient F et G des hyperplans vectoriels de E. Alors E ≠ F ∪ G. 3- Soient P_{1} et P_{2} des plans vectoriels de E tels que P_{1} ∩ P_{2} = {0}. Alors

dim E ≥ 4. 4- Soient F et G des sous-espaces de dimension 3 de ℝ^{5}. Alors F ∩ G ≠ {0}. 5- Soit (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) la base canonique de ℝ^{4} et F = V ect{e_{1}, e_{3}}. Tout sous-

espace vectoriel supplémentaire de F contient e_{2}. 6- L’intersection de deux hyperplans de ℝ^{5} est un plan.

3. Soit A ∈ M_{4}(ℝ) la matrice

A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} ] .

1- Calculer le polynôme caractéristique de A. 2- La matrice A est-elle diagonalisable ? 3- On suppose que A est la matrice d’un endomorphisme u : ℝ^{4} → ℝ^{4} dans la

base canonique. Donner une base de vecteurs propres de u.

4. Soit E = ℝ_{n}[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré ≤ n, et f : E → E

définie par :

f(P) = P + (1 − X)P′.

1- Montrer que f est une application linéaire et donner une base de ker f.

2- On traite le cas n = 2 et 3. Montrer que f est diagonalisable, en se ramenant

à l’exercice précédent pour n = 3. 3- Pour n général, montrer que f est diagonalisable et donner une base de Im f.

5. Soient A et B deux matrices de M_{2}(ℝ) ayant même polynôme caractéristique. Ces deux matrices sont-elles semblables ?

6. Soit θ ∈ [0, 2π]. On considère l’application r : ℂ → ℂ définie par r(z) = ze^{iθ}.

1- Montrer que r est une application ℝ-linéaire et écrire la matrice de cette

application dans la base 1, i de ℂ. 2- En déduire la matrice de la rotation d’angle θ dans le plan ℝ^{2}.

7. Soient λ, μ ∈ ℂ, distincts, et soient

A = [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 1 & μ \end{matrix} ] .

Montrer que A et B sont semblables.

8. Soient λ ∈ ℂ, et soient

A = [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 1 & λ \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 2 & λ \end{matrix} ] .

Montrer que A et B sont semblables.

9. On se donne deux matrices A et B dans M_{5}(ℝ) vérifiant l’équation M^{2} = M. Les matrices A et B sont-elles semblables ?

10. Soit A une matrice diagonalisable de M_{n}(ℂ) vérifiant l’équation M^{2} +iM +Id = 0

et u : ℂ^{n} → ℂ^{n} l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est A. 1- Quelles sont les valeurs propres possibles de A? 2- Montrer qu’il existe une valeur propre λ de u telle que la dimension du sous-

espace propre associé soit supérieure à E(n/2).

11. Soit E = ℂ^{2} et u ∈ L(E) tel que u^{2} = −Id.

1- Montrer que toute valeur propre λ de u vérifie λ^{2} + 1 = 0. 2- Montrer que u est semblable à l’une des matrices suivantes

A = [ \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ] , −A = [ \begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ] .

Est-ce que B est semblable à −B?

12. Soit E = ℝ^{2}. Donner un exemple de matrice C ∈ M_{2}(ℝ) telle que C^{2} + Id = 0.

13. Existe-t-il une matrice A de M_{3}(ℝ) distincte de Id telle que A^{3} = Id et A^{2} ≠ Id?

14. On considère le matrice suivante de M_{3}(ℝ)

A = [ \begin{matrix}1/2 & −5/2 & −5/2 \\ −5 & −2 & −5 \\ 5/2 & 5/2 & 11/2 \end{matrix} ] ,

Et les vecteurs

f_{1} = [ \begin{matrix}1/2 \\ 1 \\ −1/2 \end{matrix} ] , f_{2} = [ \begin{matrix}−1/2 \\ 0 \\ 1/2 \end{matrix} ] , f_{3} = [ \begin{matrix}−1/2 \\ −1 \\ 3/2 \end{matrix} ] .

1- Ecrire la matrice des vecteurs (f_{1}, f_{2}, f_{3}) dans la base canonique et montrer

que ces vecteurs forment une base de ℝ^{3}. 2- Soit u ∈ L(ℝ^{3}) l’endomorphisme associé à la matrice A dans la base canonique

de ℝ^{3}. Calculer la matrice de u dans la base (f_{1}, f_{2}, f_{3}) et en déduire le calcul de A^{n} si n ∈ ℕ.