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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\title{Révisions d'algèbre linéaire}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
        \item Dans l'espace $\mathbb{C}^4$, on se donne cinq vecteurs~:
         $V_1=(-2+i,2i,-1+2i,-1+4i)$, $V_2=(1,2,3,4)$, $V_3=(3,1,1+i,2)$, $V_4=(3 + 2i,
5, 5 + i, 9 + i)$, $V_5=(1,1,0,1)$.
         À quelle(s) condition(s) un vecteur $W=(x_1,x_2,x_3,x_4)$
         appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs $V_1$, $V_2$, 
         $V_3$, $V_4$, $V_5$~? Définir ce sous-espace par une ou des équations.
%{{{\begin{correction}{\footnotesize On doit avoir $V_1=V5+iV2-V3$, et $V4=(1-i)V5+2*V2+iV3$}
%{{{\end{correction}
        \item On désigne par $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie. Les
				propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses~?
				\begin{enumerate}
						\item  Soient $D_1,D_2,D_3$ des droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$ distinctes 
						deux à deux. Alors $\mathbb{R}^3$ est somme de $D_1,D_2,D_3$.
						\item  Soient $F$ et $G$ des hyperplans vectoriels de $E$. Alors $E \neq F \cup G$.
						\item  Soient $P_1$ et $P_2$ des plans vectoriels de $E$ tels que $P_1 \cap P_2 =
						\{0\}$. Alors $\dim E \ge 4$.
						\item  Soient $F$ et $G$ des sous-espaces de dimension~$3$ de $\mathbb{R}^5$.
						Alors $F \cap G \ne\{0\}$.
						\item  Soit $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de $\mathbb{R}^4$ et
						$F=Vect\{e_1,e_3\}$. Tout sous-espace vectoriel supplémentaire de $F$
						contient $e_2$.
                        \item L'intersection de deux hyperplans de $\mathbb{R}^5$ est un
						plan.
						\end{enumerate}
          \item Soit $A\in M_4(\Rr)$ la matrice 
                   $$ A = \left[
							   \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0  \\
													 0 & 0 & 2 & 0 \\
													  0 & 0 & -1 & 3 \\
													  0 & 0 & 0 & -2 \\
								\end{array} \right].$$ 
                                 \begin{enumerate}\item     
                                  Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
                                  \item  La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
                                  \item On suppose que $A$ est la matrice d'un
				endomorphisme $u$ : $\Rr^4 \rightarrow \Rr^4$ dans la base canonique. Donner une base de
				vecteurs propres de $u$.
						\end{enumerate}
          \item 
				Soit $E={\Rr}_{n}[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^{o}mes de degr\'{e} $
				\leq n$, et $f:E\rightarrow E$ d\'{e}finie par:
		$$f(P)=P+(1-X)P'. $$
        \begin{enumerate}\item 
		Montrer que $f$ est une application linéaire et donner une base de $\ker f.$
         \item On traite le cas $n=2$ et $3$. Montrer que $f$ est diagonalisable, en se
		ramenant à l'exercice précédent pour $n=3$.
         \item Pour $n$ général, montrer que $f$ est diagonalisable et donner une base de
		$\Im f.$
         \end{enumerate}
%{{{\begin{correction}
%Comme base de vecteurs propres, il faut prendre $(X-1)^k$ pour $k\neq 1$.
%\end{correction}%}}} 
%       \item {\tt Rajouter l'étude d'une matrice à paramètre, et un calcul de rang à paramètre.
%Regarder dans sage comment ça marche.}
        \item Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_2(\Rr)$ ayant même polynôme
		caractéristique. Ces deux matrices sont-elles semblables ?
        \item Soit $\theta\in [0,2\pi]. $ On considère l'application $r$ : $\Cc \rightarrow \Cc$
         définie par $r(z)=ze^{i\theta}$.
                \begin{enumerate}
				 \item Montrer que $r$ est une application $\Rr$-linéaire et 
					 écrire la matrice de cette application dans la base $1,i$ de $\Cc$. 
				  \item En déduire la matrice de la rotation d'angle $\theta $ dans le plan $\Rr^2$.
				\end{enumerate}
         \item Soient $\lambda,\mu\in \Cc$, distincts, et soient $$ A = \left[ \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \mu
                               \end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 1 & \mu
                               \end{array}\right].$$
                       Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
         \item Soient $\lambda\in \Cc$, et soient $$ A = \left[ \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda
                               \end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 2 & \lambda
                               \end{array}\right].$$
                       Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
        \item On se donne deux matrices $A$ et $B$ dans $M_5(\Rr)$ vérifiant l'équation 
          $M^2=M$. Les matrices $A$ et $B$ sont-elles semblables ?
        \item Soit $A$ une matrice diagonalisable de $M_n(\Cc)$ vérifiant l'équation
         $M^2+iM+Id=0$ et $u$ : $\Cc^n \rightarrow \Cc^n$ l'endomorphisme dont la matrice dans la 
         base canonique est $A$.
                 \begin{enumerate}\item Quelles sont les valeurs propres possibles de $A$
                  ? 
                  \item Montrer qu'il existe une valeur propre $\lambda$ de $u$ telle que 
                   la dimension du sous-espace propre associé soit supérieure à $E(n/2)$.
                  \end{enumerate}
        \item Soit $E=\mathbb{C}^2$ et $u\in {\cal L}(E)$ tel que $u^2=-Id$. 
                \begin{enumerate} \item Montrer que toute valeur propre $\lambda$ de $u$ vérifie
                 $\lambda^2+1=0$. 
                 \item Montrer que $u$ est semblable à l'une des matrices suivantes 
                  $$ A = \left[ \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & i
                               \end{array}\right], -A=\left[ \begin{array}{cc} -i & 0 \\ 0 & -i
                               \end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0
                                  &- i
                               \end{array}\right].$$
                 Est-ce que $B$ est semblable à $-B$ ?
                \end{enumerate}
%{{{\begin{correction}
%{\footnotesize {\bf Indication.} Il faut trigonaliser la matrice et constater que quand on
%a deux valeurs propres égales alors la matrice est diagonalisable (ne vérifie pas sinon $u^2=-Id$) 
%}
%\end{correction}%}}} 
       \item Soit $E=\mathbb{R}^2$. Donner un exemple de matrice $C\in M_2(\Rr)$ telle que
		$C^2+Id=0$.
       \item Existe-t-il une matrice $A$ de $M_3(\Rr)$ distincte de $Id$ telle que $A^3=Id$ et $A^2\neq Id$ ?
      \item On considère le matrice suivante de $M_3(\Rr)$
	$$ A = \left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & -5/2 & -5/2 \\-5  &   -2 &  -5 \\5/2  &  5/2 &  11/2  
                               \end{array}\right],$$
      Et les vecteurs $$ f_1 = \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{array}\right],
                        f_2 = \left[ \begin{array}{c} -1/2 \\ 0 \\ 1/2 \end{array}\right],                            
                        f_3= \left[ \begin{array}{c} -1/2 \\ -1 \\ 3/2 \end{array}\right].$$ 
                     \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice des vecteurs $(f_1,f_2,f_3)$ dans la base canonique et montrer que ces vecteurs forment une 
							  base de $\Rr^3$.
						  \item Soit $u\in {\cal L}(\Rr^3)$ l'endomorphisme associé à la matrice A dans la base canonique de $\Rr^3$. 
						  Calculer la matrice de $u$ dans la base $(f_1,f_2,f_3)$ et en déduire le calcul de $A^n$ si $n \in \N$.
				  \end{enumerate}
          \end{enumerate}

\end{document}
