Examen de M2 2007-2008

Durée 3h

C. Noot-Huyghe

Le cours, ainsi que le cours de O. Debarre, et les exercices portant sur le cours sont autorisés. Tout autre document ainsi que tout autre accessoire sont interdits (téléphone portable, machine à calculer, agenda électronique ...).

Pour traiter une question, on peut admettre le résultat des questions précédentes. Dans tout l’examen, on adopte les conventions suivantes : si est un schéma, _{}désigne le faisceau

structural de ce schéma, Ω_{}^{1} est le faisceau des formes différentielles de ce schéma. Si est un diviseur de , ( ) le faisceau inversible associé, alors ( ) = ( ^{0}( ( ))).

Sauf mention explicite du contraire, une courbe sur un corps est un schéma projectif lisse irréductible de dimension 1 sur ( ).

1. Soient un nombre premier, Q_{}le corps des nombres -adiques.

1- Montrer que Q_{}contient le groupe des racines 1-ièmes de l’unité. 2- Soit \overline{}un polynôme irréductible de F_{}[ ] de degré et un polynôme de Z_{}[ ] relevant \overline{}. Montrer

que est irréductible. 3- Soit = Z_{}[ ] . Montrer que la valuation de Z_{}se prolonge à en posant _{}( ^{}) = _{}( ) pour

0 1 et Z_{}et que est un anneau local complet pour cette valuation. 4- Soit un autre relèvement de dans Z_{}[ ] et = Z_{}[ ] . Montrer que a une racine dans et

que et sont isomorphes. 5- Montrer que contient les racines ^{}1-ièmes de l’unité.

2. Soient un corps de car. 0, un polynôme de degré 0 séparable, i.e. tel que et le polynôme dérivé

soient premiers entre eux. Soit le sous-schéma ouvert ( ) de la droite affine A_{}^{1} = ( [ ]). 1- Décrire = Γ( _{}) comme sous-algèbre de ( ). 2- Montrer que Ω_{}^{1} est un _{}-module libre de rang 1 engendré par . Calculer Ω = Γ( Ω_{}^{1} ). 3- On considère le complexe de de Rham (DR) de :

0 ^{}Ω 0

1- Montrer que _{}^{0} ( ) = ( ) = .

On cherche maintenant à calculer = ( ) = Ω ( ). 2- Montrer que

0  1  \frac{^{}}{}( )

Dans la suite, on introduit le -espace vectoriel

= _{0  1}  \frac{^{}}{}

et pour N, _{}le -espace vectoriel

= \frac{}{^{}}[ ] Ω

3- Montrer que Ω = _{0} _{}, que, pour tout 1, _{1} _{}, et que

= _{1} + _{0  1}  \frac{^{}}{^{}}

4- Pour 0 1 soient _{}et _{}le quotient et le reste de la division euclidienne de ^{}^{}par , et \overline{_{}}la classe de _{}dans [ ] . Montrer que (\overline{_{0}} \overline{_{1}} ) est une base du -espace vectoriel [ ] , puis que pour 1,

= _{1} + _{0  1}  \frac{_{}}{^{}}

5- Montrer que _{}+ ( ) et que _{}^{1} ( ) est un -espace vectoriel de dimension .

3. Soient un corps de caractéristique = 2, ^{}, = P_{}^{1} l’espace projectif sur , de coordonnées projectives [ _{0} _{1}], N^{}premier avec ( ) et tel que 1 est aussi premier avec ( ). On considère pour , l’application : P_{}^{1} P_{}^{1} définie en coordonnées projectives par [ _{0} _{1}] [ _{0}^{}+ _{0}^{1} _{1} _{1}^{}]. On introduira les notations _{0} = _{+} ( _{0}), _{1} = _{+} ( _{1}), = _{1} _{0} ( ), 0 = [1 0], = [0 1] et = ^{1} ( ).

1- Montrer que est bien définie. 2- Montrer que l’ouvert _{1} est stable par f, et que _{_{1}} est ramifié en au plus 2 points rationnels. Etudier

la ramification en et montrer qu’elle est modérée (Indication : Etudier l’application ^{}Ω_{}^{1} Ω_{}^{1} )). 3- Montrer qu’il existe _{}( _{0}) tel que induit une application ( ) _{0}. Montrer que est

modérément ramifié en 0. Soit [0] le diviseur associé à 0. Calculer le diviseur ^{}([0]). En déduire ( ).

4- Calculer l’indice de ramification de en le point de ramification distinct de 0 et de .

4. Soit une courbe sur un corps et : P_{}^{1} un morphisme fini séparable de degré .

1- Soit ( ) et [ ] le diviseur associé. Calculer ^{}([ ]) et le degré de ce diviseur. 2- On suppose que estétale sauf en les points de la fibre ^{1} ( ) où est modérément ramifié. Montrer

que est un isomorphisme. 3- On suppose que est étale en dehors de 0 et et que est modérément ramifié au-dessus des

points 0 et . Montrer alors que est isomorphe à P_{}^{1}.

5. Soit une courbe hyperelliptique sur un corps de caractéristique = 2, de genre , : P_{}^{1}, définie par les données suivantes. On note [ _{0} _{1}] les coordonnées projectives sur P_{}^{1}, = _{1} _{0}, = _{0} _{1}. La courbe est réunion de 2 ouverts affines ^{}= ^{1} ( _{+} ( _{0})) et ^{}= ^{1} ( _{+} ( _{1})) avec

=  ( [ ] ( ^{2} ( ))) ^{}=  ( [ ] ( ^{2} _{1}( ))

avec les relations sur ^{}^{}, = 1 , _{1}( ) = (1 ) ^{2 +2} , = ^{+1} où est la classe de modulo ( ^{2} ) (resp. la classe de modulo ( ^{2} _{1}). On suppose que le polynôme est de degré 5.

1- Montrer que est lisse si et seulement si ^{}= 1 (on redémontrera le résultat du cours). 2- A quoi est égal ?

3- Soient _{0} = 2 et _{1} = 2 . Montrer que _{0} engendre Ω_{^{}}^{1} et que _{1} engendre Ω_{^{}}^{1}. 4- Montrer que _{0} = 2 et _{1} = 2 forment une base de ^{0}( Ω_{}^{1} ) et que Ω_{}^{1} est engendré

par ses sections globales. 5- Montrer que l’application A_{}^{2} A_{}^{2} donnée par ( ) = ( ) induit une involution de ^{}et

une involution de ^{0}( Ω_{}^{1} ) que l’on déterminera. 6- Soit maintenant une courbe projective quelconque sur un corps , de genre 2. Calculer

( ^{0}( Ω_{}^{1} ^{3} )) et donner sa valeur dans l’exemple précédent. 7- Montrer qu’on a une application canonique ( ) ^{0}( Ω_{}^{1} ^{3} ). On suppose que cette appli-

cation est injective et que est fini, montrer alors que ( ) est un groupe fini. Si est un corps fini, la courbe hyperlliptique précédente vérifie toutes les hypothèses requises. Donner une borne pour le cardinal de ( ).