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\begin{document}
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\title{Feuille d'exercices du cours de M2 2012}
\author{C.~Noot-Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}

\subsubsection*{1-Théorie des faisceaux}
\begin{enumerate}
\item Somme directe de faisceaux. Soient $\FF$ et $\GG$ $2$ faisceaux sur un espace 
toplogique $X$. Montrer que le préfaisceau $U\mapsto \FF(U)\bigoplus \GG(U)$ est un 
faisceau et satisfait la propriété universelle de la somme directe dans la catégorie des 
faisceaux.(cf sous-section précédente)
\item Soit $f$: $X\rig Y$ une application continue entre espaces topologiques. Soient 
$\FF$ un faisceau sur $X$, et $\GG$ un faisceau sur $Y$. Montrer qu'il existe des
applications naturelles $f^{-1}f_*\FF\rig \FF$ et 
$\GG \rig f_*f^{-1}\GG$.

Utiliser ces applications pour montrer qu'il existe une bijection naturelle entre les
ensembles 
$$Hom_X(f^{-1}\GG,\FF) \ {\rm et}\ Hom_Y(\GG,f_*\FF).$$
On dit que $f^{-1}$ est adjoint à gauche de $f_*$ et que $f_*$ 
est adjoint à droite de $f^{-1}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{2-Schémas}
\begin{enumerate}
\item \be \item Montrer qu'il existe un morphisme canonique $f$
$$spec(\mathbf{C}[X]\rig \mathbf{R}[X]).$$
\item Expliciter les fibres de ce morphisme. Montrer qu'elles sont finies, de 
cardinal $\leq 2$. 
\item Pour tout point $P$ de $\mathbf{C}[X]$, et $Q=f(P)$, décrire 
les corps résiduels $k(P)$ et $k(Q)$ ainsi que l'extension 
$k(P)\hrig k(Q)$ induite par $f$. 
\ee
\item \be \item Décrire les fibres du morphisme canonique 
$spec(\mathbf{Z}[X])\rig spec(\mathbf{Z})$.
%\item Retrouver le fait que $\mathbf{Z}$ est de dimension de Krull 
%égale à $2$.
\ee
%
\item Soit $X$ un schéma, pour tout $x\in X$, $\OO_x$ le germe en $x$ du faisceau 
structural, $k(x)$ le corps résiduel de cet anneau local. Soit $K$ un corps. Montrer que 
se donner un morphisme de schémas : $spec K \rig X$ est équivallent à se donner un point 
$x $ de $X$ et une inclusion: $ k(x) \rig K$.
\item Soient $X$ un schéma sur un corps $k$, $\varphi$ : $k[T_1,\ldots,T_n]\rig
\Ga(X,\OO_X)$ un morphisme de $k$-algèbres et $f$ : $X \rig \mathbf{A}^n_k$ le morphisme 
induit par $\varphi$. On appelle point rationnel de $X$ un morphisme : $spec k \rig X$ et
on note $X(k)$ l'ensemble des points rationnels de $X$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathbf{A}^n_k(k)\simeq k^n$,
\item Montrer que via l'identification donnée à la question précédente, on a 
$ f(x)=(f_1(x),\ldots,f_n(x))$, où $f_i=\varphi(T_i)$ et $f_i(x)$ est l'image de $f_i$
dans $k(x)=k$.
\end{enumerate}
%
\end{enumerate}

 
%
\end{document}
