\documentclass[11pt]{article}
%{{{
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{mathpple}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{nopageno}
\pagestyle{empty}
\hyphenpenalty=200
\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii}-}
\addtolength{\textheight}{6cm}
\addtolength{\voffset}{-3cm}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\hoffset}{-1.4cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************commandes****************************
\input{commandes.sty}
%
%************************************************************
%
%**********************commandes locales*********************
%*************************************************************
%
\sloppy
\begin{document}
%
\thispagestyle{empty}
\title{Feuille d'exercices du cours de M2 2012}
\author{C.~Noot-Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}

\subsubsection*{Composantes irréductibles de schémas}
\begin{enumerate}
\item \be Soit $k$ un corps. 
\item Soit $Y=V(y-x^2)\hookrightarrow \mathbf{A}^2_k$. Montrer 
que $Y$ est irréductible et que $\Ga(Y,\OO_Y)$ est isomorphe à $k[u]$. On dit 
alors que $u$ est un paramètre de $Y$.
\item Soit $Z=V(xy-1)$. Montrer que $Z$ est irréductible, et que 
$\Ga(Z,\OO_Z)$ n'est pas isomorphe à $k[u]$. En déduire que $Z$ n'est pas isomorphe 
à $Y$. 
\ee
\item Soit $k$ un corps. 
\be \item On considère le polynôme 
$$h(x,y,z)=x^3+xy^2+xz^2-yx^2-y^3-yz^2.$$ Montrer que 
$h(x,x,z)=0$. En déduire que $h$ n'est pas irréductible 
dans $k[x,y,z]$ (on pourra tenter de diviser $h$ par le polynôme $x-y$). 
\item On considère $Z=V(h)\hookrightarrow \mathbf{A}^3_k$. Montrer que 
$Z$ est réunion de deux composantes irréductibles qui sont respectivement une 
droite et une quadrique.
\item Quel est le point générique de chaque composante irréductible ?
\item Montrer qu'il existe un unique point $t$ dans l'intersection de ces deux composantes 
tel que $x=y=1$ et que $k(t)$ est de degré $2$ sur $k$.
\ee
\item Soit $k$ un corps. On considère la courbe 
$$Z=V((y-x^2)k[x,y,z]+(z-xy)k[x,y,z])\hookrightarrow \mathbf{A}^3_k.$$ Montrer que 
$\Ga(Z,\OO_Z)$ est isomorphe à  $k[u]$ et que $Z$ est irréductible.
\item  Soit $k$ un corps. On considère la courbe 
$$Z=V((yz-x^2)k[x,y,z]+(xz-x)k[x,y,z])\hookrightarrow \mathbf{A}^3_k.$$
Montrer que $Z$ a $3$ composantes irréductibles. Donner le point générique de chaque
composante et le corps des fonctions de chacune de ces composantes irréductibles 
(c'est-à-dire l'anneau local au point générique de chaque composante irréductible).
%
%\subsubsection*{Schémas projectifs}
%\item \be Soient $[a_0,a_1]$ $[b_0,b_1]$ des coordonnées projectives 
%sur 

\end{enumerate}


%

 
%
\end{document}
