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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\title{Feuille d'exercices 3 du cours de M2 2012}
\author{C.~Noot-Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
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\subsubsection*{}
\begin{enumerate}
\item 
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $K=k(t)$ et $X$ la courbe 
sur $K$ définie par l'équation $y^2=x^p-t$. 
\be \item Montrer que $X$ est irréductible.
\item Calculer $B=\Ga(X,\OO_X)$. 
\item Montrer que si $p\neq 2$, $X$ a un unique point fermé $z$ singulier, correspondant 
à un idéal maximal $\mathcal{M}$ de $B$. Quel est le degré de l'extension $[K(z):K]$ ?
\item Calculer la dimension du $K(z)$ espace vectoriel $\mathcal{M}/\mathcal{M}^2$.
\item Donner une équation de la fermeture projective $Y$ de $X$ dans $\mathbf{P}^2_K$ et 
Donner les points singuliers de $Y$. 
\ee
%

\item 
 Soient $k$ un corps parfait, $C$ une conique de $\mathbf{P}^2_k$ définie par un polynôme homogène de 
degré $2$ : $F(x,y,z)$ (notation: $C=V_+(F)$). 
\be \item Montrer que $C$ est réduit (resp. irréductible) si et seulement si $F$ 
 n'est pas un carré modulo $k^*$ (resp. est irréductible).
\item On suppose désormais que $C$ contient un point rationnel (i.e. un élément de $X(k)$). 
\be \item Montrer que si $P$ est un point singulier, alors $C$ est isomorphe à 
un sous-schéma projectif du type 
$V_+(G)$ où $G$ est un polynôme homogène de degré $2$ de $k[x,y]$.
\item On suppose que $C$ est lisse au point $P$. Soit $D$ une droite 
de $\mathbf{P}^2_k$ passant par $P$. Montrer que $D$ rencontre $C$ en un autre 
point rationnel $Q$. Montrer que $C$ contient un 3e point rationnel 
$R$ et que $C$ est isomorphe à 
$V_+(ax^2+yz)$. En déduire que $C$ est réunion de $2$ droites distinctes ou que 
$C$ est isomorphe à $\mathbf{P}^1_k$. Indication: on pourra considérer les droites
tangentes à la courbe aux points $P$ et $Q$.\ee
\item On suppose que $char(k)\neq 2$. Montrer que $C\simeq V_+(ax^2+by^2+cz^2)$
et montrer que $C$ est lisse si et seulement si $abc\neq 0$.
\ee

\item
Soit $X$ le sous-schéma de l'espace projectif $\mathbf{P}^2_{\mathbf{Z}}$ (muni des
coordonnées homogènes $[x,y,z]$) défini par 
le polynôme homogène $xy-nz^2$ pour $n$ un entier naturel.
 Déterminer la fibre de $X$ au-dessus de tout nombre premier $p$, les composantes
irréductibles de cette fibre. Trouver les singularités de cette fibre.

\end{enumerate}


%

 
%
\end{document}
