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\begin{document}
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\title{Feuille d'exercices no 4 du cours de M2 2012}
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
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%\subsubsection*{2-Généralités sur les schémas}
\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un corps. Sur $X=\mathbf{P}^n_k$, on considère le faisceau des formes 
différentielles $\Omega^1_X$. Montrer que 
                   $$\Omega^1_X\simeq \OO_X(-n-1).$$
\item Vérifier par un calcul à la Cech sur $X=\mathbf{P}^1_k$ la cohomologie du faisceau 
$\Omega^1_X$.
\item {\bf Automorphismes de l'espace projectif}. Soit $k$ un corps. On rappelle que le groupe de Picard de 
$\mathbf{P}^n_k$, c'est-à-dire, le groupe des faisceaux inversibles sur 
$\mathbf{P}^n_k$ à isomorphisme 
près, est isomorphe à $\mathbf{Z}$ et engendré par $\OO(1)$.
\be\item Soit $f$ un automorphisme de $\mathbf{P}^n_k$. Montrer que 
$f^*\OO(1)\simeq \OO(1)$.
\item Calculer $\Ga(X,\OO(1))$ par un calcul à la Cech et montrer que 
$f$ induit un élément de $GL_{n+1}(k)$.
\item Réciproquement, montrer que tout automorphisme du $k$-espace vectoriel $\Ga(X,\OO(1))$
induit un automorphisme de $\mathbf{P}^n_k$.\ee
\item Soit $k$ un corps, $F=x^n+y^n+z^n$, où $n$ est premier à la car. de $k$. Soit 
$X=V_+(F)\subset \mathbf{P}^2_k$, muni des coordonnées homogènes $[x,y,z]$. 
Est-ce que $X$ est lisse ? Déterminer $K(X)$ le corps des
fonctions de $X$. Déterminer $\Ga(X,\Omega^1_X)$.
\item \be \item Soient $m,n$ deux entiers naturels, $N=mn+m+n$, $k$ un corps, $ \mathbf{P}^n_k$ muni
des coordonnées homogènes $[u_0,\cdots,u_n]$, $\mathbf{P}^m_k$ muni des coordonnées
homogènes $[v_0,\cdots,v_m]$.
Montrer qu'on peut définir
$$S \,\colon \, \mathbf{P}^n_k\times \mathbf{P}^m_k \rig \mathbf{P}^{N}_k,$$
qui envoie le point de  $\mathbf{P}^m_k(l)\times \mathbf{P}^n_k(l)$ de coordonnées 
$([u_0,\cdots,u_n],[v_0,\cdots,v_m])$ vers le point de coordonnées
$[u_0v_0,u_0,v_1,\ldots,u_nv_m]$ dans l'ordre lexicographique, pour toute extension de
corps $l$ de
$k$.
\item Montrer que $S$ est une immersion fermée. Il s'agit du plongement de Segre.
\item Soit $X$ un schéma sur $spec\, k$, $\LL$, $\MM$ deux faisceaux amples inversibles
sur $X$. Montrer que $$\LL\ot_{\OO_X}\MM$$ est un faisceau ample inversible.
\item Montrer que la surface d'équation $xy-zw=0$ est l'image du plongement de Segre
de $\mathbf{P}^1_k\times \mathbf{P}^1_k$ dans $\mathbf{P}^3_k$.
\ee




\end{enumerate}
%
\end{document}
