Représentations galoisiennes associées aux courbes

hyperelliptiques lisses^{∗}

C. Huyghe and N. Wach

May 21, 2014

Abstract

In 2003, Kedlaya gave an algorithm to compute the zeta function associated to a hyperelliptic curve over a finite field, by computing the rigid cohomology of the curve. Edixhoven remarked that it is actually possible to compute the crystalline cohomology of the curve, which is a lattice in the rigid cohomology. Following a method of Wach, we explain how to use this lattice to compute the (φ, Γ)-module associated to an hyperelliptic curve.

Résumé

En 2003, Kedlaya a donné un algorithme pour calculer la fonction zêta d’une courbe hyperelliptique sur un corps fini, en calculant la cohomologie rigide de la courbe. Edixhoven a remarqué qu’on pouvait en fait calculer la cohomologie cristalline de la courbe, qui est un réseau dans la cohomologie rigide. Nous expliquons comment utiliser ce réseau pour calculer le (φ, Γ)-module associé à une courbe hyperelliptique, en suivant une méthode due à Wach.

Table des matières

1 Conventions, notations  3
2 Méthode de calcul du complexe de de Rham d’une courbe  4
3 Cohomologie de de Rham des courbes hyperelliptiques  7
4 Action du Frobenius et (φ, Γ)-module associé  13

∗Les deux auteurs ont bénéficié du soutien du projet CETHop : ANR-09-JCJC-0048-01, coordonné par Xavier Caruso, projet de l’Agence Nationale de la Recherche.

MSC classification 2010 : 11S23, 14F30, 14F40

5 Application au cas des courbes hyperelliptiques  17

Introduction

Soient k un corps fini de caractéristique p différente de 2, de cardinal p^{n}, W = W(k), l’anneau des vecteurs de Witt de k, K le corps des fractions de W, S le schéma Spec W, X une courbe hyperelliptique lisse sur W(k), de genre g, X_{k}, resp. X_{K} la fibre spéciale, resp. la fibre générique de X. Le but de ce texte est d’expliquer comment calculer modulo p^{i} le (φ, Γ)-module associé à la courbe X_{K}, c’est-à-dire le (φ, Γ)-module associé à la représentation galoisienne H_{et}^{1}(X\overline{K}, Q_{p}).

La méthode générale modulo p^{i} exposée en 5.1 repose sur le calcul par Kedlaya [Ked01], de la cohomologie rigide d’une courbe hyperelliptique et de l’action du Frobenius sur cette cohomologie. Edixhoven a ensuite remarqué dans [Edi03] que l’on pouvait calculer un réseau (en fait la cohomologie cristalline) dans la cohomologie rigide des courbes hyperelliptiques, peut-être inspiré par un argument de Katz dans le cas des courbes elliptiques qu’on trouve dans A1.2 de [Kat73]. Bogaart a enfin donné la démonstration du résultat d’Edixhoven dans un preprint non publié [vdB08]. Cette approche a été systématisée par Lauder [Lau06], ainsi que par Abbott, Kedlaya et Roe [AKR10]. Même si on peut calculer la cohomologie cristalline d’une courbe hyperelliptique, on ne dispose pas cependant de calcul purement cristallin du Frobenius : pour ce faire, il faut utiliser la méthode de Kedlaya. Le calcul du (φ, Γ)-module associé à la courbe X_{K} fait intervenir un algorithme dû à Wach [Wac97] et nécessite de disposer d’un réseau stable par le Frobenius dans la cohomologie rigide de X_{k}, d’où l’intérêt de la remarque d’Edixhoven. Le résultat que nous prouvons est le suivant : connaissant la matrice du Frobenius dans une base adaptée à la filtration de Hodge de la cohomologie cristalline, il est possible de déterminer algorithmiquement le (φ, Γ)-module associé à la courbe X. Si la courbe est de genre g, la complexité de l’algorithme calculant le (φ, Γ)-module modulo (p^{i}, T^{j}) est au plus

O(((log p)^{2+ε} g^{2} + (log p)^{1+ε} g^{ω} )n^{1+ε} i^{2+ε} j),

où ω représente le plus petit exposant pour la multiplication des matrices. Il faut y rajouter la complexité de l’algorithme de Kedlaya pour calculer la matrice de Frobenius modulo p^{i+1} qui est O(p^{1+ε} n^{1+ε} g^{2+ε} i^{2+ε}) et celle d’un changement de base.

Voici le contenu de cet article. Après une première partie de notations, nous donnons dans une deuxième partie une stratégie générale pour calculer la cohomologie de de Rham d’une courbe projective lisse sur W. En effet, d’après le théorème de comparaison de Berthelot, cette cohomologie de de Rham est canoniquement isomorphe à la cohomologie cristalline de la courbe X_{k}. En particulier, cela nous donne un réseau stable par le Frobenius dans la cohomologie rigide de X_{k}. Cette stratégie de calcul reprend celle de Bogaart-Edixhoven et est exposée ici dans le cadre des catégories dérivées. L’argument est simple : si on twiste le complexe de de Rham de X par une puissance suffisante du faisceau inversible associé au diviseur à l’infini, on obtient un complexe acyclique pour le foncteur sections globales. Et le quotient des deux complexes est un complexe à support au point à l’infini. Du coup, tout est facilement calculable dans la catégorie dérivée des complexes de W-modules, pourvu que l’on sache déterminer les sections globales du module des différentielles. C’est ce que nous faisons dans la troisième partie.

Dans la quatrième partie, nous détaillons comment trouver le (φ, Γ)-module associé à une courbe. On considère le produit tensoriel sur W de l’anneau S = W[[T]] et du W-module H_{cris}^{1}(X), sur lequel on définit une action naturelle de φ; l’algorithme, déjà expliqué dans [Wac97], consiste à déterminer la matrice d’un générateur de Γ par dévissages modulo les puissances de p et les puissances de T. Il suffit alors de calculer l’inverse de la matrice du Frobenius divisé modulo p.

Nous appliquons ces résultats au cas des courbes hyperelliptiques dans la cinquième partie. L’algorithme donnant le (φ, Γ)-module à une précision (p^{i}, T^{j}) fixée reposant sur l’algorithme de Kedlaya est donné en 5.1.

Nous remercions le Referee pour ses remarques constructives sur divers aspects de ce texte, ainsi que Jérémy Leborgne, et Marcela Szopos qui nous ont aidées à éclaircir les problèmes de complexité.

1 Conventions, notations

Si X est un S-schéma, nous noterons X_{0} la fibre spéciale et X_{K} la fibre générique.

Une courbe X sur S est par définition un S-schéma noetherien de dimension 1 qui est de type fini sur S, irréductible, dont les fibres sur S (c’est-à-dire la fibre spéciale et la fibre générique) sont réduites et connexes, géométriquement réduites et géométriquement connexes. On suppose de plus qu’il existe une section i_{s} : S ↪ X correspondant à un diviseur relatif de degré 1 sur S.

Sous ces hypothèses (3.3.21 de [Liu02]), H^{0}(X_{0}, O_{X_{0}}) = k et H^{0}(X_{K}, O_{X_{K}}) = K.

On dit qu’une courbe X est de genre g si la fibre générique et la fibre spéciale sont de genre arithmétique égal à g. Dans le cas où X est lisse, ce qui sera toujours le cas ici, l’égalité de ces deux nombres est automatique, par invariance de la caractéristique d’Euler Poincaré (5.3.28 de [Liu02]), et platitude de O_{X} sur W. De plus, si X est lisse, X est un schéma intègre.

Dans cet article, la catégorie D^{b}(W) désignera la catégorie dérivée des complexes de Wmodules sur une courbe X, à cohomologie bornée.

Nous disons qu’une courbe lisse X vérifie la condition de Mazur explicitées dans l’appendice de [Maz73], si

∀i ∈ {0, 1}, ∀j ∈ {0, 1} H^{i}(X, Ω_{X}^{j}) est un W module libre .  (1)

Si ces conditions sont vérifiées, alors, par définition, les modules E_{1}^{j,i} de la suite spectrale de Hodge vers de Rham sont des W-modules libres et donc la suite spectrale de Hodge vers de Rham dégénère d’après loc. cit..

2 Méthode de calcul du complexe de de Rham d’une courbe

Dans cette section X est une courbe lisse de genre g comme définie en 1. Si C est le complexe de de Rham

C : 0 → O_{X} → Ω_{X}^{1} → 0,

dont les termes sont en degré 0 et 1, la cohomologie de de Rham de X est la cohomologie du complexe RΓ(X, C). Nous considérons aussi le complexe de de Rham twisté C(nD) où D est un diviseur de X

C(nD) : 0 → O_{X}((n − 1)D) → Ω_{X}^{1}(nD) → 0.

La filtration bête du complexe C induit la suite spectrale de Hodge vers de Rham. La proposition suivante rappelle un critère de dégénerescence standard.

Proposition 2.1. (i) Sous nos hypothèses, la condition de Mazur 1 est vérifiée. En particulier, la suite spectrale de Hodge vers de Rham dégénère au niveau E_{1}. De plus H^{0}(X, O_{X}) = W.

(ii) Les modules H_{DR}^{0}(X) et H_{DR}^{2}(X) s’identifient à W, le module H_{DR}^{1}(X) est un W-module libre.

Démonstration.Le terme général de la suite spectrale de Hodge vers de Rham est E_{1}^{j,i} = H^{i}(X, Ω_{X}^{j}), les différentielles de la suite spectrale proviennent des flèches canoniques H^{i}(X, Ω_{X}^{j}) → H^{i}(X, Ω_{X}^{j+1} ) et la dégenerescence de la suite spectrale équivaut, dans le cas d’une courbe lisse X, à la nullité de la flèche H^{1}(X, O_{X}) → H^{1}(X, Ω_{X}^{1}).

Montrons que les modules H^{i}(X, Ω_{X}^{j}) sont des W-modules libres. Ceci résulte par exemple du lemme 3.1 de [vdB08], dont nous reproduisons la démonstration ici. D’après le théorème de semi-continuité (5.3.20 de [Liu02]), il suffit de vérifier que les groupes de cohomologie H^{i}(X_{k}, Ω_{X_{k}}^{j}) et H^{i}(X_{K}, Ω_{X_{K}}^{j}) ont même dimension pour i, j ∈ {0, 1}. La caractéristique d’Euler-Poincaré des faisceaux O_{X_{K}} et O_{X_{0}} est la même. De plus, H^{0}(X_{0}, O_{X_{0}}) = k et H^{0}(X_{K}, O_{X_{K}}) = K ont même dimension sur k et K respectivement, de sorte que H^{1}(X_{0}, O_{X_{0}}) et H^{1}(X_{K}, O_{X_{K}}) ont aussi même dimension. Par dualité de Serre, les modules H^{i}(X_{0}, Ω_{X_{0}}^{1}) et H^{i}(X_{K}, Ω_{X_{K}}^{1}) ont aussi même dimension. Ainsi la courbe X vérifie la condition de Mazur.

Considérons maintenant M = H^{0}(X, O_{X}) : c’est un W-module libre M tel que M ⊗ K est isomorphe à H^{0}(X_{K}, O_{X_{K}}) = K, et qui est donc isomorphe à W. Par dualité de Serre (III, §11 de [Har66]) et compte tenu du fait que H^{1}(X, Ω_{X}^{1}) est un W-module libre, nous trouvons que H^{1}(X, Ω_{X}^{1}) ≃ W. Ceci mis ensemble montre (i). La dégénerescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham implique que l’on a une suite exacte courte

0 → H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) → H_{DR}^{1}(X) → H^{1}(X, O_{X}) → 0,

de sorte que le W-module H_{DR}^{1}(X) est libre. De plus H_{DR}^{0}(X) ≃ H^{0}(X, O_{X}) ≃ W, et H_{DR}^{2}(X) ≃ H^{1}(X, Ω_{X}^{1}) = W.

Considérons maintenant un diviseur relatif D sur X. Alors nous pouvons compléter la proposition précédente par la

Proposition 2.2. i Si D est de degré > 0, alors H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(D)) est un W-module libre et H^{1}(X, Ω_{X}^{1}(D)) = 0.

ii Si D est de degré ≥ 1 et si n est un entier tel que (n − 1)deg(D) > 2g − 2, alors H^{0}(X, O_{X}((n − 1)D)) est un W-module libre et le complexe C(nD) est à termes acycliques pour le foncteur Γ.

Démonstration.Là encore, nous suivons 3.1 de [vdB08]. Si D est de degré > 0, alors dim H^{0}(X_{0}, O_{X_{0}}(−D)) = dim H^{0}(X_{K}, O_{X_{K}}(−D)) = 0 et donc, par dualité de Serre, dim H^{1}(X_{0}, Ω_{X_{0}}^{1}(D)) = dim H^{1}(X_{K}, Ω_{X_{K}}^{1}(D)) = 0, ce qui entraîne comme précédemment que H^{1}(X, Ω_{X}^{1}(D)) = 0 car ce module est un W-module de type fini. Par invariance de la caractéristique d’Euler-Poincaré, il y a donc aussi égalité des dimensions des H^{0}(X_{0}, Ω_{X_{0}}^{1}(D)) et de H^{0}(X_{K}, Ω_{X_{K}}^{1}(D)), d’où le fait que H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(D)) est un W-module libre et (i). En particulier, avec les hypothèses de (ii), on sait que H^{1}(X, Ω_{X}^{1}(nD)) = 0. Le raisonnement est identique pour (ii), puisque H^{0}(X_{0}, Ω_{X_{0}}^{1}(−(n − 1)D)) (resp. H^{0}(X_{K}, Ω_{X_{K}}^{1}(−(n − 1)D))) est nul, car le degré de Ω^{1}(−(n − 1)D) est < 0. Par dualité de Serre, H^{1}(X_{0}, O_{X_{0}}((n − 1)D)) (resp. H^{1}(X_{K}, O_{X_{K}}((n − 1)D))) est nul, et ceci montre que H^{1}(X, O_{X}((n − 1)D)) = 0. Par invariance de la caractéristique d’Euler-Poincaré, on obtient aussi que H^{0}(X_{0}, O_{X_{0}}((n − 1)D)) et H^{0}(X_{K}, O_{X_{K}}((n − 1)D)) ont même dimension et donc que H^{0}(X, O_{X}((n − 1)D)) est un W-module libre.

Remarque. On notera que la différentielle

d_{1}^{{0,0}} : H^{0}(X, O_{X}((n − 1)D)) → H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(nD)),

n’est pas nulle en général (par exemple pour P_{S}^{1}, n = 2, D le point à l’infini) et donc que la suite spectrale associée à la filtration bête du complexe C(nD) ne dégénère pas en général.

Fixons maintenant une section i_{s} : S ↪ X correspondant à un diviseur relatif de degré ≥ 1 et n strictement supérieur à 2g − 2. La suite exacte de complexes

0 → C → C(nD) → C(nD)/C → 0,

donne lieu à un triangle distingué (T’) dans D^{b}(W).

Si t est un paramètre local définissant la section s, le complété de O_{X,t} pour la topologie tadique s’identifie à l’anneau de séries formelles W[[t]] (chap. 8, §5 Anneaux locaux réguliers, thm 2 de [Bou83]) et le complexe de faisceaux gratte-ciels C(nD)/C au complexe

⨁_{i=1}^{n−1} Wt^{−i} →^{d} ⨁_{i=1}^{n} Wt^{−i} dt.

Comme d(t^{−i} ) = (−i)t^{−(i+1)} , le complexe RΓ(X, C(nD)/C) est concentré en degré 1, où il s’identifie à

coker(d) = ⨁_{i=1}^{n} (W/(i − 1)W)t^{−i} dt.  (2)

En outre, le complexe RΓ(X, C(nD)) est représenté par le complexe

0 → Γ(X, O_{X}((n − 1)D)) → Γ(X, Ω_{X}^{1}(nD)) → 0.

Finalement, pour calculer la cohomologie de de Rham, on dispose d’un triangle distingué

RΓ(X, C) → RΓ(X, C(nD)) → RΓ(X, C(nD)/C) →^{+} RΓ(X, C).  (3)

Le but de cet article est de décrire ce triangle dans le cas des courbes hyperelliptiques, pour D correspondant au point à l’infini et n = 2g, où g est le genre de la courbe. Pour les calculs, nous utiliserons le lemme suivant.

Lemme 2.3. Soient U un ouvert affine de X, supposé irréductible, tel que U_{0} soit un ouvert non vide de la fibre spéciale X_{0}, et E un faisceau localement libre de rang fini sur X.

(i) Soit f ∈ E(U) tel qu’il existe l ∈ N tel que p^{l}f ∈ E(X), alors f ∈ E(X).

(ii) De plus E(X) ⊂ E(U) et le quotient est sans p-torsion.

(iii) Soit M un réseau de E(X), tel que E(U)/M soit sans p-torsion, alors M = E(X).

Démonstration.Notons j l’inclusion de U ↪ X. Remarquons que, puisque X et X_{0} sont des schémas intègres, les hypothèses impliquent que

E/pE ↪ j_{∗}E_{|U}/pE_{|U}.

En effet, X_{0} est recouvert par des ouverts affines sur lesquels E/pE est un O_{X_{0}}-module libre, si bien que l’assertion se ramène à la même assertion pour E = O_{X}, qui résulte de l’intégrité de X_{0} et du fait que U_{0} est dense dans X_{0}. En passant aux sections globales, et en tenant compte du fait que l’ouvert U est affine, on a une inclusion

r : E(X)/pE(X) ↪ E(U)/pE(U).

Soit f ∈ E(U) comme dans l’énoncé, tel que p^{l}f ∈ E(X) avec l ≥ 1. Nous procédons par récurrence sur l, le cas l = 0 étant évident. Posons f′= p^{l−1} f ∈ E(U). Alors h = pf′∈ E(X), et r(h) = 0, ce qui montre qu’il existe h′ ∈ E(X) tel que h = pf′ = ph′, or E(X) est sans p-torsion car E est localement libre, de sorte que ceci implique que f′ = h′ ∈ E(X). Ainsi p^{l−1} f ∈ E(X) et l’hypothèse de récurrence entraîne que f ∈ E(X). Le (ii) résulte du fait qu’on a une inclusion

E ↪ j_{∗}E_{|U},

d’où l’inclusion des sections globales. Le fait que le quotient soit sans p-torsion est une simple traduction de (i). Le (iii) vient du fait que l’on a une injection E(X)/M ↪ E(U)/M, de sorte que E(X)/M est sans torsion et comme M est un réseau de E(X), on a l’égalité M = E(X).

Nous aurons aussi besoin de quelques considérations de base à propos de l’action de l’involution hyperelliptique. Soient V une W-algèbre, M un V -module muni d’une action V -linéaire d’une involution u (telle que u^{2} = Id). On pose alors :

M^{−} = {x ∈ M | u(x) = −x}, M^{+} = {x ∈ M | u(x) = x}.

Comme car(k) ≠ 2, on a un isomorphisme canonique

\xymatrix{M \ar[r]^{∼} & M^{+} ⨁ M^{−} \\ x \ar@{|->}[r] & (x + u(x), x − u(x)),}

et le foncteur M ↦ M^{−} est exact, de même que M ↦ M^{+} . Nous en déduisons le fait suivant. Soit V → V′ un morphisme de W-algèbres. Si M est muni d’une involution V -linéaire, u, alors 1 ⊗ u est une involution V′-linéaire du V′-module M ⊗_{V} V′, et le morphisme canonique M^{−} ⊗_{V} V′→ (M ⊗_{V} V′)^{−} est un isomorphisme (resp. avec M^{+} ).

3 Cohomologie de de Rham des courbes hyperelliptiques

3.1 Equations

3.1.1 Données

Soit P un polynôme unitaire de W[X] de degré impair d = 2g + 1, tel que P est séparable comme polynôme à coefficients dans K et tel que la classe de P dans k[X] est aussi séparable. On note P(X) = X^{d} + ∑ _{l=1}^{d−1} a_{l}X^{l}.

Définissons, suivant 7.4.24 de [Liu02], la courbe hyperelliptique X suivante. Soient [u, v] les coordonnées projectives sur P_{W}^{1}, x = v/u une coordonnée fixée sur D_{+} (u), x_{1} = u/v une autre fixée sur D_{+} (v). La courbe X est un revêtement h de degré 2 de P_{W}^{1}, réunion de deux ouverts affines U = h^{−1} (D_{+} (u)) et W = h^{−1} (D_{+} (v)) donnés par

U = SpecW[x, y]/y^{2} − P(x),
V = SpecW[x_{1}, t]/t^{2} − P_{1}(x_{1}),

où l’on a posé P_{1}(x_{1}) = x_{1}^{d+1} P(1/x_{1}) = x_{1}R_{1}(x_{1}), t = y/x^{g+1} .

Les conditions sur P assurent que la courbe X ainsi définie est lisse et irréductible. De même, les fibres génériques et spéciales sont lisses, connexes et géométriquement connexes.

Nous pouvons donc appliquer les résultats de 2. On note X_{0} la fibre spéciale de X et X_{K} la fibre générique de X.

On vérifie facilement que comme dans le cas d’un corps le lieu de ramification de h est V (P) ⋃ V (x_{1}).

Dans la suite nous noterons A (resp. A′)la W-algèbre W[x, y]/y^{2} − P(x), qui est un W[x]- module libre de rang 2 de base 1, y.

L’application définie sur U par ι(x, y) = (x, −y) et sur V par ι(x_{1}, t) = (x_{1}, −t) définit une involution de X dont les points fixes sont le lieu de ramification de h.

3.1.2 Situation en l’infini

Par convention, le point à l’infini noté ∞ de P_{W}^{1} correspond à x_{1} = 0, et le point à l’infini aussi noté ∞ de X est le point de V vérifiant x_{1} = 0. Remarquons que R_{1}(x_{1}) = 1 + ∑ _{l=1}^{d} a_{d−l} x_{1}^{l} est de valuation 0 en x_{1}, en d’autres termes P′_{1} est inversible de l’anneau local O_{X,∞} . Un générateur du faisceau localement libre Ω_{V}^{1} est dx_{1}/t d’après 6.4.14 de [Liu02]. Dans le module Ω_{V,∞}^{1} on a la relation dx_{1}/2t = (P′(x_{1})^{−1} )dt de sorte que t est aussi un paramètre à l’infini sur X. Donnons quelques formules

\begin{matrix}\frac{dx}{2y} = −\frac{x_{1}^{g−1} dx_{1}}{2t} ∈ Ω_{V}^{1}, \\ x = x_{1}^{−1} = \frac{1}{t^{2}}R_{1}(x_{1}), \\ R_{1}(x_{1}) = x_{1}^{2g+1} P(x). \end{matrix}  (4)

Commençons par calculer les sections globales de Ω_{X}^{1}, Ω_{X}^{1}(2g∞ ) et préciser l’action de l’involution hyperelliptique ι sur ces modules.

3.2 Calculs de sections globales

Proposition 3.2.1. Le W-module H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) est libre de rang g de base

ω_{i} = \frac{x^{i}dx}{y} = −\frac{x_{1}^{g−1−i} dx_{1}}{t}, 0 ≤ i ≤ g − 1.

Sur un corps, cela résulte de 7.4.26 de [Liu02]. D’après 6.4.14 de [Liu02], le faisceau Ω_{U}^{1} (resp. Ω_{V}^{1}) est libre, engendré par ω_{0} (resp. ω_{g−1} ) de sorte que les éléments considérés sont clairement des éléments linéairement indépendants de H^{0}(X, Ω_{X}^{1}). Soit maintenant M le sous-module des sections globales engendré par les ω_{i} pour 0 ≤ i ≤ g − 1, qui est a priori un réseau de H^{0}(X, Ω_{X}^{1}). Alors Ω_{X}^{1}(U)/M est libre sur W, de base les x^{j}ω_{0} pour j ≥ g et les x^{j}yω_{0} pour j ≥ 0, si bien que M = H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) d’après le lemme 2.3.

En particulier, ι agit par −Id sur les sections globales de Ω_{X}^{1}. On en déduit le

Corollaire 3.2.2. L’involution ι agit par −Id sur H_{DR}^{1}(X).

Démonstration.D’après la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham, on a une suite exacte courte 0 → H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) → H_{DR}^{1}(X) → H^{1}(X, O_{X}) → 0. Nous venons de voir que ι agit par −Id sur H^{0}(X, Ω_{X}^{1}). Le module H^{1}(X, O_{X}) est le dual de Poincaré de H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) et donc ι agit aussi par −Id sur ce module. Il s’ensuit que ι agit par −Id sur H_{DR}^{1}(X).

Proposition 3.2.3. (i) Soit n ∈ N tel que n ≥ 2g − 1, le W-module H^{0}(X, O_{X}(n∞ )) est libre de base les x^{i} pour i ∈ {0, …, [n/2]} et les yx^{i} pour i ∈ {0, …, [(n − 1)/2] − g}.

(ii) En particulier, le W-module H^{0}(X, O_{X}((2g − 1)∞ )) est libre de base les x^{i} pour i ∈

{0, …, g − 1} et

H^{0}(X, O_{X}((2g − 1)∞ )^{−} = 0.

Démonstration.Comme le faisceau O_{X}(n∞ ) est localement libre, le module H^{0}(X, O_{X}((2g − 1)∞ )) est un W-module libre. Pour n ≥ 2g − 1, la formule de Riemann Roch donne qu’il est de rang n + 1 − g = [n/2] + 1 + [(n − 1)/2] − g + 1, qui est le nombre d’éléments considérés. Ces éléments sont bien des sections globales de H^{0}(X, O_{X}(n∞ )) puisque, en vertu de 4,

\{ \begin{matrix}si 0 ≤ i ≤ [ \frac{n}{2}] , x^{i} = \frac{R_{1}(x_{1})^{i}}{t^{2i}} \\ si 0 ≤ i ≤ [ \frac{n}{2}] − g − 1, x^{i}y = \frac{R_{1}(x_{1})^{g+1+i}}{t^{2(i+g)+1}} . \end{matrix}

Notons alors M le sous W-module de H^{0}(X, O_{X}(n∞ )) engendré par ces sections. Comme O_{X}(U)/M est un W-module libre, on voit grâce à 2.3, que M = H^{0}(X, O_{X}(n∞ )). L’assertion (ii) n’est qu’un cas particulier de (i).

Nous en déduisons le corollaire.

Corollaire 3.2.4.

∀0 ≤ i ≤ g − 2, x^{i}dx ∈ Γ(X, Ω_{X}^{1}(2g∞))^{+} .

Démonstration.En dérivant les sections globales de O_{X}((2g − 1)∞ ), on trouve des sections globales de Ω_{X}^{1}(2g∞), lesquelles sont invariantes sous l’action de l’involution ι. De plus, en appliquant le lemme 2.3, on voit que si ix^{i−1} dx ∈ Γ(X, Ω_{X}^{1}(2g∞)), alors x^{i−1} dx ∈ Γ(X, Ω_{X}^{1}(2g∞)).

Remarque. Au passage, on constate que si la suite spectrale associée au complexe filtré C(2g∞ ) ne dégénère pas, la suite spectrale obtenue à partir de celle-ci après application de ι = −Id dégénère car car(k) ≠ 2. L’aboutissement de cette suite spectrale est la partie de RΓ(X, C(2g∞ )) sur laquelle ι agit par −Id.

Proposition 3.2.5. Le W-module H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞))^{−} est libre de rang 2g de base

ω_{i} = \frac{x^{i}dx}{y} = −x_{1}^{2g−1−i} R_{1}(x_{1})^{g} \frac{1}{t^{2g}} \frac{dx_{1}}{t}, 0 ≤ i ≤ 2g − 1.

Démonstration.Les éléments considérés sont clairement des sections globales de Ω_{X}^{1}(2g∞)), qui est un W-module sans torsion, puisque le faisceau Ω_{X}^{1}(2g∞)) est localement libre de rang 1. Calculons le rang de ce module. En passant à la suite exacte longue de cohomologie de la suite exacte courte

0 → Ω_{X}^{1} → Ω_{X}^{1}(2g∞) → t^{−2g} O_{X,∞} dt /O_{X,∞} dt → 0,

et en appliquant le foncteur exact ι = −Id, on trouve la suite exacte

0 → H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) → H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞))^{−} →^{v} ( ⨁_{j=1}^{2g} W t^{−j} dt)^{−} → H^{1}(X, Ω_{X}^{1})^{−} .  (5)

Le terme H^{1}(X, Ω_{X}^{1}) est dual de H^{0}(X, O_{X}) = W et donc ι agit trivialement sur ce module si bien que le dernier terme de la suite est nul. Le troisième terme de cette suite exacte est ⨁ _{i=1}^{g} W.t^{−2i} dt puisque ι(dt) = −dt. Le rang cherché est donc 2g.

Notons M le sous-module engendré par les éléments ω_{i}, ce module est de rang 2g car les ω_{i} sont linéairement indépendants sur W dans Ω_{X}^{1}(U). Le même raisonnement que précédemment montre que M = H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞)) et finalement que le rang de H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞)) est 2g.

Remarquons que v(ω_{i}) = 0 si 0 ≤ i ≤ g − 1.

Dans tous les cas portant sur la caractéristique de k, le module M = H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞)) est libre de rang 3g − 1 par le théorème de Riemann-Roch et l’énoncé qui suit se démontre exactement de la même façon que le précédent.

Proposition 3.2.6. Si g ≥ 2

H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞)) = ⨁_{i=0}^{2g−1} W · \frac{x^{i}dx}{y} ⨁ ⨁_{i=0}^{g−2} W · x^{i}dx.

Pour une courbe elliptique, seul le premier terme apparaît. On remarquera que les éléments x^{i}dx sont invariants par l’involution hyperelliptique ι.

3.3 Calcul explicite de la cohomologie de de Rham des courbes hyperelliptiques

3.3.1 Calcul du passage au complété de l’anneau local en l’infini

Décrivons d’abord explicitement l’homomorphisme d’anneaux locaux

O_{X∞} → W[[t]].

Notons C = O_{X∞} l’anneau local en ∞ de la courbe X, de sorte que

C = [W[x_{1}, t] /t^{2} − x_{1}R_{1}(x_{1}) ]_{(pW[x_{1},t]+tW[x_{1},t])},

c’est-à-dire que C est obtenu en localisant l’algèbre W[x_{1}, t] /t^{2} − x_{1}R_{1}(x_{1}) par l’idéal maximal engendré par t et p. Le complété de Ĉ pour la topologie t-adique est isomorphe à W[[t]] via une application μ : W[[t]] → Ĉ. On note λ l’application C → W[[t]] qui s’obtient comme μ^{−1} ∘ Can où Can est l’application canonique C → Ĉ, et par abus de notation on continue de noter x_{1} l’élément λ(x_{1}). Cherchons x_{1} sous la forme x_{1}(t) = t^{2}U(t) avec U(t) = ∑ _{i} q_{i}t^{i} ∈ W[[t]]. L’élément U doit vérifier l’équation

(F) t^{2} = (t^{2}U(t)) [R_{1}(t^{2}U(t))] ,

c’est-à-dire 1 = U(t)R_{1}(t^{2}U(t)). Notons f(X) = X(R_{1}(t^{2}X)) − 1 ∈ W[[t]][X], l’image de f dans le corps résiduel k de W[[t]] est R_{1}(0)X − 1 = X − 1 dont 1 est une racine simple de sorte qu’on peut appliquer le lemme de Hensel et voir qu’il existe un unique U(t) de W[[t]] (inversible) satisfaisant f(U(t)) = 0, et donc aussi un unique x_{1}(t) = t^{2}U(t) ∈ W[[t]] vérifiant l’équation (F).

Remarquons de plus que P′_{1}(x_{1}) ∈ 1 + tW[[t]] est inversible dans W[[t]], dont l’inverse sera noté V (t). On a alors

\frac{dx_{1}}{2t} = \frac{dt}{P′_{1}(x_{1})},

soit encore

\frac{dx_{1}}{2t} = V (t)dt.

Avec ces notations, du fait que R_{1}(x_{1}) = U(t)^{−1} on voit que dans Ω̂_{X,∞}^{1} = W[[t]] ⊗ Ω̂_{X,∞}^{1} , on a l’égalité, en reprenant les notations de 3.2.5

ω_{i} = −2t^{2(g−1−i)} U(t)^{g−1−i} V (t)dt.

Notons

∀ 0 ≤ i ≤ g − 1, 2U(t)^{−1−i} V (t)  = 2 + ∑_{l} u_{i,l}t^{l}, u_{i,l} ∈ W.  (6)

Alors, nous calculons v(ω_{g+i} ) où v est l’application définie en 5 :

∀ 0 ≤ i ≤ g − 1, v(ω_{g+i} )  = −t^{−2(1+i)} ( 2 + ∑_{l=1}^{2i+1} u_{i,2l}t^{2l}) dt,
v(ω_{g+i} ) = −2t^{−2(i+1)} dt − ∑_{l=1}^{i} u_{i,2l}t^{2(l−i−1)} dt,
= −2t^{−2(i+1)} dt − ∑_{l=i}^{1} u_{i,2(i+1−l)} t^{−2l} dt

puisque les v(ω_{g+i} ) sont anti-invariants pour ι et que ι(t) = −t. Pour terminer nous avons besoin du corollaire suivant.

Corollaire 3.3.1.1. (Bogaart-Edixhoven, [vdB08],[Edi03]) On a une suite exacte courte

(E) 0 → H_{DR}^{1}(X) → H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞ ))^{−} →^{v′} ⨁_{j=1}^{g} (W/(2j − 1)W) t^{−2j} dt → 0.

Démonstration.Reprenons le triangle (3) de 2 avec D correspondant à la section à l’infini, et n = 2g − 1. On trouve le complexe exact

0 → H_{DR}^{0}(X) → R^{0}Γ(X, C(2g∞ )) → 0 → H_{DR}^{1}(X) → R^{1}Γ(X, C(2g∞ )) → coker(d) → H_{DR}^{2}(X) → 0. (7)

Appliquons maintenant ι = −Id à ce complexe. Par dégénerescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham, H_{DR}^{2}(X) s’identifie à H^{1}(X, Ω_{X}^{1}) = W sur lequel ι agit trivialement et donc H_{DR}^{2}(X)^{−} est nul, tout comme H_{DR}^{0}(X)^{−} .

Le complexe RΓ(X, C(2g∞ )) est le complexe ( 2.2)

H^{0}(X, O_{X}(2g − 1)∞ ) →^{d} H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞)),

de sorte que R^{1}Γ(X, C(2g∞ ))^{−} se réduit à H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2g∞))^{−} d’après 3.2.3.

Il reste à calculer coker(d)^{−} . Le conoyau coker(d) est ( ⨁ _{j=1}^{2g} W/(j − 1)W t^{−j} dt) .

En passant à la partie − de ce module, seuls subsistent les termes correspondant à j pair, d’où l’énoncé.

Reprenons les notations de 6.

Dans les bases (ω_{0}, …, ω_{2g−1} ) et t^{−2l} dt pour 1 ≤ l ≤ g, la matrice de l’application v (5) qui est dans M_{g,2g}(W) la suivante. Notons V = (v_{2l,i}) avec v_{2l,i} ∈ W, avec i ∈ {0, …, 2g − 1}, l ∈ {1, …, g} cette matrice. Les coefficients sont

∀i ≤ g − 1, ∀l, v_{2l,i} = 0
∀0 ≤ i ≤ g − 1, v_{2(i+1),g+i}  = −2
∀0 ≤ i ≤ g − 1, ∀l ≤ i, v_{2l,g+i}  = −u_{i,2(i+1−l)}
∀0 ≤ i ≤ g − 1, ∀l ≥ i + 1, v_{2l,g+i}  = 0.

La matrice V est donc

V = ( 0  0  −2  −u_{1,2}  −u_{2,4}  −u_{g−1,4g−1} 0  0  0  −2  −u_{2,2}  −u_{g−1,4g−3} 0  0  −2  −u_{g−1,2} 0  0  0  0  0  −2  )

et l’application v′s’obtient à partir de v par passage au quotient via la surjection canonique

⨁_{i=0}^{g−1} Wt^{−2(i+1)} dt ↠ ⨁_{i=0}^{g−1} W/(2i + 1)Wt^{−2(i+1)} dt.

On voit donc que v induit une bijection notée \overline{v}

⨁_{l=1}^{g} Wt^{−2l} ≃ ⨁_{i=0}^{g−1} Wt^{−2(i+1)} dt,

dont la matrice sera notée \overline{V}, et qui est triangulaire supérieure dans les bases choisies. Un élément ω ∈ ⨁ _{i=0}^{g−1} Wt^{−2(i+1)} dt est dans Ker(v′) si et seulement si ω ∈ \overline{v}^{−1} (Ker(s)). Or on a l’identification

Ker(s) = ⨁_{i=0}^{g−1} (2i + 1)Wt^{−2(i+1)} dt.

Pour i ∈ {0, …, g − 1}, définissons

ω′_{g+i} = \overline{V}^{−1} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ (2i + 1)t^{−2(i+1)} dt \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ∈ (2i + 1)ω_{g+i} ⨁_{l≤i} Wω_{g+l} .

Nous avons alors la

Proposition 3.3.2. Le W-module H_{DR}^{1}(X) est libre de rang 2g de base des éléments

\frac{x^{i}dx}{y} pour 0 ≤ i ≤ g − 1,

ω′_{g+i} pour 0 ≤ i ≤ g − 1.

Si p > 2g − 1 le terme de droite de la suite exacte 3.3.1.1 est nul, ce qui donne l’énoncé suivant.

Corollaire 3.3.3. Si p > 2g − 1 on a un isomorphisme

H_{DR}^{1}(X) ≃ H^{0}(X, Ω_{X}^{1}(2∞))^{−} .

En particulier, si X est une courbe elliptique, on a toujours cet isomorphisme.

4 Action du Frobenius et (φ, Γ)-module associé

4.1 Action du Frobenius

Rappelons qu’un φ-module filtré sur W est la donnée d’un W-module muni d’un endomorphisme φ semi-linéaire par rapport au Frobenius de W et d’une filtration par des sous-W-modules, décroisssante, exhaustive et séparée.

La cohomologie de De Rham H_{DR}^{1}(X) d’une courbe X projective et lisse de genre g est un W-module libre de rang 2g, muni de la filtration de Hodge :

Fil^{r} H_{DR}^{1}(X) = H_{DR}^{1}(X)  pour r ≤ 0,
= H^{0}(X, Ω_{X}^{1})  pour r = 1,
= 0  pour r ≥ 2.

De plus, la cohomologie de De Rham de X s’identifie à la cohomologie cristalline H_{cris}^{1}(X_{k}) de X_{k} [Ber74] ; elle est donc munie d’un endomorphisme de Frobenius, induit par l’action du Frobenius sur X_{k}. On obtient ainsi un φ-module filtré.

Lorsque les W-modules H^{p}(X, Ω_{X}^{q}) sont des W-modules libres et que la suite spectrale associée dégénère (Proposition 2.1 pour une courbe hyperelliptique), on sait, par une application d’un théorème de Mazur [Maz73] et [Fon83], que le φ-module filtré H_{DR}^{1}(X) est un réseau fortement divisible de H_{DR}^{1}(X_{K}) : pour tout entier r, chaque Fil^{r} H_{DR}^{1}(X) est un facteur direct de H_{DR}^{1}(X), on a

φ(Fil^{r} H_{DR}^{1}(X)) ∈ p^{r}H_{DR}^{1}(X)

et

∑_{r∈Z} \frac{1}{p^{r}}φ(Fil^{r} H_{DR}^{1}(X)) = H_{DR}^{1}(X).

Considérons (e_{i})_{1≤i≤2g} une base de H_{DR}^{1}(X) adaptée à la filtration [Wac97] ; soit r_{i} le plus grand entier tel que e_{i} ∈ Fil^{r_{i}} H_{DR}^{1}(X) et pour tout entier r ≥ 0, posons φ_{r} = \frac{1}{p^{r}}φ_{|_{Fil}_{r}}. On a ainsi, pour 1 ≤ i ≤ 2g, si

e_{i} ∈ Fil^{1} H_{DR}^{1}(X), r_{i} = 1, et φ_{1}(e_{i}) = \frac{1}{p}φ(e_{i})

et, sinon,

r_{i} = 0 et φ_{0}(e_{i}) = φ(e_{i}).

Ecrivons, pour 1 ≤ j ≤ 2g,

φ_{r_{j}}(e_{j}) = ∑_{i=1}^{2g} a_{ij}e_{i}

l’expression de φ_{r_{j}}(e_{j}) dans la base (e_{i}). Le φ-module filtré H_{DR}^{1}(X) étant fortement divisible, les applications φ_{r} sont bien définies, et la matrice A = (a_{ij}) est une matrice à coefficients dans W, qui est inversible ([Wac97], 2.2.2).

4.2 (φ, Γ)-module associé

Considérons la Z_{p}-extension cyclotomique K_{∞} de K contenue dans K̄, notons Γ le groupe de Galois de K_{∞} /K, qui est isomorphe à Z_{p}, et choisissons-en un générateur topologique, noté γ. On munit l’anneau S = W[[T]] d’une action de Γ telle que γ(T) − T = α(p + T)T, où α est une unité de S, qui est congrue à une unité de Z_{p} modulo T et à 1 modulo (p, T). Dans ces conditions, il existe une unique action de Frobenius, notée φ, commutant à l’action de Γ, compatible avec le Frobenius sur W, qui relève l’élévation à la puissance p modulo p et telle que φ(T) = u(p + T)^{p−1} T, où u ≡ 1 modulo pS (pour un exposé détaillé des propriétés de S, voir [Fon90], 3.2, [Fon94], ou [Wac97], 3.1.1.).

Pour une courbe projective et lisse X vérifiant les hypothèses du théorème de Mazur [Maz73], on définit sur le module N = S ⊗_{W} H_{DR}^{1}(X) une action de φ par

φ(1 ⊗ e_{j}) = (p + T)^{r_{j}} ∑_{i=1}^{2g} a_{ij}(1 ⊗ e_{i}),

l’action de Γ étant induite par la proposition suivante (cf [Wac97], 3.1.4, théorème 3) :

Proposition 4.2.1. Il existe sur N une unique action de Γ commutant à φ et triviale modulo T.

Démonstration.Nous reproduisons ici la démonstration de op.cit, adaptée au cas particulier d’une courbe.

Il suffit de connaître la matrice du générateur γ dans la base (1 ⊗ e_{i})_{1≤i≤2g} , notée simplement (e_{i})_{1≤i≤2g} ; la démonstration se fait par dévissages modulo T et modulo p en déformant la matrice de l’identité I_{2g}, qui induit sur N une action de γ triviale modulo T, mais ne commutant pas à φ a priori. Notons ρ cette action :

\begin{aligned}ρ(φ(e_{j})) − φ(ρ(e_{j})) & = (γ(p + T)^{r_{j}} − (p + T)^{r_{j}}) ∑ _{i=1}^{2g} a_{ij}e_{i} \\ & = (p + T)^{r_{j}}α_{j}T ∑ _{i=1}^{2g} a_{ij}e_{i} \end{aligned}

si α_{j} est l’unique élément de S tel que

γ(p + T)^{r_{j}} = (p + T)^{r_{j}}(1 + Tα_{j}) .

Comme S est complet pour la topologie T-adique, il suffit de vérifier le lemme suivant :

Lemme 4.2.2. Soient l ∈ N et ρ un endomorphisme de N, semi-linéaire par rapport à l’action de γ sur S tel que ρ(e_{j}) ≡ e_{j} mod T et

ρ(φ(e_{j})) ≡ φ(ρ(e_{j})) mod T^{l}(p + T)^{r_{j}}N

pour tout j; alors, il existe un endomorphisme ρ′ de N, uniquement déterminé modulo T^{l+1} , semilinéaire par rapport à l’action de γ sur S tel que, pour tout j :

ρ′(e_{j}) ≡ ρ(e_{j}) mod T^{l}N
et ρ′(φ(e_{j})) ≡ φ(ρ′(e_{j})) mod T^{l+1} (p + T)^{r_{j}}N .

Démontrons la proposition. On pose, pour tout j, 1 ≤ j ≤ 2g :

ρ(φ(e_{j})) − φ(ρ(e_{j})) = T^{l}(p + T)^{r_{j}}b_{j}

où b_{j} est un élément de N et on cherche la matrice G′ de ρ′ dans la base (e_{i}) sous la forme G′= G + T^{l}X où G est la matrice de ρ et X une matrice à coefficients dans W.

Rappelons que φ(T) = uT(p + T)^{p−1} avec u une unité de S; alors,

\begin{aligned}ρ′(φ(e_{j})) & = ρ′((p + T)^{r_{j}} ∑ _{i=1}^{2g} a_{ij}e_{i}) \\ & = ρ(φ(e_{j})) + (p + T)^{r_{j}}(1 + Tα_{j})T^{l} ∑ _{1≤i,k≤2g} a_{kj}x_{ik}e_{i} \end{aligned}

et

\begin{aligned}φ(ρ′(e_{j})) & = φ(ρ(e_{j})) + φ(T^{l}) ∑ _{i=1}^{2g} φ(x_{ij})φ(e_{i}) \\ & = φ(ρ(e_{j})) + T^{l}(p + T)^{l(p−1)} u^{l} ∑ _{1≤i,k≤2g} φ(x_{kj})(p + T)^{r_{k}}a_{ik}e_{i} . \end{aligned}

On obtient une équation matricielle à résoudre

(∗) B = u^{l}A′X′_{φ} − XA,

où B est la matrice modulo T du système (b_{j}) dans la base (e_{i}), A′ = (p^{r_{j}}a_{ij}) et X′_{φ} = (p^{l(p−1)−r_{j}} φ(x_{ij})).

Ces matrices sont toutes à coefficients dans W, qui est complet pour la topologie padique ; on commence par résoudre ce système modulo p.

Dans notre cas, r_{j} = 0 ou 1, donc pour p > 2, on a l(p − 1) − r_{j} > 0 et l’équation devient :

B ≡ −XA mod p

et on conclut en utilisant le fait que la matrice A est inversible.

Notons X_{m} une solution de B = u^{l}A′X′_{φ} − XA modulo p^{m} et p^{m}B_{m} = B − u^{l}A′X′_{m,φ} + X_{m}A. Relevons X_{m} en X_{m+1} = X_{m} + p^{m}Y_{m} solution modulo p^{m+1} . L’équation vérifiée par Y_{m} est à nouveau B_{m} = −Y_{m}A modulo p, qui se résout en inversant la matrice A.

4.3 Complexité

La démonstration ci-dessus fournit un algorithme permettant d’obtenir l’action de Γ à une précision modulo p^{i} et modulo T^{j} souhaitée.

Rappelons que calculer le produit de deux matrices carrées de taille l ou l’inverse d’une matrice à coefficients dans un anneau nécesite un nombre d’opérations dans l’anneau d’au plus O(l^{ω} ), où ω est le plus petit exposant connu pour la multiplication des matrices ([BCS97] chapitres 15-16 ou [CW90]). Chaque multiplication dans k, de cardinal p^{n}, se fait en O((log p)^{1+ε} n^{1+ε}) opérations. La matrice A modulo p, dont il faut calculer l’inverse, est élément de M_{2g}(k), d’où une complexité de O((log p)^{1+ε} n^{1+ε} g^{ω} ) pour ce calcul.

Pour effectuer la m^{ième} étape du dévissage modulo p, il faut d’abord calculer la matrice B_{m}. On commence par choisir un relèvement modulo p^{m+1} de X_{m}, que l’on note encore X_{m}; il s’agit alors de calculer la matrice X′_{m,φ} modulo p^{m+1} , ce qui se fait en O((log p)^{2+ε} n^{1+ε} g^{2}m^{1+ε}) opérations ([Hub10], pour la complexité du calcul de φ). Puis B − u^{l}A′X′_{m,φ} + X_{m}A s’obtient comme deux produits et sommes de matrices modulo p^{m}, calcul de complexité totale de l’ordre de O(((log p)^{2+ε} g^{2} + (log p)^{1+ε} g^{ω} )n^{1+ε} m^{1+ε} ).

Cette étape se répétant pour m variant entre 1 et i, la complexité totale du dévissage modulo p est O(((log p)^{2+ε} g^{2} + (log p)^{1+ε} g^{ω} )n^{1+ε} i^{2+ε} ).

Calculons à présent la complexité du dévissage modulo T : à chaque étape, on effectue un dévissage modulo p, de complexité calculée ci-dessus. Il faut aussi calculer la matrice B, qui repose sur le calcul de X′_{i,φ}, effectué lors du dévissage modulo p. Puisqu’il y a j étapes, la complexité totale de l’algorithme pour déterminer la matrice de Γ modulo p^{i} et T^{j} est donc au plus

O(((log p)^{2+ε} g^{2} + (log p)^{1+ε} g^{ω} )n^{1+ε} i^{2+ε} j).

5 Application au cas des courbes hyperelliptiques

Dans cette partie, X est une courbe hyperelliptique et nous reprenons les notations de 3. La méthode générale précedente 4 met en jeu le calcul du Frobenius divisé sur la cohomologie de De Rham de X. Nous allons donner dans la suite un algorithme pour calculer le (φ, Γ)- module mod p^{i} associé à H_{et}^{1}(X\overline{K}, Q_{p}) basé sur l’algorithme de Kedlaya pour calculer la fonction zêta de X_{0}. Dans notre article [HW13], nous donnerons une autre méthode, basée sur le morphisme de Deligne-Illusie pour calculer ce (φ, Γ)-module modulo p.

5.1 Calcul du (φ, Γ)-module associé aux courbes hyperelliptiques via l’algorithme de Kedlaya

La base ((\frac{x^{i}dx}{y})_{0≤i≤g−1} , (ω′_{i})_{g≤i≤2g−1} ) présentée dans le corollaire 3.3.2est une base adaptée à la filtration. Notons e_{i} = \frac{x^{i−1} dx}{y} (respectivement e_{i} = ω′_{i−1} ) pour 1 ≤ i ≤ g (respectivement pour g + 1 ≤ i ≤ 2g) les éléments de cette base. On a bien, pour 1 ≤ i ≤ g,

e_{i} ∈ Fil^{1} H_{DR}^{1}(X) et φ_{1}(e_{i}) = \frac{1}{p}φ(e_{i})

et, pour g + 1 ≤ i ≤ 2g,

e_{i} ∈ Fil^{0} H_{DR}^{1}(X), r_{i} = 0 et φ_{0}(e_{i}) = φ(e_{i}).

Notons X′ = Spec A′ la courbe obtenue en enlevant les points de ramification du revêtement h : X → P_{W}^{1} et X′_{k} sa fibre spéciale. Kedlaya [Ked01] décrit un algorithme qui permet de calculer l’action du Frobenius sur la cohomologie rigide à coefficients dans K de la courbe X′_{k}. Cette cohomologie s’identifie à la cohomologie de de Rham (cf [BC94]) de X′_{K} et le K-espace vectoriel H_{DR}^{1}(X′_{K}) se trouve ainsi muni d’une action de Frobenius. L’inclusion X′ ↪ X induit des applications H_{DR}^{1}(X) → H_{DR}^{1}(X′) et H_{DR}^{1}(X_{K}) → H_{DR}^{1}(X′_{K}) qui sont injectives et équivariantes par l’action de Frobenius (cf [vdB08]). Nous pouvons donc utiliser cet algorithme pour calculer la matrice de φ et, après changement de base dans la base formée des vecteurs (e_{i}), en déduire la matrice A.

Cette matrice est la donnée de l’algorithme décrit en 4.2et nous pouvons donc en déduire la matrice de Γ à une précision modulo p^{i} et modulo T^{j} arbitraire.

5.2 Estimations de la complexité de l’algorithme

Nos résultats sont résumés par la

Proposition 5.2.1. Sous les hypothèses de 3. Notons n le degré de l’extension k sur F_{p}, et ω l’exposant de la multiplication des matrices

i La complexité du calcul du (φ, Γ)-module associé à H_{DR}^{1}(X_{K}) mod (p^{i}, T^{j}) est inférieure à O(p^{1+ε} n^{1+ε} g^{ω} i^{2+ε} j).

ii Lorsque i = 1, la complexité du calcul du (φ, Γ)-module associé à H_{DR}^{1}(X_{K}) mod (p, T^{j}) est inférieure à O(p^{1+ε} n^{1+ε} g^{ω} j).

Rappelons que la complexité de l’algorithme permettant d’obtenir l’action de Γ a été évaluée comme au plus

O(((log p)^{2+ε} g^{2} + (log p)^{1+ε} g^{ω} )n^{1+ε} i^{2+ε} j).

Il convient de rajouter la complexité de l’algorithme permettant de calculer la matrice A modulo p^{i}, à savoir O(p^{1+ε} n^{1+ε} g^{2+ε} i^{2+ε}) pour déterminer la matrice du Frobenius modulo p^{i+1} via l’algorithme de Kedlaya (cf [Ked01]).

Une fois la matrice trouvée, il faut effectuer encore un changement de base pour déterminer la matrice A dans une base du réseau H_{DR}^{1}(X). La matrice du changement de base se déduit des calculs de 3.3.1: les vecteurs de la base appartenant à H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) sont simplement multipliés par 2, en revanche les autres vecteurs de la base adaptée à la filtration sont des combinaisons linéaires de tous les vecteurs de la base utilisée par Kedlaya. L’opération de changement de base revient alors à multiplier des matrices carrées de taille g à coefficients modulo p^{i}; il n’a finalement pas d’influence sur la complexité.

La complexité totale est majorée par

O(p^{1+ε} n^{1+ε} g^{ω} i^{2+ε} j).

Pour le calcul du (φ, Γ)-module modulo (p, T^{j}), il suffit de considérer i = 2 dans la complexité ci-dessus.

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Christine Huyghe et Nathalie Wach IRMA Université Louis Pasteur 7, rue René Descartes 67084 STRASBOURG cedex FRANCE mél huyghe@math.unistra.fr, wach@math.unistra.fr, http ://www-irma.u-strasbg.fr/~huyghe, http ://www-irma.u-strasbg.fr/~wach