Termes d’interaction
1 Interaction : deux variables catégorielles
1.1 Récupération des données
On travaille avec un jeu de données simulées très simple, comportant
deux variables catégorielles (Sexe et Age), la
variable que l’on prendra comme réponse (NbSin), et
l’exposition (Exposition), dans le but de réaliser un
ajustement GLM log-Poisson. Les données sont groupées par profil de
variables explicatives.
load(url("https://irma.math.unistra.fr/~jberard/donnees_glm_sim_inter"))
str(donnees)## 'data.frame': 12 obs. of 4 variables:
## $ Sexe : Factor w/ 2 levels "F","H": 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ...
## $ Age : Factor w/ 6 levels "18-20","21-23",..: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ...
## $ NbSin : num 2762 5210 5564 9546 6613 ...
## $ Exposition: num 29585 22661 69323 48514 87142 ...1.2 Ajustements avec
termes d’interaction entre Sexe et Age
On commence par effectuer un ajustement en traitant les variables
Sexe et Age à l’aide d’une interaction
“complète”, ce qui revient à traiter le couple
(Sexe,Age) comme une unique variable
catégorielle. Concrètement, on utilise la fonction
interaction pour produire cette variable.
# Ajustement avec interaction complète
ajust_inter_1 <- glm(NbSin ~ interaction(Sexe, Age) + offset(log(Exposition)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees)
summary(ajust_inter_1)##
## Call:
## glm(formula = NbSin ~ interaction(Sexe, Age) + offset(log(Exposition)),
## family = poisson(link = "log"), data = donnees)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -2.37131 0.01903 -124.623 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)H.18-20 0.90126 0.02354 38.291 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)F.21-23 -0.15115 0.02328 -6.494 8.37e-11 ***
## interaction(Sexe, Age)H.21-23 0.74557 0.02161 34.508 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)F.24-33 -0.20719 0.02266 -9.145 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)H.24-33 0.03139 0.02307 1.361 0.174
## interaction(Sexe, Age)F.34-53 -0.41460 0.02342 -17.702 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)H.34-53 -0.36141 0.02444 -14.789 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)F.53-70 -0.40976 0.02558 -16.020 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)H.53-70 -0.37688 0.02619 -14.388 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)F.>70 -0.65285 0.03207 -20.355 < 2e-16 ***
## interaction(Sexe, Age)H.>70 -0.68223 0.03229 -21.127 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1.1991e+04 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: -1.3323e-13 on 0 degrees of freedom
## AIC: 145.52
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 2library(outilscoursglm)On procède ensuite au tracé du terme correspondant dans la composante
systématique du modèle, en fonction des deux variables Sexe
et Age simultanément, à l’aide de la fonction
trace_terme_bivar du fichier d’outils.
trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_1,
nom_terme = "interaction(Sexe, Age)",
nom_variable_2 = "Sexe",
nom_variable_1 = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_1, nom_terme = "interaction(Sexe, Age)", : Utilisation des données de ajustement$data
On traite maintenant les variables Sexe et
Age à l’aide d’une interaction “marginale” : chacune des
deux variables se voit attribuer des coefficients comme dans le cas
purement additif, mais un terme correctif vient s’ajouter pour
représenter l’interaction. Concrètement, on utilise un terme de la forme
Sexe:Age dans la formule, en plus de la présence
individuelle de Sexe et Age afin de produire
ce terme. (En l’absence de Sexe et Age, le
terme Sexe:Age produirait une interaction complète.) On
peut également utiliser une fonction dédiée, telle que
inter_marginale dans le fichier d’outils.
# Ajustement avec interaction marginale
ajust_inter_2 <- glm(NbSin ~ Sexe + Age + Sexe:Age + offset(log(Exposition)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees)
summary(ajust_inter_2)##
## Call:
## glm(formula = NbSin ~ Sexe + Age + Sexe:Age + offset(log(Exposition)),
## family = poisson(link = "log"), data = donnees)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -2.371309 0.019028 -124.623 < 2e-16 ***
## SexeH 0.901261 0.023537 38.291 < 2e-16 ***
## Age21-23 -0.151151 0.023276 -6.494 8.37e-11 ***
## Age24-33 -0.207194 0.022656 -9.145 < 2e-16 ***
## Age34-53 -0.414604 0.023421 -17.702 < 2e-16 ***
## Age53-70 -0.409761 0.025577 -16.020 < 2e-16 ***
## Age>70 -0.652847 0.032074 -20.355 < 2e-16 ***
## SexeH:Age21-23 -0.004541 0.028956 -0.157 0.875
## SexeH:Age24-33 -0.662677 0.029585 -22.399 < 2e-16 ***
## SexeH:Age34-53 -0.848064 0.031235 -27.151 < 2e-16 ***
## SexeH:Age53-70 -0.868379 0.034208 -25.385 < 2e-16 ***
## SexeH:Age>70 -0.930643 0.043605 -21.343 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1.1991e+04 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: -9.5479e-14 on 0 degrees of freedom
## AIC: 145.52
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 2On procède maintenant au tracé des différents termes : d’abord ceux
associés individuellement aux variables Sexe et
Age (c’est la partie purement additive de la composante
systématique du modèle, on parle également d’“effets principaux” des
deux variables.)
trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2,
nom_terme = "Sexe",
nom_variable = "Sexe",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2, nom_terme = "Sexe", : Utilisation des données de ajustement$data
trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2,
nom_terme = "Age",
nom_variable = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2, nom_terme = "Age", : Utilisation des données de ajustement$data
On trace maintenant, en fonction des des deux variables
Sexe et Age simultanément, le terme
d’interaction marginale.
trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_2,
nom_terme = "Sexe:Age",
nom_variable_2 = "Sexe",
nom_variable_1 = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_2, nom_terme = "Sexe:Age", : Utilisation des données de ajustement$data
Nous ne sommes certes pas confrontés à une prolifération de termes
(ce qui peut être le cas lorsque l’on considère de nombreux termes
d’interaction, ou des variables catégorielles comportant un nombre élevé
de modalités). Néanmoins, le tracé ci-dessus suggère que l’on pourrait,
pour ce qui concerne le terme d’interaction marginale,
fusionner les deux premières classes d’âge 18-20 et
21-23, tout en laissant telles quelles les modalités des
variables Sexe et Age pour l’estimation des
effets principaux. On illustre maintenant l’une des manières de mener à
bien une telle opération, en utilisant des fonctions d’encodage
appropriées.
On commence par créer une fonction fus_Age permettant de
transformer la variable Age en appliquant la fusion
souhaitée.
fus_Age <- function(Age) {
forcats::fct_collapse(.f = Age,
`18-23` = c("18-20", "21-23"),
`24-33` = "24-33",
`34-53` = "34-53",
`53-70` = "53-70",
`>70` = ">70")
}On ré-ajuste ensuite le modèle, en utilisant la fonction
inter_marginale.
# Ajustement avec interaction marginale et fusion
ajust_inter_3 <- glm(NbSin ~ Sexe + Age + inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe) + offset(log(Exposition)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees)
summary(ajust_inter_3)##
## Call:
## glm(formula = NbSin ~ Sexe + Age + inter_marginale(fus_Age(Age),
## Sexe) + offset(log(Exposition)), family = poisson(link = "log"),
## data = donnees)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -2.36935 0.01434 -165.26 <2e-16
## SexeH 0.89826 0.01371 65.52 <2e-16
## Age21-23 -0.15408 0.01385 -11.13 <2e-16
## Age24-33 -0.20915 0.01889 -11.07 <2e-16
## Age34-53 -0.41656 0.01980 -21.04 <2e-16
## Age53-70 -0.41172 0.02231 -18.45 <2e-16
## Age>70 -0.65481 0.02953 -22.17 <2e-16
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)24-33.H -0.65968 0.02257 -29.23 <2e-16
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)34-53.H -0.84506 0.02469 -34.23 <2e-16
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)53-70.H -0.86538 0.02836 -30.52 <2e-16
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)>70.H -0.92764 0.03918 -23.67 <2e-16
##
## (Intercept) ***
## SexeH ***
## Age21-23 ***
## Age24-33 ***
## Age34-53 ***
## Age53-70 ***
## Age>70 ***
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)24-33.H ***
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)34-53.H ***
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)53-70.H ***
## inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)>70.H ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 11991.2065 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 0.0246 on 1 degrees of freedom
## AIC: 143.55
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3Et l’on effectue de nouveau les tracés précédents.
trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_3,
nom_terme = "Sexe",
nom_variable = "Sexe",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_3, nom_terme = "Sexe", : Utilisation des données de ajustement$data
trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2,
nom_terme = "Age",
nom_variable = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2, nom_terme = "Age", : Utilisation des données de ajustement$data
trace_terme_bivar(ajustement=ajust_inter_3,
nom_terme = "inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)",
nom_variable_2 = "Sexe",
nom_variable_1 = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_3, nom_terme = "inter_marginale(fus_Age(Age), Sexe)", : Utilisation des données de ajustement$data
La décision d’inclure ou non des termes d’interaction dans un modèle peut, par exemple, faire l’objet de tests statistiques, ou être guidée par d’autres approches de comparaison de modèles.
Ci-dessous, on illustre simplement l’utilisation du test du rapport de vraisemblance dans ce contexte, praticable ici car les modèles que l’on va comparer sont emboîtés.
On commence par comparer le modèle avec et sans terme d’interaction, avec (sans surprise, vu les tracés précédents) un test qui penche très nettement en faveur de l’inclusion du terme d’interaction .
# Test LRT pour comparer le modèle avec et sans interaction
ajust_sans_inter <- glm(NbSin ~ Sexe + Age + offset(log(Exposition)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees)
anova(ajust_sans_inter, ajust_inter_2, test = "LRT")On peut également comparer les modèles ajustés avec et sans fusion
des modalités de Age dans le terme d’interaction marginale.
Sans surprise, le test conduit à retenir la fusion.
# Test LRT pour comparer le modèle avec et sans interaction
anova(ajust_inter_3, ajust_inter_2, test = "LRT")1.3 Un cas sans interaction
Afin de bien comprendre la différence avec ce qui précède, on travaille maintenant sur un jeu de données simulées selon un modèle additif (sans interaction). Par conséquent, l’inclusion de termes d’interaction est ici superflue, et il s’agit de voir comment ceci se reflète sur les modèles ajustés, du point de vue des tracés obtenus.
# Pour comparer : on recommence sur autre jeu de données simulées à l'aide d'un modèle additif (sans interaction)
load(url("https://irma.math.unistra.fr/~jberard/donnees_glm_sim_inter_bis")) Avec un ajustement utilisant une interaction “complète”, on constate le parallélisme entre les deux tracés, qui reflète l’absence d’interaction.
ajust_inter_1_bis <- glm(NbSin ~ interaction(Sexe, Age) + offset(log(Exposition)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees)
trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_1_bis,
nom_terme = "interaction(Sexe, Age)",
nom_variable_2 = "Sexe",
nom_variable_1 = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_1_bis, nom_terme = "interaction(Sexe, Age)", : Utilisation des données de ajustement$data
L’ajustement utilisant une interaction marginale permet de mettre en évidence de manière claire le caractère superflu du terme supplémentaire traduisant une possible interaction.
ajust_inter_2_bis <- glm(NbSin ~ Sexe + Age + Sexe:Age + offset(log(Exposition)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees)
trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2_bis,
nom_terme = "Sexe",
nom_variable = "Sexe",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2_bis, nom_terme = "Sexe", : Utilisation des données de ajustement$data
trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2_bis,
nom_terme = "Age",
nom_variable = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE)## Warning in trace_terme_univar(ajustement = ajust_inter_2_bis, nom_terme = "Age", : Utilisation des données de ajustement$data
trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_2_bis,
nom_terme = "Sexe:Age",
nom_variable_2 = "Sexe",
nom_variable_1 = "Age",
trace_exposition = TRUE,
nom_exposition = "Exposition",
trace_int_conf = TRUE,
facteur_dessous = 20,
facteur_dessus = 20)## Warning in trace_terme_bivar(ajustement = ajust_inter_2_bis, nom_terme = "Sexe:Age", : Utilisation des données de ajustement$data
2 Interactions quantitative-quantitative et quantitative-catégorielle
2.1 Récupération des données
On travaille maintenant avec un jeu de données d’assurance, retraité
du paquet CASdatasets.
load(url("https://irma.math.unistra.fr/~jberard/swmotorcycle_recat")) # Données retraitées de CASdatasets
str(donnees)## 'data.frame': 62474 obs. of 9 variables:
## $ ClaimAmount: int 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
## $ ClaimNb : int 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
## $ Exposure : num 0.175 0.455 0.173 0.181 0.542 ...
## $ Area : Factor w/ 7 levels "1","2","3","4",..: 1 3 4 2 3 4 2 4 4 2 ...
## $ RiskClass : Factor w/ 7 levels "EV[0,5]","EV[25,Inf]",..: 3 7 1 1 7 3 7 6 3 7 ...
## $ OwnerAge : int 0 5 5 6 9 9 10 10 10 11 ...
## $ Gender : Factor w/ 2 levels "Female","Male": 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ...
## $ VehAge : int 12 18 25 26 8 20 16 17 21 13 ...
## $ BonusClass : Factor w/ 3 levels "1","2","3": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...2.2 Ajustements
On se placera ci-dessous dans le cadre des modèles additifs
généralisés, et l’on utilisera le paquet mgcv pour
effectuer les ajustements.
library(mgcv)## Loading required package: nlme## This is mgcv 1.9-1. For overview type 'help("mgcv-package")'.Pour commencer, on illustre l’utilisation d’une interaction complète
des variables VehAge et OwnerAge, toutes deux
quantitatives, en utilisant te().
# Modèle avec interaction complète de VehAge et OwnerAge : te()
ajustement_1 <- gam(ClaimNb ~
Area +
RiskClass +
BonusClass +
te(VehAge, OwnerAge) +
offset(log(Exposure)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees,
control = list(keepData = TRUE))
summary(ajustement_1)##
## Family: poisson
## Link function: log
##
## Formula:
## ClaimNb ~ Area + RiskClass + BonusClass + te(VehAge, OwnerAge) +
## offset(log(Exposure))
##
## Parametric coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -4.07164 0.17788 -22.890 < 2e-16 ***
## Area2 -0.52680 0.10832 -4.863 1.15e-06 ***
## Area3 -1.02440 0.11862 -8.636 < 2e-16 ***
## Area4 -1.46714 0.10590 -13.854 < 2e-16 ***
## Area5 -1.69617 0.34221 -4.957 7.18e-07 ***
## Area6 -1.35841 0.24862 -5.464 4.66e-08 ***
## Area7 -1.83741 1.00312 -1.832 0.066995 .
## RiskClassEV[25,Inf] 0.21290 0.43940 0.485 0.628019
## RiskClassEV[13,15] -0.22573 0.18608 -1.213 0.225101
## RiskClassEV[16,19] 0.19589 0.17796 1.101 0.271000
## RiskClassEV[20,24] 0.66827 0.17739 3.767 0.000165 ***
## RiskClassEV[6,8] 0.19796 0.20112 0.984 0.324973
## RiskClassEV[9,12] -0.35405 0.17318 -2.044 0.040915 *
## BonusClass2 0.16613 0.11758 1.413 0.157671
## BonusClass3 0.18215 0.09966 1.828 0.067584 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Approximate significance of smooth terms:
## edf Ref.df Chi.sq p-value
## te(VehAge,OwnerAge) 8.578 9.897 537 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## R-sq.(adj) = 0.0119 Deviance explained = 13.9%
## UBRE = -0.90763 Scale est. = 1 n = 62474On effectue maintenant un tracé de l’effet correspondant (consulter
documentation de la fonction vis.gam pour davantage
d’explications).
vis.gam(ajustement_1, view = c("VehAge", "OwnerAge"), plot.type = "contour", contour.col = "black")
vis.gam(ajustement_1, view = c("VehAge", "OwnerAge"), color = "heat", border = NA, theta = 120, phi = 30, ticktype = "detailed")
On illustre maintenant l’utilisation d’une interaction marginale des
variables VehAge et OwnerAge en utilisant
ti(), les effets principaux étant produits par
s() pour chacune des deux variables.
# Modèle avec interaction marginale de VehAge et OwnerAge : ti()
ajustement_2 <- gam(ClaimNb ~
Area +
RiskClass +
BonusClass +
s(VehAge) +
s(OwnerAge) +
ti(VehAge, OwnerAge) +
offset(log(Exposure)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees,
control = list(keepData = TRUE))
summary(ajustement_2)##
## Family: poisson
## Link function: log
##
## Formula:
## ClaimNb ~ Area + RiskClass + BonusClass + s(VehAge) + s(OwnerAge) +
## ti(VehAge, OwnerAge) + offset(log(Exposure))
##
## Parametric coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -4.01282 0.17773 -22.579 < 2e-16 ***
## Area2 -0.53285 0.10836 -4.918 8.76e-07 ***
## Area3 -1.03284 0.11870 -8.701 < 2e-16 ***
## Area4 -1.47008 0.10600 -13.868 < 2e-16 ***
## Area5 -1.70827 0.34229 -4.991 6.02e-07 ***
## Area6 -1.36555 0.24873 -5.490 4.02e-08 ***
## Area7 -1.83976 1.00314 -1.834 0.066654 .
## RiskClassEV[25,Inf] 0.16654 0.44016 0.378 0.705161
## RiskClassEV[13,15] -0.28346 0.18807 -1.507 0.131759
## RiskClassEV[16,19] 0.14135 0.18014 0.785 0.432626
## RiskClassEV[20,24] 0.61585 0.18032 3.415 0.000637 ***
## RiskClassEV[6,8] 0.16648 0.20210 0.824 0.410098
## RiskClassEV[9,12] -0.40313 0.17483 -2.306 0.021120 *
## BonusClass2 0.14879 0.11761 1.265 0.205823
## BonusClass3 0.18668 0.09917 1.882 0.059784 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Approximate significance of smooth terms:
## edf Ref.df Chi.sq p-value
## s(VehAge) 2.384 2.944 137.781 <2e-16 ***
## s(OwnerAge) 5.767 6.444 202.069 <2e-16 ***
## ti(VehAge,OwnerAge) 1.828 2.306 2.068 0.433
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## R-sq.(adj) = 0.0121 Deviance explained = 14%
## UBRE = -0.90769 Scale est. = 1 n = 62474On illustre maintenant une interaction entre la variable quantitative
OwnerAge et la variable catégorielle
BonusClass, en spécifiant dans la formule que le terme
lisse s(BonusClass) doit être modulé selon la valeur de
BonusClass.
# Modèle avec interaction marginale de OwnerAge et BonusClass
ajustement_3 <- gam(ClaimNb ~
Area +
RiskClass +
BonusClass +
s(VehAge) +
s(OwnerAge) +
s(OwnerAge, by = BonusClass) +
offset(log(Exposure)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees,
control = list(keepData = TRUE))
summary(ajustement_3)##
## Family: poisson
## Link function: log
##
## Formula:
## ClaimNb ~ Area + RiskClass + BonusClass + s(VehAge) + s(OwnerAge) +
## s(OwnerAge, by = BonusClass) + offset(log(Exposure))
##
## Parametric coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -4.1591 0.1918 -21.682 < 2e-16 ***
## Area2 -0.5394 0.1084 -4.977 6.47e-07 ***
## Area3 -1.0325 0.1187 -8.698 < 2e-16 ***
## Area4 -1.4692 0.1061 -13.853 < 2e-16 ***
## Area5 -1.7086 0.3423 -4.991 5.99e-07 ***
## Area6 -1.3531 0.2487 -5.441 5.31e-08 ***
## Area7 -1.8556 1.0033 -1.849 0.064399 .
## RiskClassEV[25,Inf] 0.2006 0.4399 0.456 0.648391
## RiskClassEV[13,15] -0.2771 0.1877 -1.476 0.139963
## RiskClassEV[16,19] 0.1515 0.1796 0.843 0.398976
## RiskClassEV[20,24] 0.6247 0.1797 3.477 0.000507 ***
## RiskClassEV[6,8] 0.1692 0.2018 0.839 0.401639
## RiskClassEV[9,12] -0.3988 0.1746 -2.284 0.022384 *
## BonusClass2 0.3092 0.1598 1.935 0.052966 .
## BonusClass3 0.3442 0.1274 2.702 0.006899 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Approximate significance of smooth terms:
## edf Ref.df Chi.sq p-value
## s(VehAge) 2.425158 2.990943 163.935 <2e-16 ***
## s(OwnerAge) 4.471912 5.252943 129.002 <2e-16 ***
## s(OwnerAge):BonusClass1 0.001533 0.002933 0.000 0.9985
## s(OwnerAge):BonusClass2 1.001356 1.002658 2.014 0.1564
## s(OwnerAge):BonusClass3 5.535916 6.187882 12.704 0.0601 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Rank: 59/60
## R-sq.(adj) = 0.0121 Deviance explained = 14.2%
## UBRE = -0.90774 Scale est. = 1 n = 62474Variante de ce qui précède, en imposant une pénalisation égale pour les différentes modalités de BonusClass.
# Modèle avec interaction marginale de OwnerAge et BonusClass
# et pénalisation égale pour les différentes modalités de BonusClass
ajustement_4 <- gam(ClaimNb ~
Area +
RiskClass +
BonusClass +
s(VehAge) +
s(OwnerAge) +
s(OwnerAge, by = BonusClass, id = "inter") +
offset(log(Exposure)),
family = poisson(link = "log"),
data = donnees,
control = list(keepData = TRUE))
summary(ajustement_4)##
## Family: poisson
## Link function: log
##
## Formula:
## ClaimNb ~ Area + RiskClass + BonusClass + s(VehAge) + s(OwnerAge) +
## s(OwnerAge, by = BonusClass, id = "inter") + offset(log(Exposure))
##
## Parametric coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -4.1406 0.1904 -21.744 < 2e-16 ***
## Area2 -0.5391 0.1084 -4.975 6.53e-07 ***
## Area3 -1.0330 0.1187 -8.702 < 2e-16 ***
## Area4 -1.4702 0.1060 -13.864 < 2e-16 ***
## Area5 -1.7156 0.3423 -5.012 5.39e-07 ***
## Area6 -1.3612 0.2487 -5.473 4.42e-08 ***
## Area7 -1.8304 1.0031 -1.825 0.068041 .
## RiskClassEV[25,Inf] 0.1782 0.4401 0.405 0.685655
## RiskClassEV[13,15] -0.2863 0.1882 -1.521 0.128175
## RiskClassEV[16,19] 0.1353 0.1802 0.751 0.452856
## RiskClassEV[20,24] 0.6114 0.1803 3.390 0.000698 ***
## RiskClassEV[6,8] 0.1603 0.2020 0.793 0.427511
## RiskClassEV[9,12] -0.4078 0.1750 -2.331 0.019755 *
## BonusClass2 0.3067 0.1580 1.941 0.052230 .
## BonusClass3 0.3262 0.1223 2.668 0.007628 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Approximate significance of smooth terms:
## edf Ref.df Chi.sq p-value
## s(VehAge) 2.43272 2.99990 165.162 <2e-16 ***
## s(OwnerAge) 5.81494 6.48508 128.943 <2e-16 ***
## s(OwnerAge):BonusClass1 0.02185 0.04269 0.000 0.986
## s(OwnerAge):BonusClass2 1.01835 1.03629 1.733 0.194
## s(OwnerAge):BonusClass3 1.02663 1.05182 3.436 0.070 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Rank: 59/60
## R-sq.(adj) = 0.0123 Deviance explained = 14%
## UBRE = -0.90772 Scale est. = 1 n = 62474