Géométrie Algébrique : Une Introduction
Master 1, ENS Lyon, printemps 2017
Le but du cours est de donner une introduction à la théorie des schémas. Voici un plan du cours (en évolution) :
- Notion des schémas
- Motivation : géométrie classique, ses problèmes.
- Vers les schémas (philosophie) : correspondance algèbre - géométrie.
- Schémas affines (I) : Spectres, topologie de Zariski sur Spec(A), radicaux, fonctorialité.
- Nullstellensatz, normalisation de Noether. (TD)
- Faisceaux : définitions, exemples, faisceautisation, limite inductive (filtrante, cofinalité), tige, noyau, image et conoyau, suite exacte, opérations,.
- Le faisceau structural sur Spec(A) : construction, théorème sur les ouverts principaux et les tiges.
- Espaces annelés ; schémas affines : définition, notion de morphismes entre espaces annelés, théorème de l'anti-équivalence entre la catégorie des anneaux et la catégorie des schémas affines.
- Schémas : définiton, fonctions régulières, corps résiduels, exemples des schémas non-affines
- Schémas projectifs (TD)
- Morphismes des schémas
- Points d'un schéma : schémas relatifs, morphisme de schémas relatifs, points rationnels, exemples, lien avec la géométrie algébrique classique et la théorie des nombres.
- Immersions ouvertes et fermées : définitions, sous-schémas fermées et sous-schémas ouverts, exemples, critère d'affinité, théorème d'immersion fermée dans un schéma affine
- Conditions de finitude : propriété locale sur la base, morphismes quasi-compacts, morphismes de type fini, morphismes affines, morphismes finis
- Produits fibrés : constructions, propriété universelle, changement de base, propriétés stables par changement de base
- Propriétés générales des schémas
- Schémas noethériens
- Schémas irréductibles, réduits, intègres
Feuilles de TD (Teddy Mignot)
Références:
- Qing Liu: Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press.
- Notes du cours de David Harari.
- Livre de Ravil Vakil.
- M.F. Atiyah et I.G. MacDonald : Introduction to Commutative Algebra.