Algèbre-I

Master 1, Strasbourg, 2024

Cours 1(10/09)

Définition: groupe.
Définition alternative de groupe par diagramme et "sans éléments".
Exemples de groupes:
- groupe trivial,
- Z, Q,
- cyclique
- groupe des racines d'unité
- GL_n, SL_n, SO_n, U_n
- GL(V)
- S_n
- S_X pour X un ensemble
- groupe des automorphismes
- groupe fondamental
- groupe opposé G^{op}.
sous-groupe
sous-groupe distingué, groupe quotient
morphisme de group, isomorphisme, automorphisme
noyau
noyau est toujours un sous groupe distingué et inversement, un sous-groupe distingué est le noyau de le morphisme naturel de projection vers le groupe quotient.
factorisation canonique d'un morphisme par une projection et une injection.
premier théorème fondamental de la théorie de groupe.
Automorphisme intérieures
le morphisme G --> Aut(G)
centre
Int(G) est distingué dans Aut(G), et le quotient est Out(G).

Cours 2 (13/09)

Groupes des éléments inversibles. Exemples: pour corps finis (toujours cyclique), pour Mat_n(C), pour Z[i] etc.
Ordre d'un élément, ordre d'un groupe
Lagrange: ord(g) divise |G|.
Classe à gauche et classe à droite
Decomposition de G en classes à gauche/droite.
bijection entre les classes à gauche et à droite
bijection entre G/H et H\G
Indice: [G:H]:=|G/H|=|H\G|
|G|=|H|[G:H]
Sous-groupe engendré par S= l'intersection de tous les sous-groupes contenant S.
groupe simple. Philosophie: "les atomes dans la théorie de groupe"
Theoreme de Jordan-Hölder: tout groupe fini admet une série de composition, i.e. une suite finie descente des sous-groupes, chacun distingué dans le précédent, tel que les quotients successifs sont des groupes simples (non triviaux). La suite n'est pas unique mais la collection des facteurs simples (avec multiplicités) l'est.
Exemples Z/24Z
Consequence: théoreme fondamental d'arithmétique.
Exo (FP): 1, 2, 4, 6, 8, 11.

Cours 3 (17/09)

Preuve du Théorème de Jordan-Hölder (par récurrence): pour l'existence on considère le sous-groupe distingué propre maximal; pour l'unicité, pour deux séries de compositions commencées par G_1 et G'_1 différents, alors G_1 et G'_1 engendrent G et on considère G_1\cap G'_1.
Remarque: Un groupe infini ne possède pas forcément une série de composition. Exemple: Z.
Classification des groupes simples: Z/pZ pour p nombre premier; A_n pour n>4; 16 familles de groupes simples de type Lie, e.g. PSL_2(F_7); 26 groupes simples sporadiques, dont 20 sont liés au groupe monstre...
Question inverse: comment construire un groupe à partir de ces facteurs de J-H?
Remarques: en général, les facteurs de J-H (avec leur multiplicités) ne déterminent pas le groupe. (C'est comme en chimie, même collections d'atomes peut construire différentes molécules; butane et isobutane pour C_4H_10, etc.)
Problème d'extension: étant donné deux groupes N et H, construire/classifier les groupes G qui admet un sous-groupe distingué isomorphe à N dont le groupe quotient est isomorphe à H.
Remarque: c'est un problème difficile. Dans la catégorie des groupes abéliens, c'est classifié par Ext^1(H, N), un objet en algèbre homologique.
Produit direct des groupes, propriété universelle.
Produit semi-direct. Deux définitions équivalentes.
Définition 1: suite exacte courte des groupes avec une section. Définition 2: G admet un sous groupe distingué N et un sous-groupe H avec l'intersection triviale et NH=G.
Construction de produit semi-direct à partir d'un groupe N et un morphisme de groupe H -> Aut(N).
Exo: (FP) 10, 19, 21, 22, 23. (EC) 8.

Cours 4 (20/09)

Action de groupe sur un ensemble à gauche: un morphisme de groupe de G vers S_X
Definition concrete equivalente.
Action a droite. Passage entre une action a gauche et une action a droite
Noyau d'une action. Action fidele.
Orbite
Action transitive
Stabilisateur
Relation orbite-stabilisateur: bijection entre une orbite et l'ensemble des classes a gauche du stabilisteur
En particulier, la longueur d'une orbite est egale a l'indice du stabilisateur
Action reguliere. Theoreme de Cayley
Action conjugaison. Inn(G), Z(G)
Classe de conjugaison, centralisateur d'un element.
p-groupe. p-Sylow.
Trois theoremes de Sylow: enonces.

Cours 5 (24/09)

Centre d'un p-groupe non trivial est de cardinal divisible par p.
Preuves des theoremes de Sylow.
Anneaux (toujours unitaires)
Ideaux (gauche, droite,bilateres), ideaux premiers, ideaux maximaux
Anneaux commutatifs, anneaux integres, corps
Algebres a division
Pour un anneau commutatif A et un ideal I, A/I est integre ssi I est premier; A/I est un corps ssi I est maximal.
K-Algebres, morphismes de K-algebres
Exo: (FP) 62, 63, 66, 67, 70, 78, 79, 81.

Cours 6 (27/09)

Exemples d'anneaux, de corps, d'algebres etc.

0
Z, l'anneau initial
Z/n, plus generalement, quotient by un ideal bilatere
R, C,
H les quaternions, c'est une C-algebre (de differente maniere). H est une algebre a division.
A[X], A[x_1, x_2,...x_n]
Corps de fraction d'un anneau integre. Exemples: k(X_1, ...x_n)
Anneau des series formelles: A[[x_1, ...x_n]]
M_n(A), plus generalement, End(M) pour M un groupe abelien, un espace vectoriel, un module etc
Z_p: l'anneau des entiers p-adiques, Q_p=Frac(Z_p): le corps des nombres p-adiques

Cours 7 (01/10)

Exemples (suite)

Produit (direct) des anneaux
Soit p un idempotent central dans un anneau A, alors A est isomorphe au produit des deux anneaux pA et (1-p)A.
Generalisation: un systeme complet des idempotents centraux orthogonaux dans un anneau A implique une decomposition de A en produit direct des anneaux.
Algebre de groupe: Z[G], k[G]. La loi est une extension lineaire de e_g * e_h=e_{gh}; l'associativite provient de celle de groupe.
Generalisation pour les monoides
Exemples: k[N]= k[T], k[Z]=k[T, T^{-1}], k[Z^n]=k[T_1, T_1^{-1}, ..., T_n , T_n^{-1}], k[F_n]=k< T_1, T_1^{-1}, ..., T_n , T_n^{-1}> , k[Z/rZ]=k[T]/(T^r-1).
Anneaux des fonctions sur un espace; la loi est definie point par point.
Fonctions a valeurs dans un anneau sur un ensembles (meme chose que produit direct)
Fonctions continues (resp. differentiables, holomorphes) sur un espace topologique (resp. varietes differentielles, varietes complexe).
Fonctions sur un groupe de Lie compact avec la loi de convolution.
Si le groupe G est fini, l'anneau des fonctions sur G avec convolution = k[G]
Localisation
Exemples de systemes multiplictifs: complementaire d'un ideal premier, les puissances d'un element
Soit p un ideal premier de A, alors A_p est un anneau local, i.e. il a un unique ideal maximal.

Cours 7 (04/10)

Les ideaux premiers de S^{-1}A est en bijection avec les ideaux premiers de A qui ne rencontre pas S.
Pour A_p, la localisation de A par rapport le complementaire de p, alors Spec(A_p) est un anneau local avec l'unique ideal maximal pA_p.
Exemple, Z_{(p)}, l'ideal maximal unique est pZ_{(p)}
Corps residuel. k(p):=A_p/pA_p, qui est aussi isomorphe a Frac(A/p).
Exemple: pour (p) dans Z, k(p)=F_p.
Operations sur des ideaux: I+J, IJ, I\cap J, etc.
Nil radical:= l'intersection des tous les ideaux premiers= l'ensemble des elements nilpotents.
Radical de Jacobson.
Racine d'un ideal
Sous la bijection entre ideaux de A/I et ideaux de A contenant I, le nil-radical de A/I correspond a la racine de I.
Anneaux pricipaux
Exemples: Z, Z[i], k[X]. Non-exemple: k[X, Y].
Anneaux euclidiens. Un anneau euclidien est toujours principal.
Anneaux factoriels
Un anneau principal est factoriel.
A factoriel implique que A[X] est factoriel.

References: Atiyah-Macdonald: Introduction to Commutative Algebra.

Cours 8 (08/10)

Notion de pgcd et ppcm dans un anneau factoriel.
Bezout: dans un anneau principal A, pour tout a, b dans A, on a c=pgcd(a,b) ssi (c)=(a,b) et dans ce cas, on a c=ax+by pour certains x, y dans A.
Un anneau principal est factoriel.
Localisation d'un anneau factoriel est factoriel.
Si A est un anneau factoriel, alors A[X] est factoriel.
La preuve utilise la notion de contenu. Lemme de contenu: c(PQ)=c(P)c(Q).
Exemples d'anneau non factoriel: le sous-annneau k[X^2, X^3] de k[X], Z[\sqrt{-3}].
Dimension de Krull
Anneau local regulier
Exemple d'anneaux locaux reguliers. Relation avec la matrice de jacobienne.
Theorem (Auslander-Buchsbaum) un anneau local regulier est factoriel.
Exemple: la localisation de k[X, Y]/(X^3-Y^2) a l'ideal (X-1, Y-1) est regulier donc factoriel, mais la localisation a l'ideal (X, Y) n'est pas regulier,
Definitions equivalentes d'anneaux noetheriens: tous ideaux sont finiment engendres = ideaux verifient (ACC): toute chaine croissante est stationnaire
Un anneau principal est noetherien.
Theoreme (Hilbert): Si un anneau A est noetherien, alors A[X] est noetherien.
Corollaire: si A est noetherien, alors A[X_1, ..., X_n]/I est noetherien.
Un exemple d'anneau noetherien de dimension de Krull infinie: ici.
Anneaux artiniens: ideaux verifient (DCC): toute chaine decroissante est stationnaire. .
Exemples: corps, k[X]/(X^n).
Soit A une k-algebre finiement engendree. Alors A est artinien ssi A est de dimension finie comme un k-espace vectoriel.
Notion de module. Module a gauche, module a droite.
A-modules a gauche= A^{op}-module a droite
Bimodule.
Exemple: A est un A-module a gauche, un A-module a droite, et un (A,A)-bimodule.

Exercices: (FP) 102, 107, 108, 110, 113, 114, 120, 128, 136, 138.

Cours 9 (11/10)

Morphismes de A-modules
Composition
L'ensemble des morphismes de A-modules entre deux A-modules M_1 et M_2 forme un groupe abelian. Notation: Hom_A(M_1, M_2).
Si de plus A est commutatif, alors Hom_A(M_1, M_2) est aussi un A-module.
Sous-modules, module quotient
Noyau, image, conoyau.
Un morphisme est injectif (resp. surjectif) ssi son noyau (resp. conoyau) est trivial.
Exemple: Z-modules=groupe abeliens; morphismes de Z-modules= morphismes de groupes abeliens
Exemple: soit k un corps. k-modules=k-espaces vectoriels; morphismes de k-modules= applications k-lineaires entre k-espaces vectoriels.
Exemple: soit k un corps. k[T]-modules= k-espaces vectoriels munis d'un endomorphismes k-lineaires, i.e paires (V, f\in End_k(V)); un morphisme de k[T]-modules entre (V_1, f_1) et(V_2, f_2) = une application lineaire entre V_1 et V_2 qui "commute" avec f_1 et f_2.
Exemple: soit k un corps. k< T_1,... T_n >-modules= k-espaces vectoriels munis de n endomorphismes lineaires.
Exemple: soit k un corps. k[T_1,... T_n]-modules= k-espaces vectoriels munis de n endomorphismes lineaires qui commutent entre eux.

Exercices: (FP).125, 133, 156, 159, 160, 165, 166

Cours 10 (15/10)

Algebre de Weyl des operateurs différentielles. Wikipedia
Exemple: Soit G un groupe et soit k un corps. Une représentation de G sur le corps k est par définition un k[G]-modules
Définition équivalente: une représentation de G est un k-espace vectoriel V muni d'un morphisme de groupes de G vers GL_k(V).
Dans la preuve, nous avons besoin d'un Lemme: Soit G un groupe. Soit B une k-algebre (par exemple End_k(V) pour un k-espace vectoriel). Notons B^x le groupe des elements inversibles de B (par exemple GL_k(V)). Alors on a une bijection entre Hom_{k-Alg}(k[G], B) et Hom_{groupe}(G, B^x).
Exemple: soit g une algebre de Lie. Une representation de g est par definition un U(g)-module, ou U(g) est l'algebre enveloppante de g.
Exemple: un carquoi est un graphe orienté Q=(Q_0, Q_1). L'algebre des chemins kQ est définie comme le k-espace vectoriel libre engendré par les chemins avec la concaténation comme la loi de multiplication. Une représentation de Q est par définition un kQ-module, et un morphisme de representations de Q est un morphisme de kQ-modules.
Un ideal a gauche (resp. a droite, bilatere) d'un anneau A est un sous-module de A comme un A-module a gache (resp. A-module a droite, (A,A)-bimodule).
A-module libre engendre par un ensemble S. Notation: AS
Si A est un corps k. kS est souvent note par Vect_k(S), le k-espace vectoriel engendre par une base S.
Notion de sous-module de M engendre par un sous-ensemble S de M: c'est le plus petit sous-module de M qui contient S. C'est aussi le sous-module des elements qui peuvent etre ecrit comme une combinaison A-lineaires d'elements de S.
Generateurs
Base

Cours 11 (18/10)

Somme directe de deux modules
Decomposition d'un module en somme directe de deux sous modules. Une telle decomposition d'un A-module M est equivalente a la donnee d'un projecteur dans End_A(M).
Propriete universelle de somme directe
Somme directe d'une famille de modules.
Produit direct d'une famille de modules.
Modules libres comme somme directe de A.
Base.
Modules de type fini.
Theoreme de structure de module de type fini sur un anneau principal.

Cours 12 (22/10)

Theoreme de structure de module de type fini sur un anneau principal.
Lemme: rang est bien defini pour les modules libres de type fini.
Lemme: un sous-module d'un module libre de type fini est un module de type fini, et le rang est au plus le rang du module ambiant.
Par le lemme precedent, le theorem est reduit a l'enonce suivant: Pour une matrice B de taille mxn avec coeffcients dans un anneau principal A, il existe une matrice Q dans GL_m(A) et une matric P dans GL_n(A), tel que QBA est de une matrice en block avec en haut a droite diag(m_1, ..., m_N) et zero ailleurs, ici m_1|m_2|...|m_N.

Cours 13 (25/10)

Exemple du Theoreme de structure de module de type fini sur un anneau principal.
Si A=Z, structure de groupes abeliens de type finis.
Exemple concret pour mettre un produit des groupes cycliques sous la forme standard
Exemple concret pour trouver la forme standard d'une matrice
Si A=k[T], un A-module est just un espace vectoriel V muni d'un endomorphisme f. Le theoreme de structure de module de type fini sur k[T] implique la forme standard de Dunford-Jordan de f si k est algebriquement clos.
Si k n'est pas algebriquement clos, on deduit le theoreme de forme standard par matrice compagnon.
Applications A-bilineaire.
Produit tensoriel d'un A-module a droite M et un A-module a gauche N,(notation: M\otime_A N) est un groupe abelien muni d'une application A-bilineaires, qui verifie une propriete universelle.
Existence de produit tensoriel. Unicite est par la propriete universelle.

Cours 14 (5/11)

Produit tensoriel de bimodules. Soient M\in A-Mod-B, N\in B-Mod-C, alors M\otimes_A N \in A-Mod-C.
Les structures de A-Mod-C sur M\otimes_A N est construites par la propriete universelle.
Hom entre bimodules. Soient M\in A-Mod-B, N\in A-Mod-C, alors Hom_A(M, N) \in B-Mod-C.
Isomorphisme de Cartan/Ajonction tensor-Hom: Soient A, B, C, D des anneaux. Soient M\in A-Mod-B, N\in B-Mod-C, L\in A-Mod-D, alors on a un isomorphisme cannonique de (C,D)-bimodules entre Hom_A(M\otimes_B N, L) et Hom_B(N, Hom_A(M,L))
Distributivite du produit tensoriel par rapport aux sommes directes
Associativite du produit tensoriel (structure monodiale)
Sur un anneau commutatif, commutativite de produit tensoriel (structure monoidale symetrique).
Exemple: produit tensoriel avec 0-module est 0.
Exemple: A\otimes_A M et M sont canoniquement isomorphes comme A-modules, pour tout M\in A-Mod.
Exemple: A^r\otimes_A M et M^r sont canoniquement isomorphes comme A-modules, pour tout M\in A-Mod et pour tout entier positif r.
Exemple: Soit A un annueau principal, alors A/(a)\otimes_A A/(b) est isomorphe a A/(d), avec d=pgcd(a,,b)
Plus generalemnet, pour un anneau commutatif A et deux ideaux I et J, A/I\otimes_A A/J est isomorphe a A/(I+J).

Cours 15 (8/11)

Exemple de bimodule: A^n \otimes_A A^m est isomorphe a A^{nm}. Generalisation a un nombre fini de facteurs.
Soit M\in A-Mod, alors M est naturellement un (A, End_A(M)^{op})-bimodule.
Mat_{nxm}(A) est un (Mat_{nxn}(A), Mat_{mxm}(A))-bimodule
En particulier, A^n, vu comme vecteurs de ligne, est un (A, Mat_{nxn}(A))-bimodule; A^n, vu comme vecteurs de colonne, est un ( Mat_{nxn}(A), A)-bimodule
Equivalence de Morita
Complexe de module
Homologie
Suite exacte, suite exacte courte
Une suite exacte courte est essentiellement l'information d'un sous-module M' dans un module M et le quotient M/M'= M''
Tensoriser avec un module est une operation fonctorielle
Tensoriser avec un module est une operation qui preserve les suites exactes a droites.
Cor: pour un anneau commutatif A et deux ideaux I et J, A/I\otimes_A A/J est isomorphe a A/(I+J).
En generale, tensoriser avec un module ne preserve pas les suites exactes courtes.
Exemple, tensoriser avec Z/2Z transforme la suite exacte courte 0\to Z/to Z/to Z/2Z/ to 0 a une suite qui n'est seulement exacte a droite.

Cours 16 (12/11)

Modules simples, indecomposables.
Lemme de Schur: un morphisme non nul entre deux A-modules simples est un isomorphisme.
Cor: l'anneau des endomorphismes d'un module simple est une algebre a division.

Cours 17 (15/11)

Hom_A(M,-) est fonctoriel et preserve les suites exactes a gauches.
Algebre tensorielle: pour A un anneau commutatif, et un A-module M, on a une A-algebre non commutative graduee T(M).
Exemple quand M est un A-module libre. Base de T(M)
Si V est un espace vectoriel de dimension n, T(V) est isomorphe a l'algebre des polynomes non commutatifs.
Propriete universelle de T(M) comme algebre.
Algebre symetrique: S(M) est definie comme quotient de T(M) par l'ideal bilatere engendre par les commutateurs xy-yx.
Exemple quand M est un A-module libre. Base de S(M)
Si V est un espace vectoriel de dimension n, S(V) est isomorphe a l'algebre des polynomes.
Propriete universelle de S(M) comme algebre commutative.
Algebre exterieure: si 2 est inversible dans A, \bigwedge(M) est definie comme quotient de T(M) par l'ideal bilatere engendre par les anti-commutateurs xy+yx
Exemple quand M est un A-module libre. Base de \bigwedge(M)
Si V est un espace vectoriel de dimension n, \wedge(V) est isomorphe a l'algebre des polynomesde dimension 2^n.
Si A=k un coprs de car(k)=0, alors il existe une section naturelle de la projection de T(M) vers S(M), identifiant S(M) avec le sous-espace de T(M) des tenseurs symetriques. Analogue pour \bigwedge(M).

Cours 18 (19/11)

Propriete universelle de S^i(M): classifier les applications mulitlineaires symetriques
Propriete universelle de \bigwedge^i(M) classifier les applications mulitlineaires anti-symetriques.
Determinant d'un module libre de rang fini.
Determinant d'un endomorphisme d'un module libre de rang fini. Cas special d'un endomorphisme d'un espace vectoriel redonne la definition usuelle.
Produit tensoriel de deux k-algebres.
Definition de representations d'un groupe
La donnee d'une representation de G est equivalente a la donnee d'un k[G]-module
Un morphisme de representations est juste un morphisme de k[G]-modules
ker, image, coker d'un morphisme de represetations sont des representations
Somme directe des representations
Duale d'une representation
Exemple: representation nulle, representation trivale
Exemple: representations d'un groupe cyclique d'ordre fini.
Soient V, W deux representations, alors Hom_k(V,W) est une representation.

Cours 19 (22/11)

Soient V, W deux representations de G, alors V\otimes_k W est une representation de G.
Si 1 est la representation triviale, alors Hom(V,1) et la duale de V sont canoniquement isomorphes comme representations.
On a un isomorphisme canonique de representations entre Hom_k(V, W) et V^*\otimes_k W
Exemple: pour un groupe cyclique d'ordre n, soit \zeta une n-ieme racine d'unite. Alors \chi_{\zeta_1}\otimes \chi_{\zeta_2} est isomorphe a \chi_{\zeta_1\zeta_2} et Hom(\chi_{\zeta_1}, \chi_{\zeta_2}) est isomorphe a \chi_{\zeta^{-1}_1\zeta_2}.
k[G] est non seulement une algebre, mais une algebre de Hopf. La structure de cogere donne le produit tensoriel.

Cours 20 (26/11)

Représentation de permutation: Soit X un G-ensemble. Alors V_X:=Vect_k(X), le k-espace vectoriel ayant X comme une base est une représentation de G.
La représentation associée à l'union disjoint des G-ensembles est isomorphe à la somme directe des représentations associées à ces G-ensembles.
La représentation associée au produit cartésien des G-ensembles est isomorphe à au produit tensoriel des représentations associées à ces G-ensembles.
Représentation régulière: c'est la représentation associée au G vu comme un G-ensemble par translation à gauche. De manière équivalente, c'est aussi k[G] vu comme le k[G]-module libre de rang 1.
Pour a suite, on travail sur le corps C. Avantages: caractéristique nulle et algébriquement clos.
Produit hermitien: sesqui-linéaire, symétrique conjugué, positif
Prop: Toute représentation d'un groupe fini sur C admet un produit hermitien G-invariant.
Cor (semi-simplicité): La catégorie des représentations d'un groupe fini G sur C est semi-simple. C'est-à-dire: (1) Toute G-module indécomposable est simple; (2) Toute sous-G-module admet un complément; (3) Toute représentation est la somme directe des sous-représentations simples.
Attention: la décomposition en somme directe des sous-représentations simples n'est pas unique en générale. Exemple: La représentation triviale de dimension >1.
Lemme de Schur: deux représentations simples S, T. Si S et T ne sont pas isomorphes, alors Hom_{C[G]}(S,T)=0; End_{C[G]}(S)=C
Prop (unicité) Etant donnée une représentation de dimension finie V d'un groupe G, et une représentation simple S, le nombre des fois que S apparaît dans une décomposition de V en somme directe des sous-représentations simples est indépendent de la décomposition. Ce nombre est appellé la multiplicité de S dans V.
Soit V une représentation de G. Le sous-espaces des éléments fixés par G, noté V^G est la plus grande sous-représentation triviale de V. On peut définir un projecteur \pi^G:= 1/|G|\sum_g \rho(g) de V sur V^G.
dim(V^G)=tr(\pi^G)=1/|G|\sum tr(\rho(g))
Caractère d'une représentation: soit (V, \rho) une représentation de G, on définit le caractère de (V, \rho) comme la fonction sur G suivante: \chi_V(g):=tr(\rho(g))
Lemme: le caractère est une fonction de classe (i.e. une fonction constante sur chaque classe de conjugaison)
Definition d'un produit hermitien entre deux fonctions de classe.

Cours 21 (29/11)

Caractère de somme directe, duale, produit tensoril, Hom (interne) des représentations.
Pour un G-module V, dim(V^G)=1/|G|\sum \chi(g)
Hom_G(V, W)=(\chi(V), \chi(W))
Cor: Soient S, S' deux G-modules simples, alors (\chi(S), \chi(S'))=Hom_G(S, S')=C si S et S' sont isomorphes et =0 si S et S' ne sont pas isomorphes. Autrement-dit, les caractère des G-modules simples sont orthonormée.
Cor: Une représentation est determinée par son caractère: V est isomorphe à la somme directe des G-modules simples S avec multiplicité (\chi(S), \chi(V)).
Exemple: C[G], vu comme C[G]-module à gauche, est appellée la représentation régulière. Son caractère est |G| fois la fonction delta sur l'élément neutre.
Cor: Toute représentation simple apparaîssent dans C[G].
Cor: Il n'y a qu'un nombre fini des représentations simples, à isomorphisme près.
Cor: Chaque représentation simple S apparaît avec multiplicité exactement dim(S) dans C[G].
Cor: |G| est la somme des carrées des dimensions de toutes représentations simples.
Thm: Les caractères des G-modules simples forment une base orthonormée de l'espaces des fonctions de classe.
Cor: le nombre des classes d'isomorphisme des représentations simples est égal au nombre des classes de conjugaison de G.
Tableau de caractère.
Exemple: S_3.

Exercices

DM à rendre:

Preuves des Théorèmes de Sylow. Date limite: 8 octobre.
Preuve du Théorèmes de structure de modules de type fini sur un anneau principal. Date limite: 12 novembre.

Evaluation:

Examen: 20 Décembre 2024, 9:00-12:00
Note finale= Examen (15 pts) + DM (5 pts)

Références:

Michael Artin. Algebra.
Serge Lang. Algebra, GTM 211.