La master class Arithmétique et Géométrie Algébrique est organisée avec le concours de l'institut thématique interdisciplinaire IRMIA++. La thématique est celle du Master 2 de Mathématiques Fondamentales de l'Université de Strasbourg pour l'année universitaire 2023/2024. Nous proposons quatre minicours, repartis sur 4 jours à raison de deux séances par jour. Les mardi, mercredi et jeudi après-midi seront clôturés par des séances de discussion informelle avec les orateurs.
Contact : G. Ancona
L'accueil, les pauses café et le buffet auront lieu à l'IRMA (indications pour s'y rendre) et les exposés dans la salle C5 de l'UFR de mathématique et d'informatique, le bâtiment à coté de l'IRMA. Les déjeuners sont servis au restaurant universitaire de l'esplanade.
| Mardi 10/01 | Mercredi 11/01 | Jeudi 12/01 | Vendredi 13/01 | |
|---|---|---|---|---|
| 9:30-10:15 | Accueil | |||
| 10:15-12:15 | O. Benoist | C. Huyghe | J. Fresán | J. Fresán |
| Déjeuner | Déjeuner | Déjeuner | Buffet | |
| 14:15-16:15 | A.-C. Le Bras | A.-C. Le Bras | O. Benoist | C. Huyghe |
| Café | Café | Café | ||
| 17:00-18:00 | Discussion informelle | Discussion informelle | Discussion informelle |
Les participants sont logés au Ciarus, 7 Rue Finkmatt, Strasbourg ; téléphone 03 88 15 27 88.
Un polynôme à coefficients réels qui ne prend que des valeurs positives est-il une somme de carrés de polynômes? (Non) De carrés de fractions rationnelles? (Oui : c'est un théorème d'Artin) Ce cours est une introduction à ces questions classiques. On mettra l'accent sur l'utilisation de méthodes géométriques.
Les périodes sont des nombres complexes (tels que \(\pi\) ou les valeurs prises aux entiers par des fonctions comme le logarithme ou la fonction zêta de Riemann) dont les parties réelles et imaginaires peuvent s’écrire comme l’intégrale d’une fonction rationnelle à coefficients rationnels sur un domaine de l’espace affine réel défini par des inégalités polynomiales à coefficients rationnels. Selon une conjecture de Kontsevich et Zagier, toutes les relations algébriques parmi ces nombres devraient se déduire des règles évidentes du calcul intégral : additivité, changement de variables, formule de Stokes. D’abord j’expliquerai en détail la définition des périodes ainsi que quelques propriétés élémentaires qui s’ensuivent, en les illustrant par de nombreux exemples. Dans la suite du minicours, je me dirigerai doucement vers l’interprétation des périodes en termes de formes différentielles algébriques et de cycles topologiques sur les variétés algébriques, point de vue qui est à l’origine de toutes les percées récentes dans l’étude de ces nombres.
Pour \(p\) un nombre premier, le but du cours est de proposer un algorithme pour calculer le nombre de solutions dans un corps fini \(\mathbb{F}_q\) de caractéristique \(p>0\) de l'équation : \(y^2=f(x)\) avec \(f\) un polynôme séparable à coefficients dans \(\mathbb{F}_p\), le corps fini à \(p\) éléments. Nous expliquerons :
L’utilisation de méthodes issues de l’analyse complexe à des problèmes de théorie des nombres (en particulier, à l’étude des nombres premiers) est une des innovations mathématiques les plus spectaculaires du 19e siècle. Si le corps des nombres complexes \(\mathbb{C}\) est un corps complet dans lequel se plonge le corps \(\mathbb{Q}\) des nombres rationnels et avec lequel on peut faire de l'analyse, le corps \(\mathbb{C}_p\) des « nombres complexes \(p\)-adiques » (pour \(p\) un nombre premier) en est un autre exemple naturel. Dans ce minicours, j'expliquerai comment l’analyse \(p\)-adique peut être utilisée pour attaquer différentes questions arithmétiques.