Treillis distributifs de congruences d'algèbres générales

Une loi sur un ensemble A est une application de Aⁿ vers A, pour un certain entier naturel n (on parle de constante lorsque n=0). Une algèbre est un ensemble non vide A muni d'un ensemble de lois sur A. Une congruence d'une algèbre A est une relation d'équivalence compatible avec les lois de A. L'ensemble Con(A) des congruences d'une algèbre donnée, muni de l'inclusion, forme un treillis, c'est-à-dire un ensemble ordonné dans lequel toute paire admet une borne supérieure et une borne inférieure. Ce treillis est de plus algébrique. L'exposé tournera autour du problème de la caractérisation des treillis de congruences.

Par exemple, les congruences d'un groupe correspondent aux sous-groupes distingués, les congruences d'un anneau correspondent aux idéaux, les congruences d'un module correspondent aux sous-modules : ces treillis sont modulaires. Ce phénomène n'est pas général car les congruences d'un treillis L ne correspondent pas en général à des sous-ensembles de L. Toutefois, le treillis des congruences d'un treillis est distributif (Funayama et Nakayama 1942).

Plusieurs questions dont le thème général était « quels treillis distributifs sont des treillis de congruences d'algèbres générales (groupes, modules, treillis...) » étaient ouvertes jusqu'à récemment. Il se trouve que tout treillis algébrique distributif qui a au plus ℵ₁ éléments « compacts » (traduction en théorie des treillis de « finiment engendré ») est isomorphe au treillis des sous-groupes distingués d'un groupe, au treillis des sous-modules d'un module, et au treillis des congruences d'un treillis. Aucun de ces résultats ne s'étend au cas de ℵ₂ éléments compacts. Le problème de savoir si tout treillis algébrique distributif est isomorphe au treillis des congruences d'un treillis, posé par R.P. Dilworth dans les années 40, n'a été résolu, par la négative, que récemment.